1． 一个银行在下一年盈利的回报服从正态分布。期望回报为整体资产的0.6%，而标准差为整体资产的1.5%。银行的权益资本占整体资产的4%，在忽略税收的情况下，银行在下一年仍有正的权益资本的概率为多大？

解： 由于银行的权益资本占整体资产的4%，因此银行在下一年仍有正的权益资本的概率对应于银行的盈利大于资产的-4%的概率。

设 银行在下一年的盈利占总体总产的比例为X，则X大于资产的-4%的概率为P(X??4%)，由于银行在下一年的盈利的回报服从正态分布，由题意有：

P(X??4%)?1?P(X??4%)?1?N(?4%?0.6%4.6%)?N()?N(3.067)1.5%1.5%

即银行股票为正的概率为N（3.067），其中N为标准正态分布，查表的其解为99.89%，因此在忽略税收的情况下，银行在下一年仍有正的权益资本的概率为99.89%。

2． 股票的当前市价为94美元，同时一个3个月期的、执行价格为95美元的欧式期权价格为4.70美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不知道是否应该买入100股股票或者买入2000个（相当于20份合约）期权，这两种投资所需资金均为9400美元。在此你会给出什么建议？股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好？

解 ： 设 3个月以后股票的价格为X美元（X>94）

（1）当94?X?95美元时，此时股票价格小于或等于期权执行价格，考虑到购买期权的费用，应投资于股票。

（2）当X?95美元时，投资于期权的收益为：(X?95)?2000?9400美元，投资于股票的收益为(X?94)?100美元

)令 (X?95?20?009?4X00?(?9 4)解得X = 100美元 给出的投资建议为：

若3个月以后的股票价格：94?X?100美元，应买入100股股票； 若3个月以后的股票价格X=100美元，则两种投资盈利相同；

若3个月以后股票的价格：X?100美元，应买入2000个期权，在这种价格下会使得期权投资盈利更好。

3． 某银行持有USD/EURO汇率期权交易组合，交易组合的Delta为30000，Gamma为-80000，请解释这些数字的含义。假设当前汇率（1欧元所对应的美元数量）为0.90，你应该进行什么样的交易以使得交易组合具备Delta中性？在某段时间后，汇率变为0.93。请估计交易组合新的Delta。此时还要追加什么样的交易才能保证交易组合的Delta呈中性？假如最初银行实施Delta中性策略，汇率变化后银行是否会有损益？

解：Delta的数值说明，当欧元汇率增长0.01时，银行交易价格会增长0.01?30000=300美元；Gamma的数值说明，当欧元价格增长0.01美元时，交易组合的Delta会下降0.01?80000=800美元。 为了做到Delta中性，应卖出30000欧元。

当汇率增长到0.93时，期望交易组合的Delta下降为（0.93-0.90）?8000=2400,组合的价值变为27600，为了维持Delta中性，银行应该对2400数量欧元短头寸进行平仓，这样可以保证欧元净短头寸为27600。

当一个交易组合的Delta为中性，同时Gamma为负，资产价格有一个较大变动时会引发损失。这时的结论是银行可能会蒙受损失。

4． 假设某两项投资中的任何一项都有4%的可能触发损失1000万美元，有2%的可能触发损失100美元，并且有94%的概率盈利100万美元，这两项投资相互独立。

(1) 对应于在95%的置信水平下，任意一项投资的VaR是多少？

(2) 选定95%的置信水平，任意一项投资的预期亏损是多少？

(3) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR是多少？

(4) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预期亏损是多少？

(5) 请说明此例的VaR不满足次可加性条件，但是预期亏损满足次可加性条件。

解：（1）对应于95%的置信水平，任意一项投资的VaR为100万美元。 （2）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中，有4%的概率损失1000万美元，1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是 4%1% ?1000??100?820万美元5%5%

（3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.04?0.04=0.0016的概率损失2000万美元，有0.02?0.02=0.0004的概率损失200万美元，有0.94?0.94=0.8836的概盈利200万美元，有2?0.04?0.02=0.0016的概率损失1100万美元，有2?0.04?0.94=0.0752的概率损失900万美元，有2?0.94?0.02=0.0376的概率不亏损也不盈利，由于

0.95=0.8836++0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR是900万美元。

（4）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中,有0.16%的概率损失2000万美元，有0.16%的概率损失1100万美元，有4.68%的概率损失900万美元，因此，两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预期亏损

4.68%0.16%0.16%是 ?900??1100??2000?941.6万美元5%5%5%（5）由于900?100?2=200，因此VaR不满足次可加性条件，941.6?820?2=1640，因此预期亏损满足次可加性条件。

5． 一家银行在下一年的盈利服从正态分布，其期望值和标准差分别为资产的

0.8%和2%。对应于

（1） 在99％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？ （2） 在99.9％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？ 分析中忽略税收。 解：（1）设 在99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为A，银行在下一年的盈利占资产的比例为X，由于盈利服从正态分布，因此银行在99%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为：P(X??A)，由此可得

P(X??A)?1?P(X??A)?1?N(?A?0.8%A?0.8%)?N()?99% 2%2%A?0.8%=2.33，解得A=3.86% 2%即在99％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为3.86%。

（2）设 在99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为B，银行在下一年的盈利占资产的比例为Y，由于盈利服从正态分布，因此银行在

查表得

99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为：P(Y??B)，由此可得

P(Y??B)?1?P(Y??B)?1?N(?B?0.8%B?0.8%)?N()?99.9% 2%2%查表得

B?0.8%=3.10，解得B=5.4% 2%即在99.9％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为5.4%。 6． 股票的当前市价为94美元，同时一个3个月期的、执行价格为95美元的欧式期权价格为4.70美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不知道是否应该买入100股股票或者买入2000个（相当于20份合约）期权，这两种投资所需资金均为9400美元。在此你会给出什么建议？股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好？

解 ： 设 3个月以后股票的价格为X美元（X>94）

（1）当94?X?95美元时，此时股票价格小于或等于期权执行价格，考虑到购买期权的费用，应投资于股票。

（2）当X?95美元时，投资于期权的收益为：(X?95)?2000?9400美元，

投资于股票的收益为(X?94)?100美元

令 (X?95?)解得X = 100美元 给出的投资建议为：

若3个月以后的股票价格：94?X?100美元，应买入100股股票； 若3个月以后的股票价格X=100美元，则两种投资盈利相同；

若3个月以后股票的价格：X?100美元，应买入2000个期权，在这种价格下会使得期权投资盈利更好。

7． 一金融机构持有以下场外期权交易组合，基础资产为英镑：

期权 种类 看涨 看涨 看跌 看跌

头寸 数量 -1000 -500 -2000 -500

期权的 期权的 期权的 Delta 0.50 0.80 -0.40 0.70

Gamma 2.2 0.6 1.3 1.8

Vega 1.8 0.2 0.7 1.4

20?009?4X00?(?9 4)某交易所交易期权的Delta为0.6，Gamma为1.5，Vega为0.8。 （1） 用多少交易所期权可以使场外交易同时达到Gamma及Delta中性，这

时采用的交易是多头头寸还是空头头寸？

（2） 采用什么及多少交易所交易期权可以使场外交易组合同时达到Vega

以及Delta中性，交易应该为多头头寸还是空头头寸？

解：根据表格信息可以得出组合资产的头寸数量为-(1000+500+2000+500)=-4000；

组合的Delta=(-1000) ?0.5+(-500) ?0.8+(-2000) ?(-0.4)+(-500) ?0.7=-450;

同理可得组合的Gamma=-6000;组合的Vega=-4000;

（a）为达到Gamma中性，需要在交易组合中加入?(?6000/1.5)?4000份期权，加入期权后的Delta为?450?4000?0.6?1950，因此，为保证新的交易组合的Delta中性，需要卖出1950份英镑。为使Gamma中性采用的交易是长头寸，为使Delta中性采用的交易是短头寸。

(b)为达到Vega中性，需要在交易组合中加入?(?4000/0.8)?5000份期权，加入期权后的Delta为?450?5000?0.6?2550，因此，为保证新的交易组合的Delta中性，需要卖出2550份英镑。为使Vega中性采用的交易是长头寸，为使Delta中性采用的交易是短头寸。

8． 假设某两项投资中的任何一项都有0.9%的可能触发损失1000万美元，有99.1%的可能触发损失100美元，并且有正收益的概率均为0，这两项投资相互独立。

(6) 对应于在99%的置信水平下，任意一项投资的VaR是多少？ (7) 选定99%的置信水平，任意一项投资的预期亏损是多少？

(8) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是多少？

(9) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预期亏损是多少？ (10)

请说明此例的VaR不满足次可加性条件，但是预期亏损满足次可加

性条件。

解：（1）对应于99%的置信水平下，任意一项投资的VaR是100万美元。 （2）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中，有0.9%的概率损失1000万美元，0.1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是

0.1%0.9%?100??1000?910万美元1%1%（3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.009?0.009=0.000081的概率损失为2000万美元，有0.991?0.991=0.982081的概率损失为200万美元，有2?0.009?0.991=0.017838的概率损失为1100万美元，由于

99%=98.2081%+0.7919%，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是1100万美元。

（4）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中,有0.0081%的概率损失2000万美元，有0.9919%的概率损失1100万美元，因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预期亏损是

0.0000810.009919?2000??1100?1107万美元0.010.01

（5）由于1100?100?2=200，因此VaR不满足次可加性条件，

1107?910?2=1820，因此预期亏损满足次可加性条件。

9． 一家银行在下一年的盈利服从正态分布，其期望值和标准差分别为资产的0.8%和2%。对应于

（3） 在99％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？ （4） 在99.9％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？ 分析中忽略税收。

解：（1）设 在99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为A，银行在下一年的盈利占资产的比例为X，由于盈利服从正态分布，因此银行在99%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为：P(X??A)，由此可得

P(X??A)?1?P(X??A)?1?N(?A?0.8%A?0.8%)?N()?99% 2%2%A?0.8%=2.33，解得A=3.86% 2%即在99％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为3.86%。

（2）设 在99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为B，银行在下一年的盈利占资产的比例为Y，由于盈利服从正态分布，因此银行在

查表得

99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为：P(Y??B)，由此可得

P(Y??B)?1?P(Y??B)?1?N(?B?0.8%B?0.8%)?N()?99.9% 2%2%查表得

B?0.8%=3.10，解得B=5.4% 2%即在99.9％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为5.4% 10．

一个交易员在股票价格为20美元时，以保证金形式买入200股股票，

初始保证金要求为60%，维持保证金要求为30%,交易员最初需要支付的保证金数量为多少？股票在价格时会产生保证金催付？

解：（1）由题目条件可知，初始股票价格为20美元，购入了200股股票，那么初始股票价值为20?200?4000美元，初始准备金为4000?60%?2400美元.

（2）设 当股票价格跌至X美元时产生准备金催款

当股票价格下跌至X美元时，股票价值为200X，则股票价值下跌了

200?(20?X)美元

此时保证金余额为 2400?[200?(20?X)]美元，又已知维持保证金为30%，则有：

2400?[200?(20?X)]?0.3

200X解得X?11.43美元 11．

某银行持有USD/EURO汇率期权交易组合，交易组合的Delta为30000，

Gamma为-80000，请解释这些数字的含义。假设当前汇率（1欧元所对应的美元数量）为0.90，你应该进行什么样的交易以使得交易组合具备Delta中性？在某段时间后，汇率变为0.93。请估计交易组合新的Delta。此时还要追加什么样的交易才能保证交易组合的Delta呈中性？假如最初银行实施Delta中性策略，汇率变化后银行是否会有损益？

解：Delta的数值说明，当欧元汇率增长0.01时，银行交易价格会增长

0.01?30000=300美元；Gamma的数值说明，当欧元价格增长0.01美元时，交易组合的Delta会下降0.01?80000=800美元。 为了做到Delta中性，应卖出30000欧元。

当汇率增长到0.93时，期望交易组合的Delta下降为（0.93-0.90）?8000=2400,组合的价值变为27600，为了维持Delta中性，银行应该对2400数量欧元短头寸进行平仓，这样可以保证欧元净短头寸为27600。

当一个交易组合的Delta为中性，同时Gamma为负，资产价格有一个较大变动时会引发损失。这时的结论是银行可能会蒙受损失。 12．

组合A是由一个一年期，面值为2000美元零息债券及一个10年期，面

值为6000美元的零息债券组成。组合B是由5.95年期，面值为5000美元的债券组成，当前所有债券年收益率为10%（连续复利）。 （1） 证明两个组合具有相同的久期。

（2） 证明如果收益率有0.1%上升，两个组合价值变化同利率变化的百分

比相同。

（3） 如何收益率上升5%，两种组合价值变化同利率变化的百分比为多

少？

解：（1）对于组合A，一年期债券的现值Ba1?2000?e?0.1?1809.67，十年其债券的现值Ba2?6000?e?0.1?10?2207.28

组合A的久期为

1?1809.67?2207.28?10?5.95

1809.67?2207.28由于组合B的久期亦为5.95，因此两个组合的久期相等

（2）因为收益率上升了0.1%，上升幅度比较小，因此A,B组合价值的变化可以分别由以下公式表示：

?PA??PADA?y?PB??PBDB?y

所以有

?PA?PB ; ??DA??DB

PA?yPB?y由（1）可知组合A与组合B的久期相等，因此两个组合价值变化同利率变化的百分比相同。

（3）因为收益率上升了5%，上升幅度较大，因此A，B组合价值的变化

11可分别表示为：?PA??PADA?y?CAPA(?y)2;?PB??PBDB?y?CBPB(?y)2

22所以有

?PA?PB11??DA?CA?y; ??DB?CB?y PA?y2PB?y21809.67?12?2207.28?102?55.4 可以计算得到组合A的曲率为

1809.67?2207.285000?5.952?35.4 组合B的曲率为

5000分别把数据代入公式，计算得到 ?PA??5.95?1?55.4?5%??4.565PA?y2

?PB1??5.95??35.4?5%??5.065PB?y2因此，如果收益率上升5%，两种组合价值变化同利率变化的百分比分别为-4.565和-5.065.