v?1123211(av0?av0)?v0 N329v0(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
?v?0.5v0vdNN1?Nv0vdN ?0.5v0N1NNv0Nv0av2 ?vf(v)dv?dv
N1?0.5v0N1?0.5v0Nv0332av01v0av21av017av0 v?dv?(?)??0.5v0N1v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数
131(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N 28427av07vv??0
6N9?1?17.21 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vp?vp?100与vp?vp?100之间的
N1?分子数占总分子数的百分比． 解：令u?v，则麦克斯韦速率分布函数可表示为 vPdN42?u2?uedu N?因为u?1,?u?0.02
?N42?u2?ue?u 得 由 N??N4??1?e?1?0.02?1.66% N?7.22 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求
(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度?；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)方均根速率v2；(7)分子的平均动能ε．
解：(1)由气体状态方程p?nkT得
p0.1?1.013?10524?3n???2.45?10 m?23kT1.38?10?300(2)氧分子的质量
Mmol0.03226??5.32?10 kg N06.02?1023MRT 得 (3)由气体状态方程pV?Mmolm?Mmolp0.032?0.1?1.013?105????0.13 kg?m?3
RT8.31?300(4)分子间的平均距离可近似计算
e?
13n?132.45?1024?7.42?10?9 m
5
(5)平均速率
v?1.60 (6) 方均根速率
RT8.31?300?1.60?446.58 m?s?1 Mmol0.032v2?1.73RT?482.87m?s?1 Mmol(7) 分子的平均动能
??kT??1.38?10?23?300?1.04?10?20J
7.23 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量
E??平动动能 t?3 Et?5252iRT 23?8.31?300?3739.5J 22转动动能 r?2 Er??8.31?300?2493J
25内能i?5 Ei??8.31?300?6232.5 J
27.24 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比． 解：(1)因为 p?nkT则
(2)由平均速率公式
nO?1 nHRT Mmolv?1.60vO?vH-3
MmolH1?
MmolO4-5
7.25 一真空管的真空度约为1.38×10Pa(即1.0×10mmHg)，试 求在27℃时单位体积
-10
中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10m)． 解：由气体状态方程p?nkT得
p1.38?10?317?3n???3.33?10 m 23kT1.38?10?3001由平均自由程公式 ?? 22?dn1???7.5 m ?20172??9?10?3.33?107.26 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.33×10Pa，
-10
平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径10 m)? 解：(1)碰撞频率公式z?2?dnv 对于理想气体有p?nkT，即
2-4
6
n?p kT2?d2vp所以有 z?
kT8.31?273RT?455.43 m?s?1 而 v?1.60 v?1.6028Mmol氮气在标准状态下的平均碰撞频率
z?2??10?20?455.43?1.013?1058?1?5.44?10s 01.38?10?2732??10?20?455.43?1.33?10?4?1?0.714s1.38?10?23?273
气压下降后的平均碰撞频率
z?7.27 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比． 解：由气体状态方程
p1p2? 及 p2V2?p3V3 T1T2方均根速率公式 v?1.732RT Mmolv2初v2末?T1?T2p11 ?p22对于理想气体，p?nkT，即 n?所以有 ??p kTkT2?dp2
?初T1p2??1 ?末p1T27.28 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm(1.013×10 Pa)，温度为27 ℃；起飞后
5
压力计指示为0.8 atm(0.8104×10 Pa)，温度仍为27 ℃，试计算飞机距地面的高度． 解：气体压强随高度变化的规律：由p?nkT及n?n0emgzkT?5
?p0e?p0epRTln0 z?Mmolgp8.31?3001z?ln?1.96?103 m
0.0289?9.80.87.29 上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)． 解：压强随高度变化的规律
z?p?n0kTe?mgzkT?mgzkTMmolgzRTpRTln0
Mmolgp7
z?（7.30 7.31 7.32没有）
8.31?2731ln?2.3?103m
0.0289?9.80.75习题八
8.3下列表述是否正确?为什么?并将错误更正．
Q?E??pdV?Q??E??A（1） （2）
Q2Q?不可逆?1?2Q1 （4）Q1 （3）
解：(1)不正确，Q??E?A
??1?(2)不正确，
Q?ΔE??pdVQ2Q1
Q?1?2Q1
??1?(3)不正确，
?不可逆(4)不正确，
8.4 p?V图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高?
??答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．由于
A净Q1，A净面积越大，效
率不一定高，因为?还与吸热Q1有关． 8.5 如题8.5图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是零，说明理由．
解：各图中所表示的循环过程作功都为0．因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小相等，而循环方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为0．
题8.5图
8.6 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在p?V图上一绝热线与一等温线不能有两个交点．
题8.6图
解：1.由热力学第一定律有
Q??E?A
8