15 狭义相对论基础

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班号 学号 姓名 成绩

一、选择题

（在下列各题中，均给出了4个~6个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）

1. 狭义相对论揭示了：

A．微观粒子的运动规律； B．电磁场的运动规律；

C．高速物体的运动规律； D．引力场中的时空结构。 （C）

[知识点] 狭义相对论的研究对象。

2. S系内发生的两事件P1和P2，其时空坐标分别为P1 (x1，t) 和P2 (x2，t)，S’系以高速v相对于S系沿x轴方向运动，则S’系测得这两件事必是：

A．同时事件； B．不同地点发生的同时事件；

C．既非同时，也非同地； D．无法确定。 （C）

[知识点] 同时性的相对性概念。

[分析与解答] 由题意知，?x?x2?x1?0，?t?t2?t1?t?t?0，即这两个事件在S系是同时不同地发生的，则由洛仑兹变换式得

?x?v?t1?v2?t?2vc22?x/c2?x???0，?t???0

/c1?v所以，S’系测得这两件事必是既非同时，也非同地。

3. 两个惯性系S和S?，S?系沿x（x?）轴方向以速度v相对于速度S系运动。设在S?系中某点先后发生的两个事件，用固定于该系的钟测出两事件的时间间隔为?0，而用固定在S系的钟测出这两个事件的时间间隔为? 。又在S?系x?轴上放置一固有长度为l0的细杆，从S系测得此杆的长度为l，则下列正确的是：

A. ???0，l?l0； B. ???0，l?l0；

C. ???0，l?l0； D. ???0，l?l0。 （D）

[知识点] 时间膨胀、长度收缩。

[分析与解答] 由题意知，S?系中的时间间隔?0是固有时间，S系中的时间间隔? 是观测时间，则由???01?v2/c2知，???0。

又知，S?系中的l0是固有长度，S系中的l是观测长度，则由l?l01?v2/c2知，

l?l0。

4. 位于上海浦东的“东方明珠”电视塔高h = 468m，在以速度v = 0.8c竖直上升的火箭上有一观测者，他测得的电视塔高为：

A. 468m； B. 0；

C. 374.4m； D. 280.8m。 （D） [知识点] 长度收缩公式。

[分析与解答] 由题意知，固有高度为h = 468m，v = 0.8c，则观测高度为

l?h1?vc22?0.8c??468?1???c??2?280.8m

5. 某地在举办世界杯足球决赛，加时赛共踢了30min，则在以v = 0.6c飞行的宇宙飞船上的乘客，观测到的该加时赛持续时间为：

A．24 min； B．18 min；

C．50 min； D．37.5 min。 （D）

[知识点] 时间膨胀公式。

[分析与解答] 由题意知，固有时间为?t0?30min，v = 0.6c，则观测时间为

?t??t01?vc22?30?0.6c?1???c??2?37.5min

6. 电子的静止质量为m0，当它以v = 0.6c的速度运动时，其动质量与静质量之比为：

A．1； B．1.25；

C．1.67； D．?。 （B）

[知识点] 质速关系。

[分析与解答] 由质速关系m?m01?vc22，则得

mm0?11?vc22?1?0.6c?1????c?2?1.25

7. 一个中子的静止能量E0 = 900MeV，动能Ek = 60MeV，则中子的运动速度为：

A．0.30c； B．0.35c；

C．0.40c； D．0.45c。 （B）

[知识点] 相对论动能。

[分析与解答] 相对论动能Ek?mc2?m0c2?m0c1?222vc?m0c2?(11?vc22?1)E0，得

1?vc22?11?Ek/E0?1516

即 v?0.35c

8. 把一个静止质量为m0的粒子，由静止加速到v = 0.6c，需做的功为：

A．0.18m0c； B．0.25m0c；

C．0.36m0c； D．1.25m0c。 （B）

[知识点] 功能关系，相对论动能。 [分析与解答] 由功能关系知：

A?Ek?mc22222?m0c2?m0c1?222vc?m0c

2?(1?0.6c?1???c??2?1)m0c2?0.25m0c

2

9. 某核电站年发电量为100?10kW?h，相当于36?10915J的能量，如果这些能量是

由核材料的全部静止能量转化而来的，则需要消耗的核材料的质量为：

A．0.4kg； B．0.8kg；

C．12?107kg； D．

[知识点] 质能关系。

[分析与解答] 由质能关系E0?m0c2，则得

m0?E0c2112?10kg。 （A）

7?36?108152(3?10)?0.4kg

10. 在一惯性系中，两个静止质量均为m0的粒子A和B，分别以速度v沿同一直线相向运动，相碰后合在一起成为一个新粒子C，则新粒子C的质量为：

A．2 m0； B. 2m01?m02vc22vc22；

C．1?； D．

2m01?vc22。 （D）

[知识点] 质能守恒。

[分析与解答] 由能量守恒定律知，碰撞前后系统的总能量守恒，即

2m0c1?vc222?mc

2则得 m?2m01?vc22

二、填空题

1. 狭义相对论的两条基本原理是： （1） 光速不变原理 ； （2） 爱因斯坦相对性原理 。 [知识点] 狭义相对论的两条基本原理的内容。

2. 在惯性系S中，测得一闪光信号的时空坐标是：x = 100km，y = 10km，z = 1km，t = 5×10-4s。另一惯性系S?以v = 0.8c相对于S系沿x轴运动，则S?系测得这一闪光信号的时空坐标为：

x?? -33.3km ； y?? 10 km ； z?? 1 km ； t?? 3.89×10-4s 。

[知识点] 洛仑兹变换式。

[分析与解答] 由洛仑兹变换的正变换式，可求得

x??x?vt1?vc22?100?10?0.8?3?10?5?10?0.8c?1???c??238?4??33.3km

y??y?10km z??z?1km

t?t??vc2x225?10??4?0.8cc2?100?1023?3.89?10?4s

1?vc?0.8c?1????c?

3. S?系（O?x?y?z?）以vx = 0.8c相对于S系（Oxyz）运动，当t?t??0时，OO?重合，并同时发出一个光信号，则S系和S?系测得此光信号的运动方程为： S系： x2?y2?z2?c2t2?0 ； S?系： x'2?y'2?z'2?c'2t'2?0 。 [知识点] 光速不变原理。

[分析与解答] 在S系中，光信号在传播了t时间后，光传到距离O点为r的地方，此时的时空坐标为（x,y,z,t），由于光速为c，则此光信号的传播规律为 r?ct 式中r?x?y?z2222，则S系中此光信号的运动方程为

22x?y?z?ct或x?y?z?ct?0

2222222 同理，在S?系中，光信号在传播了t?时间后，光传到距离O?点为r?的地方，此时的时空坐标为（x?,y?,z?,t?），由于光速不变，仍为c，则此光信号的传播规律为 r??ct? 式中r??x??y??z?，则S?系中此光信号的运动方程为

x??y??z??ct?或x'?y'?z'?c't'?0

2222222222222

4. 一颗星体以v = 0.5c的速度远离地球而去，则其上发出的光子相对于地球的速度为 c 。

[知识点] 光速不变原理。

5. 路旁竖立着一块边长为10m的正方形广告牌，一辆以v = 0.6c的高速列车通过此广告牌时，则车上乘客测得此广告牌的面积为 80m。 [知识点] 运动方向上的长度收缩。 [分析与解答] lx?l1?vc222

?0.6c??10?1????c?2?8m

ly?l?10m

广告牌的面积为 S?lxly?80m

6. π?介子是不稳定粒子，其静止时的寿命为2.6?10?8s。若此粒子以v = 0.8c的速度离开加速器，那么实验室坐标系中测量的π?介子寿命为 4.3?10?8s ；π?介子在衰变前运动的距离为 10.3m ；若不考虑相对论效应，π?介子运动的距离为 6.24m 。 [知识点] 时间膨胀，运动寿命会延长。

?8[分析与解答] 由题意知，π?介子的固有寿命为?t0?2.6?10s，则实验室坐标系中测量

2的π?介子寿命为运动寿命，其为

?t??t01??vc22?2.6?10?82?4.3?10?8s

?0.8c?1????c?π介子在衰变前运动的距离为 d?v?t?0.8c?4.3?10?8?10.3m

?8若不考虑相对论效应，π?介子运动的距离为 d0?v?t0?0.8c?2.6?10?6.24m

7. 相对论动能Ek? mc量。

[知识点] 相对论动能。

2?m0c ；当速度v?

232c 时，粒子的动能等于其静止能

[分析与解答] 由题意知有 Ek?mc则

m0c1?2222?m0c2?m0c

22vc?2m0c

求解的 v?

32c

8. ??粒子在加速器中被加速，当其质量是静止质量的n倍时，则??粒子的运动速度

v?

n?1n2c ，其总能量为静止能量的 n 倍，其动能为静止能量的 n?1 倍。

[知识点] 质速关系，质能关系。 [分析与解答] 由质速关系m?m01?mm011?vc222vc22，则得

??n

则??粒子的运动速度为 v?n?1n2c m0相对论总能量为E?mc?1?vc22c2?nE0

相对论动能为Ek?E?E0?nE0?E0?(n?1)E0

29. 已知电子的静止质量m0e?0.51MeV/c，当电子以v?0.8c的速度运动时其动量

pe? 0.68 MeV / c 。 [知识点] 动量和能量的关系。

2222[分析与解答] 电子动量和能量的关系为pec?E?E0，则得

pec22?(11?vc22?1)m0ec

24即 pec?1?1vc22?1?m0ec

2?1?0.8c?1????c?222?1?0.51MeV/c?c?0.68MeV

则动量为 pe?0.68MeV/c

10. 在正负电子湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰，转化为电磁辐射。已知正、负电子的质量皆为9.11?10?31kg，设恰在湮没前两电子是静止的，则电磁辐射的总能量E

= 1.64?10?13 J。 [知识点] 质能守恒。

[分析与解答] 由能量守恒定律得

E?2m0c2?2?9.11?10-13?31?(3?10)

82?1.64?10J

三、计算题

OO?1. 两个惯性系S和S?，当t?t??0时，S?系以v = 0.6c相对于S系沿x轴运动，

重合，试求：

（1）在S?系的x?处发生一个物理过程，S?系中的观测者测得该过程经历的时间为

?t??20s，则S系中的观测者测得该过程所经历的时间?t为多少？

（2）若S?系上有一根长为l??2m的细杆沿x?轴放置，则S系测得此杆的长度为多少？

（3） 若S?系上有质量为2kg的物体，则S?系和S系测得其总能量E?和E各为多少？ [分析与解答]（1）?t??20s为固有时间，则S系中的观测者测得的观测时间为

?t??t'1?vc22?20?0.6c?1???c??2?25s

（2）l??2m为固有长度，则S系测得的观测长度为 l?l'1?（3）静止质量为m0?2kg，则

28217S?系： E'?E0?m0c?2?(3?10)?1.8?10J

vc22?0.6c??2?1???c??2?1.6m

S系：E?mc2?m0c1?222?1.8?10172?2.25?1017J

vc?0.6c?1???c??

2. 两个惯性系S和S?，在S系中相距100kmS?系以v = 0.6c相对于S系沿x轴运动，的x1和x2处同时发生了两事件。试问：

（1）在S?系看来，两事件是否是同时发生的？ （2）S?系测得这两事件相距多远？ [分析与解答]（1）由洛伦兹变换得

?t?vc2?x220??0.6c?10c25 ?t'?1?vc?0.6c?1????c?2??2.5?10?4s?0

表明在S?系看来，这两事件不是同时发生的。 （2）由洛伦兹变换得 ?x'??x?v?t1?vc22?100?10?0?0.6c?1????c?23?1.25?10m

5表明在S?系中观测到这两事件的空间间隔为125km。

3. 一个放射性原子核以v = 0.5c的速度沿x轴方向相对于实验室运动。

（1）当核发生衰变时，以相对于核为0.9c的速度沿其运动方向发射出一个电子，试求该电子相对于实验室的速度；

（2）若衰变时，发射的是一个光子，试求光子相对于实验室的速度。

[分析与解答]（1）设实验室为S系，原子核为S?系，S?系相对于S系的速度为v = 0.5c。

?0.9c，则电子相对于S系的速度为 电子为“事件”，它对S?系的速度为u?x ux?u'x?v1?vc2?0.9c?0.5c1?0.5cc2?0.966c

u'x?0.9c?c，则光子相对于S系的速度为 （2）若发射的是光子，同理，u?x ux?u'x?v1?vc2?c?0.5c1?0.5cc2?c

u'x?c

4. 一动能为0.50MeV的电子垂直磁场B运动，其运动轨迹为半径r = 2cm的圆周。试求该磁场的磁感强度B的大小。（已知1MeV?1.6?10[分析与解答] 电子在洛伦兹力作用下作圆周运动，有

evB?mmver?13J，e?1.6?10?19C）

v2rper

（1）

则 B?? 式中，p为电子的相对论动量，由

E2?(pc)?E0

22及 E?E0?Ek

得 p?E?E0c22?Ek?2EkE0c2 （2）

将式(2)代入式(1)，且由题意知，Ek?0.50MeV，E0?0.51MeV，则得磁场的大小为

B?Ek?2EkE0erc22

?13

?0.5?2?0.50?0.51?1.6?101.6?10?19?0.02?3?108?0.145T