1. 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： (1)A发生，B，C都不发生； (2) A与B发生，C不发生； (3)A，B，C都发生； (4) A，B，C至少有一个发生； (5)A，B，C都不发生； (6) A，B，C不都发生； (7)A，B，C至多有2个发生； (8) A，B，C至少有2个发生.
2. 设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？
3. 设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
4. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率；（2） 至少有一粒发芽的概率；（3） 恰有一粒发芽的概率.
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5. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）
6. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）
7. 设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B）
8. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.
9. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努
力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
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10. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次
品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
11. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别
为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
12. 证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.
13. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.
14. 设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
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ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
15. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小.
16. （1） 设随机变量X的分布律为
P?X?k??a?kk!，
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，
试确定常数a.
17. 有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年
中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
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18. 已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Aexp{-|x|}, -∞ 求：（1）A值；（2）P{0 19. 设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 119. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E(). 5某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 20. 某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤， 所需时间X服从N（40，100）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，16）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ 5 （2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 21.设X?N（3，4）， （1） 求P{2 （2） 确定c使P{X＞c}=P{X≤c}. ?x,?22. 设随机变量X的概率密度为f（x）=f(x)??2?x,?0,?0?x?1,1?x?2, 其他.求X的分布函数F（x） 23. 设随机变量X的分布律为 X P -2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求1.Y=2X+1的分布律；2.Z=|X|的分布律 6 24. 设X?N（0，1）. （1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2?1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度. 25. 设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z= 26. 设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在服从区间（0，1）上的均匀分布. 27. 设随机变量（X，Y）的分布密度 2lnX的分布函数及密度函数. ?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,?其他. f（x，y）=?0,求：（1） 常数A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 28. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 7 的密度函数为 ?5e?5y,y?0,fY（y）=? 其他.?0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}. 29. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ?e?y,0?x?y,f（x，y）=? 其他.?0,求边缘概率密度. 30.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,f（x，y）=? 0,其他.?试判断X,Y的独立性？ 31.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 8 ?cx2y,x2?y?1,f（x，y）=? 其他.?0,（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 32. 设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ. 33.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 4X. ?e?(y?5),?2x,0?x?1,fX（x）=? fY（y）=?其他;?0,?0,求E（XY）. 34. 设随机变量X，Y的概率密度分别为 y?5, 其他.?2e?2x,x?0,?4e?4y,fX（x）=? fY（y）=?x?0;?0,?0,求（1） E（X+Y）;（2） E（2X9 y?0,y?0. 3Y2）. 35.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为 x?1?4?f（x）=?4e,x?0, ?x?0.?0,为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 36.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X 37.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 2Y+1，X+4Y3）. ?122?,x?y?1,f（x，y）=?π ?其他.?0,试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 38. .设随机变量X的概率密度为 10 1x??cos,0?x?π,f(x)=?2 2?其他.?0,对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望. 39. 已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与 Y的相关系数ρXY=1/2，设Z= XY?.求D(Z) 3240. 设总体X~N（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 41. 设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量 5n2(?1)?Xi5i?1Y= ?Xi?6n，n＞5 2i服从何种分布？ 42.设总体X~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则 X1?X2???X10Y= 服从何分布？ 2222X11?X12???X15222?? 11 43. 设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计. 44. 设总体X的密度函数 ?2?(??x),0?x??,f（x,θ）=??2 ?其他.?0,X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计. 45.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计. ??e??x,x?0,（1） f（x，θ）=? x?0.?0,??x??1,0?x?1,（2） f（x，θ）=? 其他.?0, 46. 设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本 ?1??211311?2?X1?X2;??3?X1?X2; X1?X2;?334422?1,??2,??3都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 试证? 47. 某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随 12 机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下： 14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 48. 设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）： 64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 49.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现 在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为 4.28 4.40 4.42 4.35 4.37 问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（?=0.05）? 50. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取 36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆 香烟是否处于正常状态. 已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取 ?=0.05）. 51. 有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到： 13 第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg； 第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg. 设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(?=0.05) 52..两位化验员A，B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.43222与0.50062.若A，B所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA2，σB2，试在水平?=0.05下检验方差是否有显著差异？ 53.设是{Xk}独立随机变量序列，且 P(Xk??2k)?2,P(Xk?0)?1?2k?111,k?1,2,... 22k试证{Xk}服从大数定律。 54.设是{Xk}独立随机变量序列，且 P(Xk?1)?pk,P(Xk?0)?1?pk,k?1,2,... 14 试证{Xk}服从大数定律 55. 设是{Xk}独立同分布的随机变量序列，且 2k1P(Xk?2)?2k,k?1,2,... k2问{Xk}是否服从大数定律？ 15