智合教育……暑期蓝天行动
∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4,
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17(平方厘米)。
例4 如右图,A为△CDE的DE边上中点,BC=CD,若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
思路导航: 取BD中点F,连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高,
所以它们的面积相等,都等于5平方厘米.
∴△ACD的面积等于15平方厘米,△ABD的面积等于10平方厘米。 又由于△ACE与△ACD等底、等高,所以△ACE的面积是15平方厘米。
二、巩固训练
1. 如右图,在正方形ABCD中,三角形ABE的面积是8平方厘米,它是三角形DEC的面积的
4,求正方形ABCD的面积。 5解:过E作BC的垂线交AD于F。
在矩形ABEF中AE是对角线,所以S△ABE=S△AEF=8. 在矩形CDFE中DE是对角线,所以S△ECD=S△EDF。 2. 如右图,已知:S△ABC=1,AE=ED,BD=
2BC.求阴影部分的面积。 3解:连结DF。∵AE=ED,
∴S△AEF=S△DEF;S△ABE=S△BED D - 13 -
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3. 如右图,正方形ABCD的边长是4厘米,CG=3厘米,矩形DEFG的长DG为5厘米,求它的宽DE等于多少厘米?
解:连结AG,自A作AH垂直于DG于H,在△ADG中,AD=4,DC=4(AD上的高). ∴S△AGD=4×4÷2=8,又DG=5, ∴S△AGD=AH×DG÷2, ∴AH=8×2÷5=3.2(厘米),
∴DE=3.2(厘米)。
4. 如右图,梯形ABCD的面积是45平方米,高6米,△AED的面积是5平方米,BC=10米,求阴影部分面积.
解:∵梯形面积=(上底+下底)×高÷2 即45=(AD+BC)×6÷2, 45=(AD+10)×6÷2, ∴AD=45×2÷6-10=5米。 ∴△ADE的高是2米。
△ EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高,即6-2=4米,
5. 如右图,四边形ABCD和DEFG都是平行四边形,证明它们的面积相等. 证明:连结CE,
ABCD的面积等于△CDE面积的2倍,
而 ∴ DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。 ABCD的面积与 DEFG的面积相等。
(四) 不规则图形面积计算(2)
不规则图形的另外一种情况,就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的,这是一类更为复杂的不规则图形,为了计算它的面积,常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转
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化为规则图形的和、差关系,同时还常要和“容斥原理”(即:集合A与集合B之间有:SA∪B=SA+Sb-SA∩B)合并使用才能解决。 一、例题与方法指导
例1 . 如右图,在一个正方形内,以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
解法1:把上图靠下边的半圆换成(面积与它相等)右边的半圆,得到右图.这时,右图中
阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样,因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2:将上半个“弧边三角形”从中间切开,分别补贴在下半圆的上侧边上,如右图所示.
阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3:将下面的半圆从中间切开,分别贴补在上面弧边三角形的两侧,如右图所示.阴影
部分的面积是正方形的一半. 例2. 如右图,正方形ABCD的边长为4厘米,分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆,求阴影部分面积。 解:由容斥原理 S
阴影
=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD
例3 如右图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE半径AE=6厘米,扇形CBF的半CB=4厘米,求阴影部分的面积。
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例4. 如右图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20厘米,如果阴影(Ⅰ)的面积比阴影(Ⅱ)的面积大7平方厘米,求BC长。
分析 已知阴影(Ⅰ)比阴影(Ⅱ)的面积大7平方厘米,就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米;又知半圆直径AB=20厘米,可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米,就可求出三角形ABC的面积,进而求出三角形的底BC的长.
二、巩固训练
1. 如右图,两个正方形边长分别是10厘米和6厘米,求阴影部分的面积。
分析 阴影部分的面积,等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中(I)的面积之差。而(I)的面积等于边长为6的正方形的面积减去
1以6为半径的圆的面积。 4
2. 如右图,将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°,此时AB到达AC的位置,求阴影部分的面积(取π=3).
解:整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分,以AB为直径的半圆被 弦AD分成两部分,设其中AD右侧的部分面积为S,由于弓形AD是两个半圆的公共部分,去掉AD弓形后,两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S,由于:
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