摘 要

混沌现象的研究是非线性系统理论研究中的前沿课题。蔡氏电路是一个能产生混沌行为的最简单自治电路，该电路仅包含三个储能元件，在该电路中能够观察到极为丰富的非线性动力学行为。本文对该电路的复杂动力学行为做了较为深入的仿真和硬件实验研究，应用EWB仿真软件对蔡氏电路的复杂动力学行为进行了计算机仿真，通过改变蔡氏电路线性电阻的阻值，在实验中观察、了解了其通向混沌过程中的各种现象，为蔡氏电路混沌系统在保密通信中应用奠定了基础。

关键词：混沌；蔡氏电路；EWB仿真；

第1章 绪论

混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是自然界及社会中的一种普遍现象，它是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动的动力学行为。 由于其对初值的极端敏感性和类噪声性，在保密通信技术和扩频通信技术中具有广阔的应用前景。设计制造出能产生稳定混沌信号的电路硬件系统是混沌应用于信息通信领域的关键技术之一。为此各国学者进行了一系列的研究，找到并设计出了许多可产生混沌信号的电路系统。1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠教授(Leon.o.Chua)发明了蔡氏电路(Chua’s Circuit)，蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范，它是第一个能产生混沌信号的电路系统，该电路不仅广泛地用于研究混沌特性，而且在应用混沌同步进行保

密通信方面有较好的前景 。

1.1混沌学概述 1.1.1混沌学基本理论

现代非线性科学是人类科学文化的重要组成部分，而混沌又是现代非线性科学的重要组成部分，混沌理论为非线性系统的研究提供了简单有效的模型。

混沌揭示的是有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，是继相对论和量子力学问世以来，20世纪物理学的第三次大革命。混沌动力学的诞生不仅使物理学、数学本身有很大的发展，而且它的基本概念、精神实质、研究方法已经渗透到了包括人文社会科学在内的几乎所有科学领域。混沌学既是一门科学，一种世界观、一种方法论。它的基本观点为： 世界是确定的、必然的、有序的，但同时又是随机的、偶然的、无序的，有序运动会产生无序，无序的运动又包含着更高层次的有序。混沌是确定性的非线性系统产生的一种回复性、非周期、有界、类似随机的行为。这种类随机性常称作内在随机性，以区别于外在随机性。“确定性”的含义是，系统不含任何随机项，方程完全确定。混沌有以下三个特征[1]：

蝴蝶效应：蝴蝶效应即系统演化对初始条件的敏感性，在混沌出现的参数范围内，初始条件的一个微小误差在迭代过程会不断地被放大，不但使迭代结果变得极为不同而最后随机地历经几乎整个吸引子，由此使得系统的长期预测变得不可能。

奇异吸引子：代表系统的稳定态，在相空间中是由点或点的集合表示的。这种集合对周围的轨道有吸引作用，系统运动只有到达吸引子上才能稳定下来并保持下去。经典动力学包括三类吸引子：稳定不动点、稳定极限环和稳定环面。混沌动力学的吸引子是相空间的分形几何体，具有分数维数，称为奇异吸引子。

分形：1975年Mandelbrot的专著《分形： 形状、机遇和维数》标志着分形理论的诞生。人们通过列出分形的一系列特性来说明分形：分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构；分形集具有某种自相似形式；分形集的“分形维数”一般严格大于它相应的拓扑维数；分形集通常由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。 1.1.2蔡氏混沌电路的提出

蔡氏电路一直是在非线性电路中产生复杂动力学行为最有效而简单的混沌振荡电路之一。1983 年，在日本蔡少棠目睹了试图在基于洛仑兹方程的模拟电

路中产生混沌现象的试验，于是他也试图提出一个能够产生混沌的电子电路。他意识到在分段线性电路中，如果能够提供至少两个不稳定的平衡点(一个提供伸长，另一个折叠轨迹) ，就可以产生混沌。怀着这种想法，他系统地证明了那些含有简单的由电压控制的非线性电阻的三阶分段线性电路能够产生混沌现象。证明了电压控制非线性电阻RN的驱动点特征应符合至少有两个不稳定平衡点的要求，于是，他发明了蔡氏电路如图1-1。

RNRLC2C10图1-1 蔡氏电路方框图

蔡氏电路中的非线性电阻RN又称为蔡氏二级管。可用多种方法实现。由图可以看到，蔡氏电路是由电阻电容和电感及蔡氏二极管组成的三阶自治电路，在满足以下条件时能够产生混沌现象[2]：

(a) 非线性元件不少于1 个； (b) 线性有效电阻不少于1 个； (c) 储能元件不少于3 个。

符合以上标准的最简单电路，就是混沌电路之一——典型蔡氏电路。蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有本质的不同，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的状态。现在以其中的线性电阻R(方程中的

G?1R) 为例说明，R两端分别是线性元件与蔡氏二极管，R将这二者连接在

线性元件C2、L端，R是非耗能元件，蔡氏二极管是放能元件，只有R是耗能元件。不断地改变电阻R的数值，可以得到各种周期相图和吸引子。 1.1.3 混沌的发展与前景展望

目前，混沌系统的控制研究已经取得了一定的成果。国内外学术界发表了许多有关控制混沌系绕和混沌现象方面的论文，理论研究除了涉及到以上所介绍的方法外，还有参数扰动OGY 的各种改进法、纳入轨道和强迫迁徒法、弱周期扰动、偶然正比技术法、跟踪法、连续变量反馈法、正比变量脉冲反馈法、线性和

非线性反馈法、直接反馈法、变量反馈法、参数共振法、工程反馈控制法、分布参数系统的人工智能控制(包括神经网络和随机控制方法的尝试) 等等。在应用方面，主要包括混沌信号同步化和保密通信，混沌预测，混沌神经网络的信息处理、混沌与分形图像处理，基于混沌的优化方法、混沌生物工程、天气系统、生态系统、混沌经济等。此外，控制混沌的技术还被应用到神经网络、激光、化学反应过程、流体力学、非线性机械故障诊断系统、非线性电路、天体力学、医疗以及分布参数的物理系统的研究工作中去.人们已经对混沌控制进行了大量的研究，并已取得了许多结果，但是混沌控制仍是一个全新的科学前沿，很多系统的理论和有效的方法尚待发展[3]。 1.2 课题来源及论文的主要内容 1.2.1 课题来源

混沌是非线性确定系统中由于内禀随机性而产生的外在复杂表现，是一种貌似随机的非随机运动。它的基本特征之一是系统对初始条件的极端敏感性，即初始条件的微小差异会随时间的演化呈指数增长，最终不可接受。其长期行为表现出明显的随机，不可控制和不可预测。人们对混沌现象的研究起始于70 年代后期。被誉为“混沌之父”的美国科学家Lo renz 曾经给出过一个通俗的定义：一个真实的物理系统，在排除了所有的随机性影响以后，仍有貌似随机的表现，那么这个系统就是混沌的。1983 年，蔡少棠教授首次提出了著名的Chua电路，它是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最有效而简单的混沌振荡电路之一。通过对Chua 电路参数的改变，可产生从倍周期分岔、单涡卷、周期3 到双涡卷等十分丰富的混沌现象，从而使人们能从电路的角度较为方便地对混沌机理与特性进行研究。

由此，本次设计的主要任务就是在设计和实现蔡氏电路方面做一尝试，在计算机上仿真蔡氏电路并对其进行硬件实验，通过观察其丰富的分岔和混沌现象，加深对非线性系统的复杂动力学行为及混沌现象的理解，从而为进一步蔡氏电路的应用奠定基础。 1.2.2 论文的主要内容

本次设计的主要目标是从数学模型入手，对蔡氏非线性电路进行计算机仿真和电路实验。

论文的主要内容包括：

第1章：绪论。简要介绍了混沌学的基本理论、蔡氏电路提出的背景和过程