①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点； ②当抛物线y=﹣x+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；

③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．

2

【分析】（1）根据题意将先关数据带入

（2）①用t表示直线MN解析式，及b，c，得到P点坐标带入双曲线y=解析式，证明关于t的方程无解即可；

②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况；

③由②中部分结果，用t表示F、P点的纵坐标，求出t的取值范围及直线MN在四边形OAEB中所过的面积．

【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0） ∴OA=6

∵过点C（﹣6，1）的双曲线y= ∴k=﹣6 y=4时，x=﹣

∴点E的坐标为（﹣，4） 故答案为：6，﹣6，（﹣，4） （2）①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1

由题意得：

解得

∵抛物线y=﹣过点M、N

∴

解得

2

∴抛物线解析式为：y=﹣x﹣x+5t﹣2 ∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣） ∵P在双曲线y=﹣上 ∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6 ∴t=

此时直线MN解析式为：

联立

∴8x+35x+49=0

∵△=35﹣4×8×48=1225﹣1536＜0 ∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．

②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点 ∴4=5t﹣2，得t=

当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点 ∴

∴t=或t=

，得t=

2

2

2

③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）

∴yP=5t﹣

当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大 此时，点P在直线x=﹣1上向上运动 ∵点F的坐标为（0，﹣∴yF=﹣

）

∴当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大 此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动 ∴1≤t≤4

当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3） 当t=4﹣

时，直线MN过点A．

当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为 S=

【点评】本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想．解题过程中，应注意充分利用字母t表示相关点坐标．

10．（2018·湖北省武汉·10分）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．

（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，

①若t=1，直接写出点C的坐标； ②若双曲线y=经过点C，求t的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．

【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可； （2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0． ②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣上，可得mn=﹣8；

【解答】解：（1）①如图1﹣1中，

由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3， ∴C（1，3）．

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），

∵点C在y=上， ∴t（t+2）=8， ∴t=﹣4 或2，

（2）如图2中，