概率论与数理统计习题及答案 - -第1章习题详解 下载本文

(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率. 【解】(1) p1??Ck?0k103k10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138

(2) p2??Ck?410(0.25)k(0.75)10?k?0.2241

36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:

(1) A=“某指定的一层有两位乘客离开”;

(2) B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”; (3) C=“恰有两位乘客在同一层离开”; (4) D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.

24C69(1) P(A)?,也可由6重贝努里模型: 61021294P(A)?C6()()

1010(2) 6个人在十层中任意六层离开,故

6P10P(B)?6

10(3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有C10种可能结果,再从

六人中选二人在该层离开,有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有C9C4C8种可能结果;②4人同时离开,有C9种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有P9种可能结果,故

2131146P(C)?C110C6(C9C4C8?C9?P9)/10

1213114(4) D=B.故

6P10P(D)?1?P(B)?1?6

1037. n个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率: (1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率; (2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;

(3) 如果n个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率. 【解】 (1) p1?1 n?1Bocker

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(2) p2?(3) p1??3!(n?3)!,n?3

(n?1)!(n?1)!1?3!(n?2)!?;p2?,n?3 n!nn!38.将线段[0,a]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率

【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由

0

?x?y?a?x?y?x?(a?x?y)?y ???y?(a?x?y)?x构成的图形,即

a?0?x??2??0?y?a ?2?a??x?y?a??2如图阴影部分所示,故所求概率为p?1. 439. 某人有n把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).

证明试开k次(k=1,2,?,n)才能把门打开的概率与k无关.

Pnk??111?,n【证】 p?k?,k?1,2 ,Pnn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出

一个,试求它有i面涂有颜色的概率P(Ai)(i=0,1,2,3). 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色},i=0,1,2,3.

在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×8=96个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6=384个.其余1000?(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为

512384?0.512,P(A1)??0.384, 10001000968P(A2)??0.096,P(A4)??0.008.

10001000P(A0)?41.对任意的随机事件A,B,C,试证

P(AB)+P(AC)?P(BC)≤P(A). 【证】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC) ?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

Bocker

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?P(AB)?P(AC)?P(BC)

42.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故

C33!3P(A1)?43?

48而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故

C114P(A3)?3?

416因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?319?? 8161621C194C3C3或 P(A2)? ?4316 43.将一枚均匀硬币掷2n次,求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n次硬币,可能出现:A={正面次数多于反面次数},B={正面次数少于反面次数},

C={正面次数等于反面次数},A,B,C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P(A)=P(B).所以

P(A)?1?P(C) 2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1nP(C)?C2n()()

2211n 故 P(A)?[1?C2n2n]

2244.掷n次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A={出现正面次数多于反面次数},B={出现反面次数多于正面次数},由对称性知

P(A)=P(B)

(1) 当n为奇数时,正、反面次数不会相等.由P(A)+P(B)=1得P(A)=P(B)

=0.5

(2) 当n为偶数时,由上题知

n112P(A)?[1?Cn()n]

2245.设甲掷均匀硬币n+1次,乙掷n次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数,乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

(甲正>乙正)=(甲正≤乙正)=(n+1?甲反≤n?乙反)

Bocker

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=(甲反≥1+乙反)=(甲反>乙反)

由对称性知P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反) 因此P(甲正>乙正)=

1 246.证明“确定的原则”(Sure?thing):若P(A|C)≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C),则P(A)≥P(B).

【证】由P(A|C)≥P(B|C),得

P(AC)P(BC)?,

P(C)P(C)即有 P(AC)?P(BC) 同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),

故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 47.一列火车共有n节车厢,有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率.

【解】 设Ai={第i节车厢是空的},(i=1,?,n),则

(n?1)k1kP(Ai)??(1?)nkn2P(AiAj)?(1?)kn?P(Ai1Ai2?Ain?1)?(1?其中i1,i2,?,in?1是1,2,?,n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零,于是

n?1k)n11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?1S2??Sn?1?Sn?0P(?Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sni?1n1?i1?i2??in?1?nn2k2P(AA)?C(1?)?ijnn1?i?j?n?n?1P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn(1?n?1k)n

Bocker

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