8．探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：

（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据 △AEC≌△ADB （指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为： CE＝BD ． （2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：

的值；

的值．（用k的

（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB＝kBC，AE＝kEF，求：代数式表示）

解：（1）如图1，

∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AE＝AD，AC＝AB，∠CAB＝∠EAD． ∴∠CAE＝∠BAD． 在△AEC和△ADB中，

．

∴△AEC≌△ADB． ∴CE＝BD．

故答案分别为：△AEC≌△ADB、CE＝BD．

（2）如图2，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴AC＝AB，AF＝AE，∠CAB＝∠FAE＝45°．

∴

＝

＝

，∠CAF＝∠BAE．

∴△AFC∽△AEB． ∴

＝

＝

．

17

∴的值为．

（3）连结FA、CA，如图3，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，AB＝kBC，AE＝kEF， ∴∠FEA＝∠CBA＝90°，＝

＝k．

∴△FEA∽△CBA． ∴

＝

，∠FAE＝∠CAB．

∴∠FAC＝∠EAB． ∴△FAC∽△EAB． ∴

＝

∵AC＝

＝

＝

BC．

∴＝＝．

∴的值为．

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9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段BC的长；

Q、H为顶点的三角形与△ABC（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、相似；

（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． （1）解：如图l，∵△AOB为等边三角形， ∴∠BAC＝∠AOB＝60． ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝30°，∠OBC＝30°∴∠ACB＝∠OBC， ∴CO＝OB＝AB＝OA＝3， ∴AC＝6，

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∴BC＝AC＝；

（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH＝AQ?sin60°＝．

需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，＝，即＝＝，

解得，t＝0．

同理，当△QHP∽△ABC时，t＝1． 综上所述，t＝0或t＝1；

（3）解：如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N． ∴∠QNA＝∠BOA＝60°＝∠QAN， ∴QN＝QA

∴△AQN为等边三角形， ∴NQ＝NA＝AQ＝3﹣t， ∴ON＝3﹣（3﹣t）＝t， ∴PN＝t+t＝2t， ∴OE∥QN． ∴△POE∽△PNQ ∴， ∴， ∴

∵EF∥x轴，

∴∠BFE＝∠BCO＝∠FBE＝30° ∴EF＝BE， ∴m＝BE＝OB﹣OE＝

（0＜t＜3）．

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