(名师导学)2020版高考数学总复习 坐标系练习理(含解析)新人教A版选修4_4 下载本文

A组题

??x′=3x,

1.求双曲线C:x-=1经过φ:?变换后所得曲线C′的焦点坐标.

64?2y′=y?

2

y2

【解析】设曲线C′上任意一点P′(x′,y′), 1?2

?x=x′,y2将?3代入x-=1,

64

??y=2y′得

x′24y′2

9-

64

=1,化简得x′2y′2

9-16

=1,

即-=1为曲线C′的方程. 916

可见仍是双曲线,则焦点为F1(-5,0),F2(5,0).

π?7π???2.已知直线l的极坐标方程为2ρsin?θ-?=2,点A的极坐标为?22,?,4?4???求点A到直线l的距离.

π?7π???【解析】依题可知直线l:2ρsin?θ-?=2和点A?22,?的直角坐标表示法为4?4???

x2y2

l:x-y+1=0和A(2,-2),所以点A到直线l的距离为d=

|2-(-2)+1|52

=. 22

21+(-1)

3.在极坐标系中,已知圆ρ=3cos θ与直线2ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a的值.

【解析】圆ρ=3cos θ的直角坐标方程为x+y=3x,

2

2

2

9?3?2

即?x-?+y=,

4?2?

直线2ρcos θ+4ρsin θ+a=0的直角坐标方程为2x+4y+a=0.

13

3

|2×+4×0+a|

23

因为圆与直线相切,所以=, 2222+4解得a=-3±35.

π?π?3??4.在极坐标系中,已知圆C经过点P?2,?,圆心为直线ρsin?θ-?=-与4?3?2??极轴的交点,求圆C的直角坐标方程.

π?3?【解析】在ρsin?θ-?=-中,令θ=0,得ρ=1,

3?2?所以圆C的圆心坐标为(1,0). π??因为圆C经过点P?2,?, 4??所以圆C的半径PC=

π22

(2)+1-2×1×2cos =1,

4

于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ. 则ρ=2ρcos θ,∴x+y=2x, 故圆C的直角坐标方程为(x-1)+y=1.

π??5.在极坐标系中,P是曲线C1:ρ=12sin θ上的动点,Q是曲线C2:ρ=12cos?θ-?6??上的动点,求|PQ|的最大值.

【解析】将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程: ∵ρ=12sin θ,∴ρ=12ρsin θ,∴x+y-12y=0, 即x+(y-6)=36.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

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将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程: π??∵ρ=12cos?θ-?, 6??

ππ??2

∴ρ=12ρ?cos θcos +sin θsin?,

66??∴x+y-63x-6y=0,∴(x-33)+(y-3)=36,

2

2

2

2

∴|PQ|max=6+6+(33)+3=18.

6.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,θ∈[0,2π).

(1)求曲线C的直角坐标方程;

(2)在曲线C上求一点D,使它到直线l:y=-3x+5的距离最短,并求出点D的直角坐标.

【解析】(1)由ρ=2sin θ,θ∈[0,2π),可得ρ=2ρsin θ. 因为ρ=x+y,ρsin θ=y,

所以曲线C的直角坐标方程为x+(y-1)=1.

(2)因为曲线C:x+(y-1)=1是以C(0,1)为圆心、1为半径的圆,易知曲线C与直线l相离.

设点D(x0,y0),且点D到直线l:y=-3x+5的距离最短, 所以曲线C在点D处的切线与直线l:y=-3x+5平行. 即直线CD与l的斜率的乘积等于-1,

2

2

2

2

2

2

2

2

22

y0-122

×(-3)=-1,又x0+(y0-1)=1, x0

333(舍去)或x0=,所以y0=, 222

可得x0=-

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即点D的坐标为?

?33?

,?. ?22?

B组题

π??2

1.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ-22ρcos?θ-?=2.

4??(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 【解析】(1)由ρ=2知ρ=4,所以x+y=4. π??2

因为ρ-22ρcos?θ-?=2,

4??

ππ??2

所以ρ-22ρ?cos θcos +sin θsin?=2.

44

2

2

2

??

所以x+y-2x-2y-2=0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1. 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1, π?2?即ρsin?θ+?=. 4?2?

2.在极坐标系中,已知直线l过点A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的π

最小正角为,求:

3

(1)直线l的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离.

22

【解析】(1)如图,由正弦定理得

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