在BD上.AF=CE.BH=DG． 求证：GF∥HE．

A

E G F B

C

O H

D

【答案】证明：∵平行四边形ABCD中.OA=OC.

由已知：AF=CE AF－OA=CE－OC ∴OF=OE 同理得：OG=OH ∴四边形EGFH是平行四边形 ∴GF∥HE 20、（2011四川成都10分） 如图.已知线段AB∥CD.AD与BC相交于点K.E是线段AD上一动点. (1)若BK=

5CDKC.求的值； 2AB1AD时.猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等21量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD (n?2).而其余条件不变时.线

n (2)连接BE.若BE平分∠ABC.则当AE=

段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论.不必证明．

CKDEACKEBD

ABFG

. .

【答案】解：（1）∵AB∥CD.BK=

5CDCK2KC.∴==. 2ABBK5

（2）如图所示.分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点. ∵BE∥DG.点E是AD的点.∴AB=BG；∵CD∥FG.CD∥AG.∴四边形CDGF是平行四边形.∴CD=FG； ∵∠ABE=∠EBC .BE∥CF.∴∠EBC=∠BCF.∠ABE=∠BFC.∴BC=BF. ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC.∴AB=BC+CD. 当AE=

1AD (n?2)时.（n?1）AB=BC+CD. n21、（2011贵州安顺10分）如图.在△ABC中.∠ACB=90°.BC的垂直平分线DE交BC于D.交AB于E.F在DE上.且AF=CE=AE．

⑴说明四边形ACEF是平行四边形；

⑵当∠B满足什么条件时.四边形ACEF是菱形.并说明理由．

【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF.∴EF = CA.∴四边形ACEF是平行四边形 ． （2）当∠B=30°时.四边形ACEF是菱形 ． 理由是：∵∠B=30°.∠ACB=90°.∴AC=又∵AE=CE.∴CE=

第25题图

1AB.∵DE垂直平分BC.∴ BE=CE 21AB.∴AC=CE.∴四边形ACEF是菱形． 222、（2011山东滨州10分）如图.在△ABC中.点O是AC边上（端点除外）的一个动点.过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.连接AE、AF。那么当点O运动到何下时.四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

AMBEOFNC（第24题图）

【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时. 四边形AECF是矩形………………2分

. .

证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2.………………3分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3.

∴∠3=∠2.∴EO=CO. ………………5分 同理.FO=CO………………6分 ∴EO=FO

又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分

又∵∠1=∠2.∠4=∠5.∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分 ∴四边形AECF是矩形………………10分 23、（2011湖北襄阳10分)如图9.点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A.B重合）.连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE.PE交边BC于点F.连接BE.DF. （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当

AP的值等于多少时.△PFD∽△BFP？并说明理由. AB

DCFAPBE图9

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴∠A＝∠PBC＝90°.AB＝AD.∴∠ADP＋∠APD＝90° ······ 1分 ∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB. ······················ 2分 （2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G.则∠EGP＝∠A＝90° ··· 3分 DCFAPBEG

又∵∠ADP＝∠EPB.PD＝PE.∴△PAD≌△EGP

∴EG＝AP.AD＝AB＝PG.∴AP＝EG＝BG ············· 4分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°. ··················· 5分 （3）方法一：

当

AP1?时.△PFE∽△BFP. ················· 6分 AB2∵∠ADP＝∠FPB.∠A＝∠PBF.∴△ADP∽△BPF ········· 7分

. .

设AD＝AB＝a.则AP＝PB＝a.∴BF＝BP·∴PD?AD2?AP2?∴

12AP1?a ······ 8分 AD455a.PF?PB2?BF2?a 24PBBF5 ······················ 9分 ??PDPF5又∵∠DPF＝∠PBF＝90°.∴△ADP∽△BFP ··········· 10分 方法二：

假设△ADP∽△BFP.则

PBBF?. ·············· 6分 PDPF∵∠ADP＝∠FPB.∠A＝∠PBF.∴△ADP∽△BPF ········· 7分 ∴∴

PDAP?. ······················· 8分 PFBFPBAP?. ······················· 9分 BFBFAP1?时.△PFE∽△BFP. AB2∴PB＝AP. ∴当10分

24. （2011湖南永州10分）探究问题：

⑴方法感悟：如图①.在正方形ABCD中.点E.F分别为DC.BC边上的点.且满足∠EAF=45°.连接EF.求证DE+BF=EF．

感悟解题方法.并完成下列填空：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.此时AB与AD重合.由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2.∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°. 因此.点G.B.F在同一条直线上．

∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2. ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE.AF=AF

∴△GAF≌_______．

∴_________=EF.故DE+BF=EF．

A132DEGBFC（第25题）①

12⑵方法迁移：

如图②.将Rt?ABC沿斜边翻折得到△ADC.点E.F分别为DC.BC边上的点.且∠EAF=∠DAB．试猜想DE.BF.EF之间有何数量关系.并证明你的猜想．

. .