f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）， 令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1， 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，

?1?，?1，???上单调递增，在??1,1?上单调递∴f?x??x?3x?a?a?R?在???，3减，

a, f?1???2??a, 且f??1??2??若f?x?有且只有一个零点，则a?2,或a??2

∴“a?2”是“f(x)有且只有一个零点”的充分而不必要条件， 故选：A 【点睛】

本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.

9．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切.若点P是圆B上的动点，则DB?AP的最大值是（ ） A．22 【答案】D

【解析】建立平面直角坐标系，圆B的方程为：

B．42 C．4

D．8

uuuvuuuvuuuvuuuv???DB?AP?4?4sin????，利用正弦型函数的性质得到最值. x?y?2, 4??22【详解】

如图，建立平面直角坐标系，则B?0,0?，A?0,2?，D?2,2?， 圆B的方程为：x?y?2,∴P22?2cos?，2sin?，

?uuuvuuuv∴DB???2，?2?，AP??2cos?，2sin??2，

?uuuvuuuv???DB?AP??22cos??22sin??4?4?4sin???? ∴

4??∴sin???故选：D

????uuuvuuuv??1时，DB?AP的最大值是8， ?4?第 5 页 共 22 页

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

10．笛卡尔、牛顿都研究过方程(x?1)(x?2)(x?3)?xy，关于这个方程的曲线有下列说法： ① 该曲线关于y轴对称； ② 该曲线关于原点对称；③ 该曲线不经过第三象限； ④ 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（ ） A．②③ 【答案】C

【解析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误. 【详解】

以﹣x代x，得到?x?1??x?2??x?3??xy，方程改变，不关于y轴对称；

以﹣x代x，﹣y代y，得到?x?1??x?2??x?3???xy，方程改变，不关于原点对称；

B．①④

C．③

D．③④

xy0,显然方程不成立， 当x?0,y?0时，?x?1??x?2??x?3?0,?∴该曲线不经过第三象限；

令x??1,易得y?12，即??1,12?适合题意，同理可得?1,0?，?2,0?，?3,0?适合题意， ∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的， 故选：C 【点睛】

本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．

二、填空题

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1??11．?2x??的展开式中的常数项为______. x??【答案】24

41??【解析】先求出二项式?2x??展开式通项公式

x??41rr4?2rTr?1?C4(2x)4?r()r?24?rC4x，

x再令4?2r?0，求出r=2代入运算即可得解. 【详解】

1??r4?r1r4?rr4?2r解：由二项式?2x??展开式通项公式为Tr?1?C4(2x)()?2C4x，

xx??令4?2r?0，解得r=2，即展开式中的常数项为2故答案为24. 【点睛】

本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.

12．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2?_______；数列{an}的前n项和的最小值为_____． 【答案】?6 ?20

【解析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值． 【详解】

解：等差数列{an}的公差d为2， 若a1，a3，a4成等比数列， 可得a32＝a1a4，

即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d）， 化为a1d＝﹣4d2，

解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6； 数列{an}的前n项和Sn＝na1?＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n

4?22C4?4?44?3?24， 2?11n（n﹣1）d 2第 7 页 共 22 页

＝（n?9281）?， 24当n＝4或5时，Sn取得最小值﹣20． 故答案为：﹣6，﹣20． 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．

13．若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，(2,)，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________． 【答案】x2?8y或y2?x

【解析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】

设抛物线的标准方程为：x?my，不难验证?2,212??1??4,2?适合，故x2?8y； ?，2?2设抛物线的标准方程为：y?nx，不难验证?1,1?，?4,2?适合，故y2?x；

故答案为：x?8y或y?x 【点睛】

本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差DX?2.1，

22P(X?3)?P(X?7)，则p?________．

【答案】0.7

??10p?1?p??2.1【解析】由题意可知：X~B?10,p?，且?，从而可得p值．

??P?X?3??P?X?7?【详解】

由题意可知：X~B?10,p?

??100p2?100p?21?0?10p?1?p??2.1∴?, ，即?PX?3?PX?7???p?0.5????∴p?0.7

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