考点三、函数及其相关概念 (3~8分) 1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 (3~10分) 1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果y?kx?b(k,b是常数,k?0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数y?kx?b中的b为0时,y?kx(k为常数,k?0)。这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数y?kx?b的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数y?kx的图像是经过原点(0,0)的直线。 k的符b的符函数图像 图像特征 号 号 y 图像经过一、二、三象限,yb>0 0 x k>0 随x的增大而增大。 b<0 y 图像经过一、三、四象限,y
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随x的增大而增大。 0 x y 图像经过一、二、四象限,yb>0 随x的增大而减小 0 x K<0 y 图像经过二、三、四象限,yb<0 随x的增大而减小。 0 x 注:当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质,,一般地,正比例函数y?kx有下列性质: (1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大; (2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质,,一般地,一次函数y?kx?b有下列性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大 (2)当k<0时,y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y?kx(k?0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y?kx?b(k?0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
考点五、反比例函数 (3~10分) 1、反比例函数的概念
一般地,函数y?kx(k是常数,k?0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写
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成y?kx?1的形式。自变量x的取值范围是x?0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0,函数y?0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质 k反比例y?(k?0) 函数 xk的符k>0 k<0 号 y y 图像 O x O x ①x的取值范围是x?0, ①x的取值范围是x?0, y的取值范围是y?0; y的取值范围是y?0; 性质 ②当k>0时,函数图像的两个分支分别 ②当k<0时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内,y 在第二、四象限。在每个象限内,y 随x 的增大而减小。 随x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?kx中,只有一个待定系数,
因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图,过反比例函数y?kx(k?0)图像上任一点
P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则所
kx,?xy?k,S?k得的矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy。 ?y?二次函数
考点一、二次函数的概念和图像 (3~8分) 1、二次函数的概念
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一般地,如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x 的二次函数。
y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
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二次函数的图像是一条关于x??b2a对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线y?ax2?bx?c与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 (10~16分)
二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0) (2)顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数,a?0)
(3)当抛物线y?ax2?bx?c与x轴有交点时,即对应二次好方程ax2?bx?c?0有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2),二次函数
y?ax2?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点,则不能这样表示。
考点三、二次函数的最值 (10分)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x??b2a时,y最值?4ac?b4a2。
b2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2,那么,首先要看?x1?x?x2内,若在此范围内,则当x=?b2a是否在自变量取值范围
时,y最值?4ac?b4a2;若不在此范围内,则需要
考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x?x2时,y最大?ax22?bx2?c,当x?x1时,y最小?ax12?bx1?c;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x?x1时,y最大?ax12?bx1?c,当x?x2时,y最小?ax22?bx2?c。 考点四、二次函数的性质 (6~14分) 1、二次函数的性质 函二次函数
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