高中平面几何
叶中豪
学习要点
几何问题的转化
圆幂与根轴
P’tolemy定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
完全四边形与Miquel点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极，调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，sin?sin??tan??????12。求证：2EF=DE+DC。（10081902.gsp） AθEDγBFC
且
2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B
弧段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ2=PA×PB。（10092401-1. gsp）
AQPOO'B
3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，
ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。（10082602.gsp）
ADERF
4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，
点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。求证：AP//BC。（10092102.gsp）
PGEABCBDCF
5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，
分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（10092201.gsp）
PECAFDO1BO2
6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD
的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。求证：∠PQC=∠PQD。（10081601-26.gsp）
DPCA
7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM
垂线交AD于F。求证：DE=EF。（10083001.gsp）
AMQBFMECDB
8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥
AB，BE=BD。过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。求证：ED⊥DF。（2010年女子竞赛）（10081601-4.gsp）
AFEMBD
9．设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF
交于P点。求证：AP平分底边BC。（10082001-8.gsp）
ACFBPDMCEI1
10．如图，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一
点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。（09031302.gsp） ADNCMBO
11．已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MP⊥
AB于P。求P点的轨迹。（10081601-4.gsp）
APMOBC
12．△ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。（10081601-3.gsp）
PBNMATOS
13．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得
C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。 求证 ：(AC+BC) 2＝4DL×EF。 （09011003.gsp）
DLCCOFABE
14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于
E，PF⊥AB于F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）
AFDBEC
15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足
DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。求证：AD⊥EF。（10080302.gsp）
APEBOFMC
16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点
E，使得DE＝AB。线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。（2000年国家集训队）（10082201-1.gsp）
ADDCTPEB
17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC弧（不含
A点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证：P点到△ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（10082201-5.gsp）
APIBI'CM
18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。
求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（10081601-2.gsp）
AFSEBDC
19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别
为E、F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。 求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（09042002.gsp）
AHIFOEBKGCL
20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，
劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。求证：BPB1Q为平行四边形。（10082001-1.gsp）
BQMB1PKCAN
21．圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。求证：PQ与圆O2相切。（40届IMO）（10082001-12.gsp）
CPAOO1BSQDO2UTR
22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的
圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ=2∠NML。（98年伊朗竞赛）（10081601-5、6.gsp）（09022203.gsp）
LOQPKNM
23．设△ABC内接于圆O，过O作OE⊥BC交圆O于E，交AB于F，交AC
延长线于G。过G作圆O的切线GT，T为切点。求证：TF⊥GE。（10092104.gsp）
GATFOBEC
24．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一
点，联结BM延长交圆O于C。求证：AC//PEF的充要条件是M为EF中点。（10092401-6.gsp）
ACOPFEMB
25．过点P任作圆O的两条割线PAB、PCD，直线AD与BC交于Q，弦DE//PQ，BE交PQ延长线于M。求证：OM⊥PQ。（10092103-1.gsp）
DECOQPABM
26．如图，设⊙O1与⊙O2交于AB两点。AC是⊙O2的切线，交⊙O1于C点。
AD是⊙O1的切线，交⊙O2于D点。过A任作直线，交⊙O1、⊙O2及经过A、C、D三点的圆分别于M、N、P。求证：AM=NP。（10091002-6.gsp）
AO1MCBNO2DP
27．两圆圆O1和圆O2相交于M、P，过M作圆O2的切线交圆O1于A；又过M作圆O1的切线交圆O2于B，在直线MP上截取PH=MP。求证：四边形MAHB内接于圆。（10091002-1.gsp）
MO1PBA
28．已知两个半径不等的圆O1和圆O2相交于M、N两点，且圆O1和圆O2分
别与圆O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线。（1997年全国联赛）（10090301-3.gsp）
O2HOO1MO2SNT
29．设以O为圆心的圆经过△ABC的两个顶点A和C，且与边AB、BC分别交
于K和N，又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。求证：∠OMB=90°。 （1985年IMO）（10090301-1.gsp）
BMKNOAC
30．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。求证：OQ⊥PQ。（09022301.gsp）
OCADB 31．已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于P，
设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证：OM⊥MP。（10091001.gsp） PQDCMOBP
32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线
AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH与圆O交点恰是△HMN的内心。（10092103-2.gsp）
AOBGMCDN
33．⊙O为△ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长
线上的点，BE、CF交于D，PE、PF分别交⊙O于S、R。若AD、BC、RS共点，求证：点D在⊙O上。（10090801.gsp）（10092103-8.gsp）
PAEHFRBDCSF
34．已知：D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD，O是△
ABC外心。求证：A、E、O、F四点共圆。（09033102.gsp）
AEFEOBDC
35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内
心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp）
NAIBMC
36．设T为△ABC的内切圆与BC边的切点，D为BC上任一点，I1、I2分别为
△ABD、△ACD的内心。求证：T I1⊥T I2。（10081701-9.gsp）
AI2I1BDTC
37．矩形ABCD中，AB＝2AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、
PD分别交AB于F、E。求证：AE2＋BF2＝AB2。（09013001.gsp）
PAFEBCD
38． AB是圆O的直径，P是过B所作切线上的任一点，过P作圆O的割线
PCE，联结直线PO分别交AC、AD于E、F。求证：OE=OF。（10081001-4.gsp）
AFOEDCBP
39．自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别
交AB、AD于E、F。求证：CE=EF。（10081001-5.gsp）
PCAEBFO
40．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE
垂直AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。求证：DF＝FG。（09042001.gsp）
BDKDCFGAOE
41．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。过D作PA的平行线，分
别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证：D为BF中点。（09031302.gsp）
PBCADOFE
42．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足∠ABP=∠QCB，
且∠ACP=∠QBC。求证：A、P、Q三点共线。（10090101-1.gsp）
APQ
43．已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三
点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：DEPF是平行四边形。（10091701.gsp）
ABCOBDEFCP
44．已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，
自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MP=MQ。（10091701-1.gsp）
AQDEMFBPC
45．AD为△ABC内角平分线，I1、I2为△ABD、△ACD的内心，以I1I2为底向
1BC边作等腰△E I1I2，使得∠I1EI2＝∠BAC。求证：DE⊥BC。
2（10081701-1.gsp）
AI1I2BDC
46．已知P是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠CAD，∠PCB=∠ACD。求证：
PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。（2004年IMO）（10091701-6.gsp）（09030801.gsp）
AEBPDC
47．已知D是△ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足∠1=∠2，∠3=
∠4。求证：(PB/PC)=(AB/AC)。（09030801.gsp）
A12P3BD4C
48．已知：D是△ABC的BC中垂线上一点，I1、I2是△ABD、△ACD的内心，
E是△ABC外接圆弧BAC的中点。求证：A、E、I1、I2四点共圆。（08081201.gsp）
EAI1BDI2C
49．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。 求证：DM⊥BC。（09013101.gsp）
AEFBMCD
50．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。求证：K在圆O上。（09022201.gsp）
PEFKCABO
51．设⊙O1与⊙O2交于C、D。过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp）
DNMCO1DO2APQBO
52．设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。求证：XP被Simson线所平分。（09031903.gsp）
AXFDBCEP
53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp）
AOHEBDC
54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的
点，且A、E、G、F四点共圆。设△BDE外心为O1、半径为r1；△CDF外心为O2、半径为r2。求证：GO12＋GO22＝r12＋r22。（09031401.gsp）
AEFGO1BDO2C
55．已知P是△ABC内一点，A1、B1、C1分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。
求证：P、A1、B1、C1四点共圆。（09042401.gsp）
AB1A1PC1BC
56．给定△ABC，D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点，M、N分别是△
BDF、△CDE的外心。P、Q分别是BC、MN上的点，满足(BP/PC)=(MQ/QN)。AP与⊙AEF相交于R点。求证：（1）QR=QD；（2）∠RQD=2∠APC。（09042601.gsp）
AFEMQNCR
57．已知⊙O1与⊙O2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆。（09022001.gsp）
PBDPAO1CDO2BEQF
58．△ABC中，D、E、F是边BC、CA、AB的中点，X、Y、Z是各边上高的
垂足，EZ与FY交于L，FX与DZ交于M，DY与EX交于N。求证：L、M、N三点共线。（10092101.gsp）
MAZFLHONYEB
XDC
59．设△ABC的内切圆分别与三边切于D、E、F，联结AD交内切圆于另一点
P，联PB、PE、PF。求证：PF//BC的充要条件是∠BPD=∠EPD。（10091002-7.gsp）
AFPE
60．已知△ABC和任意直线d，自A、B、C作d的垂线，垂足分别为A'、
B'、C'； 再自A'、B'、C'分别作对边BC、CA、AB的垂线，设这三条垂线共点于H。在d上任取一个动点M，自M作d的垂线，分别交AB、AC所在直线于K、L。在线段BK、CL及HA'延长线上分别取分点P、Q、X，满足(BP/PK)=(CQ/QL)=(HA'/A'X)。求证：XM⊥PQ。（09031602.gsp）
LAKQPHBBDCCdB'MA'C' 61．已知ABCD是等腰梯形，P是其底边BC上任意一点，E、F两点分别位
于AB、AC上，满足EB＝EP，FP＝FC。联接EF，并作P点关于EF的轴对称点Q。求证：DQ⊥PQ。（09041401.gsp）
XAEQDFCBP
62．设D、E分别为△ABC的边AB、BC上的点，P是△ABC内一点，且PE
＝PC，△DEP∽△PCA。求证：BP是△PAD的外接圆的切线。（09040601.gsp）
ADP
63．在凸四边形ABCD中，∠DCA与∠CDB的外角平分线分别是边CB与DA，
E、F分别为AC、BD的延长线上的点，且C、E、F、D四点共圆。平面上的一点P使得DA是∠PDE的外角平分线，CB是∠PCF的外角平分线。边AD与BC所在直线交于点Q。求证：点P在边AB上的充分必要条件是点Q在线段EF上。（09033001.gsp）
BECFQERDCK
64．平面上有四个点A1、A2、A3、A4，其中任意三个点都不在一条直线上。
并且它们满足：A1A2×A3A4＝A1A3×A2A4＝A1A4×A2A3。对于任意｛i，j，k，l｝＝｛1，2，3，4｝，我们设Oi为△AjAkAl的外心。若对于1≤i≤4均有Ai≠Oi，证明：四条直线AiOi平行或共点。（09030602.gsp）
O3APBA1O4A4O2A2A3O1
65．圆O1和圆O2相交于P、Q两点，AB是两圆的外公切线，BP、AP分别交
另一圆于C、D，直线AC、BD交于X点，过X、A、B三点的圆与过X、C、D三点的圆交于另一点M。求证：∠MBX=∠MQP。（10082901-1.gsp）
XAPCO2O1DBMQ
66．在任意△ABC的BC边下方取D点，满足∠ABD＝∠ACD＝120°，并作
正三角形EBC。求证：△ABC的Euler线平行于DE。（10073102.gsp）
AHOCBE
67．已知M、N是四边形ABCD对边AD、BC上任意两点，E、F是对边AB、
CD上两点，满足(AE/EB)=(CF/FD)=(AM/MD)*(CN/NB)，AN、BM交于P，CM、DN交于Q。求证：PQ//EF。（10082601-3.gsp）
AEPQFBCMDDN