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第三章 刚体的定轴转动
1 题号：03001 第03章 题型：选择题 难易程度：较难
试题: 某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r处的任一质元的法向加速度
an和切向加速度a?来说正确的是（ ）．
A.an的大小变化，a?的大小保持恒定 B.an的大小保持恒定，a?的大小变化 C.an、a?的大小均随时间变化 D.an、a? 的大小均保持不变 答案: A
2 题号：03002 第03章 题型：选择题 难易程度：适中
试题: 有A、B两个半径相同、质量也相同的细环，其中A环的质量分布均匀，而B环的质量分布不均匀．若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别为JA和JB，则（ ）．
A. JA?JB B. JA?JB C. JA?JB D. 无法确定JA和JB的相对大小 答案: A
3 题号：03003 第03章 题型：选择题 难易程度：适中
试题: 一轻绳绕在具有水平转轴的定滑轮上，绳下端挂一物体，物体的质量为m，此时滑轮的角加速度为?，若将物体取下，而用大小等于mg、方向向下的力拉绳子，则滑轮的角加速度将（ ）．
A.变大 B.不变 C.变小 D.无法确定 答案: A
4 题号：03004 第03章 题型：选择题 难易程度：适中
试题: 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的（ ）．
A.系统的角动量保持不变 B.角动量加大
C.转速和转动动能变化不清楚 D.转速加大，转动动能不变
答案: A
5 题号：03005 第03章 题型：选择题 难易程度：较难
试题: 某力学系统由两个质点组成，它们之间仅有引力作用．若两质点所受外力的矢量和为零，则此力学系统（ ）．
A.动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能确定 B.动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能确定 C.动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能确定 D.动量、机械能以及对某一转轴的角动量一定守恒 答案: A
6 题号：03006 第03章 题型：选择题 难易程度：较难
试题: 如图所示，两个质量均为m、半径均为R的匀质圆盘形滑轮的两端，用轻绳分别系着质量为m和2m的小物块．若系统从静止释放，则释放后两滑轮之间绳内的张力为（ ）．
A.
113mg B.mg 82m1 C.mg D.mg
2 2m 答案: A
7 题号：03007 第03章 题型：选择题 难易程度：较难
试题: 某质点受的力为F?F0e?kx，若质点从静止开始运动（即，x?0时v?0），则该质点所能达到的最大动能为（ ）．
A.
F0F B. k0 C. kF0ek D. kF0 ke答案: A
8 题号：03008 第03章 题型：选择题 难易程度：适中
试题: 如图所示，在水平光滑的圆盘上，有一质量为m的质点，拴在一根穿过圆盘中心光滑小孔的轻绳上．开始时质点离中心的距离为r，并以角速度? 转动．今以均匀速率向下拉绳，将质点拉至离中心r2处时，拉力做的功为（ ）．
A.
3225mr? B. mr2?2 22r ?F m C.
71mr2?2 D. mr2?2 22答案: A
9 题号：03009 第03章 题型：选择题 难易程度：适中
试题: 已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R ，引力常数为
G，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为（ ）．
A.mGMR B.Mm答案: A
10 题号：03010 第03章 题型：选择题 难易程度：适中
试题: 卫星绕地球做椭圆运动，地心为椭圆的一个焦点，在运动过程中，下列叙述中正确的是（ ）．
A.角动量守恒 B.动量守恒
C.机械能不守恒 D.动量和角动量都不守恒 答案: A
11 题号：03011 第03章 题型：选择题 难易程度：适中
试题: 三个完全相同的轮子可绕一公共轴转动，角速度的大小都相同，但其中一轮的转动方向与另外两轮的转动方向相反．若使三个轮子靠近啮合在一起，则系统的动能与原来三个轮子的总动能相比为（ ）．
A.减小到1/9 B.减小到1/3 C.增大9倍 D.增大3倍 答案: A
12 题号：03012 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 下列说法中，错误的是（ ）．
A.对于给定的刚体而言，他的质量和形状是一定的，则其转动惯量也是唯一确定的
B.刚体定轴转动的转动定律为M?J?，其中M、J和?均是对同一转轴而言的 C.刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和
D.刚体作定轴转动时，其上各点的角速度相同而线速度不同
GGMmGMm C. D. RR2R答案: A
13 题号：03013 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 下列说法中，正确的是（ ）．
A.作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角加速度越大 B.作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度就越大 C.作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度就为零 D.作用在定轴转动刚体上的合力越大，刚体转动的角加速度就越大 答案: A
14 题号：03014 第03章 题型：选择题 难易程度：难
试题: 轮圈半径为R、其质量M均匀分布在轮缘上，长为R、质量为m的匀质辐条固定在轮心和轮缘间，辐条共有2N根．今若将辐条数减少N根，但保持轮对通过轮心、垂直于轮平面轴的转动惯量不变，则轮圈的质量应为（ ）．
A.
NNN2Nm?M B.m?M C.m?M D. m?M 36123答案: A
15 题号：03015 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 如图一质量为m的匀质杆长为l，绕铅直轴OO?成?角转动，其转动惯量为（ ）．
A.ml2sin2? B.ml2 C.
O? 1313? O 121mlsin2? D.ml2 412? l 答案: A
16 题号：03016 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 如图一质量为m的匀质杆长为l，绕铅直轴OO?成?角转动，则匀质杆所受的合外力矩为（ ）．
A.
O? 11mglsin? B.mglcos? 22? O C.mglsin? D.mglcos?
? l 答案: A
17 题号：03017 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 如图一质量为m的匀质杆长为l，绕铅直轴OO?成?角则匀质杆的角动量为（ ）．
A.ml2?sin2? B.ml2? C.
O? 转动，
1313? O 11ml2? D.ml2?sin2? 124? l 答案: A
18 题号：03018 第03章 题型：选择题 难易程度：难 试题: 如图一质量为m的匀质杆长为l，绕铅直轴则匀质杆的角加速度为（ ）．
A.
OO?成?角转动，
O? 3g3gsin? B.
2lsin?2l? O 2gsin?2gC. D. 3l3lsin?答案: A
? l 19 题号：03019 第03章 题型：选择题 难易程度：难
试题: 如图所示，两根长度和质量分别相等的细杆分别绕着光滑的水平轴O1和O2转动，设他们自水平位置从静止释放时，角加速度分别为?1和?2，则二者角加速度之间的关系为（ ）．
A. ?1??2 B.?1??2 C. ?1??2 D.不能确定 答案: A
20 题号：03020 第03章 题型：选择题 难易程度：难
试题: 如图所示，光滑的水平桌面上有一长为2l、质量为m的匀质细杆，可绕通过中点O、且与杆垂直的竖直轴自由转动，开始时细杆静止．现有一质量为m的小球，沿桌面正对着杆的一端，以速度v运动，并与杆的A端碰撞后与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度为（ ）．
O1 l 2l3 O2 ?m ?v A
2l O
m
A. C. 答案: A
3vv B.
2l4l2v4v D. 3l5l 21 题号：03021 第03章 题型：填空题 难易程度：容易
试题: 刚体是一理想模型,他虽然有一定的形状和大小，但形状和大小永远保持 ． 答案: 不变
22 题号：03022 第03章 题型：填空题 难易程度：容易 试题: 刚体定轴转动的运动方程的表示式是 ． 答案: ???(t)
23 题号：03023 第03章 题型：填空题 难易程度：较难 试题: 把不涉及转动的原因，只研究如何描述刚体的定轴转动的问题称为 ． 答案: 刚体定轴转动运动学
24 题号：03024 第03章 题型：填空题 难易程度：较难 试题: 把研究刚体定轴转动原因的问题称为 ． 答案: 刚体定轴转动的动力学
25 题号：03025 第03章 题型：填空题 难易程度：适中 试题: 刚体的转动惯量取决于刚体的总质量、质量分布和 等三个因素． 答案: 转轴的位置
26 题号：03026 第03章 题型：填空题 难易程度：较难
试题: 一飞轮以300rad?min?1的转速转动，转动惯量为5kg?m2，现施加一恒定的制动力矩，使飞轮在2s内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为 ． 答案: M?78.5N?m
27 题号：03027 第03章 题型：填空题 难易程度：适中 试题: 如图所示，质量为m1和m2的均匀细棒长度均为l2，在两棒对接处嵌有一质量为m的小球，
m1A m2l2l2B
l2对过A的轴而言，若JA?答案:
171m1l2?m2l2?ml2，则JB为 ． 12124171m1l2?m2l2?ml2 12124 28 题号：03028 第03章 题型：填空题 难易程度：较难
试题: 质量为m的匀质细杆，长为l，以角速度?绕过杆的端点且垂直于杆的水平轴转动，则杆的动量大小为 ． 答案:
1ml? 2 29 题号：03029 第03章 题型：填空题 难易程度：适中
试题: 质量为m的匀质细杆，长为l，以角速度?绕过杆的端点且垂直于杆的水平轴转动，则杆绕转动轴的动能为 ． 答案:
122ml? 6 30 题号：03030 第03章 题型：填空题 难易程度：适中
试题: 质量为m的匀质细杆，长为l，以角速度?绕过杆的端点且垂直于杆的水平轴转动，则杆绕转动轴的角动量大小为 ． 答案: ml2?
31 题号：03031 第03章 题型：填空题 难易程度：适中
试题: 若飞轮从静止开始作匀加速转动，在最初2min转了3600转，则飞轮的角加速度为 ． 答案: ??3.14rad?s?2
32 题号：03032 第03章 题型：填空题 难易程度：较难
试题: 若飞轮从静止开始作匀加速转动，在最初1min转了3600转，则飞轮在第50秒末的角速度为 ． 答案: ??314rad?s?1
33 题号：03033 第03章 题型：填空题 难易程度：适中
试题: 若某飞轮绕其中心轴转动的运动方程为??t3?2t2?4t，其中?的单位为rad，
13t的单位为s，则飞轮在第2秒末的角加速度为 ．
答案: ??12rad?s?2
34 题号：03034 第03章 题型：填空题 难易程度：较难
试题: 若某飞轮绕其中心轴转动的运动方程为??t3?2t2?4t，其中?的单位为rad，
t的单位为s，则飞轮从t?2s到t?4s这段时间内的平均角加速度为 ．
答案: ??12rad?s?2
35 题号：03035 第03章 题型：填空题 难易程度：较难
试题: 若质量为m、半径为R的匀质薄圆盘绕过中心且与盘面垂直轴的转动惯量为
1mR2，则质量为m、半径为R、高度为h的匀质圆柱体绕过中心且与端面垂直轴的2转动惯量为 ． 答案:
1mR2 2 36 题号：03036 第03章 题型：填空题 难易程度：适中
?
试题: 一转动惯量为J的刚体绕某固定轴转动，当他在外力矩M的作用下，角速度从
t2??1变为?2，则该刚体在此过程(t1?t2)中所受的冲量矩?Mdt等于 ．
t1答案: J?2?J?1
37 题号：03037 第03章 题型：填空题 难易程度：适中
?试题: 一转动惯量为J的刚体绕某固定轴转动，当他在外力矩M的作用下，角速度从
?1变为?2，则该刚体在此过程(?1??2)中力矩所做的功?Md?等于 ．
?1?2答案:
112J?2?J?12 22 38 题号：03038 第03章 题型：填空题 难易程度：容易 试题: 刚体角动量守恒的条件为 ．
?答案: M外?0
39 题号：03039 第03章 题型：填空题 难易程度：较难
试题: 一质量为m的粒子，相对于坐标原点处于r?xi?yj点，速度为v?vxi?vyj，则该质点相对于坐标原点的角动量为 ．
????????答案: L?m(xvy?yvx)k
40 题号：03040 第03章 题型：填空题 难易程度：适中
试题: 一飞轮的转动惯量为J，t?0时角速度为?0，此后飞轮经历一制动过程，受到的阻力矩的大小与角速度成正比，即M??k?，式中k为正的常量．当??飞轮的角加速度为 ． 答案: ????03时，
k?0 3J 41 题号：03041 第03章 题型：计算题 难易程度：适中 试题: 一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机，如图所示．滑轮的半径为r?0.5m，如果升降机从静止开始以加速度
a?0.4m?s?2匀加速上升，求：
?v
（1）滑轮的角加速度；
（2）开始上升后t = 5s末滑轮的角速度； （3）在这5秒内滑轮转过的圈数；
（4）开始上升后t??1s末滑轮边缘上一点的加速度（假定缆索和滑轮之间不打滑）．
答案: 为了图示清晰，将滑轮放大为如图所示．
（1）由于升降机的加速度和滑轮边缘上的一点的切向加速度相等，所以滑轮的角
aa加速度为?????0.8rad?s?2
rr（2）由于?0?0，所以5秒末滑轮的角速度为???t?4.0rad?s
?1?a
（3）在这5秒内滑轮转过的角度为??所以在这5秒内滑轮转过的圈数为N?（4）结合题意，由图可以看出
a??a?0.4m?s?2
12?t?10rad 2?a??a? 10?1.6圈 2? or? ?an ?a
an?r?2?r?2t2?0.32m?s?2
由此可得滑轮边缘上一点在升降机开始上升后t??1s时的加速度为
2a??an?a?2?0.51m?s?2
这个加速度的方向与滑轮边缘的切线方向的夹角为
??tan?1???an?0.32?0??tan?1????38.7 ??0.4??a?? 42 题号：03042 第03章 题型：计算题 难易程度：难 试题: 一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分别为m和M的物体，且M?m．滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为m?，半径为R，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示．由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦阻力矩M阻的作用．设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动．求物体的加速度及绳中的张力．
答案: 由于滑轮有质量，所以不得不考虑滑轮的转动惯性；在转动过程中滑轮还受到阻力矩的作用，在滑轮绕轴作加速转动时，它必须受到两侧绳子的拉力所产生的力矩，以便克服转动惯性与阻力矩的作用，因此滑轮两侧绳子中的拉力一定不相等．设两侧绳子中的拉力分别为T1和T2，则滑轮及两侧物体的受力如图所示，其中T1?T1?，T2?T2?（作用力与反作用力大小相等）．
因为M?m，所以左侧物体上升，右侧物体下降．设其加速度分别为a1和a2，据题意可知，绳子不可伸长，则a1?a2，令它们为a．滑轮以顺时针转动，设其角加速度为?，则摩擦阻力矩M阻的指向为逆时针方向，如图所示．
对于上下作平动的两物体，可以视为质点，由牛顿第二运动定律得
?对m：T1?mg?ma （1） ??对M：Mg?T2?MaGma2GMR m? m M N M阻T1?a1?o m? T2 T2?T1
滑轮作定轴转动，受到的外力矩分别为T2?R和T1?R及M阻（轴对滑轮的支持力N通过了转轴，其力矩为零）．若以顺时针方向转的力矩为正，逆时针转的方向为负，则由刚体定轴转动的转动定律得
?1?T2R?T1R?M阻?J???m?R2?? （2）
?2?据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等，即
a?a??R? （3）
联立（1）、（2）、（3）三个方程，得
(M?m)g?a?M阻R m?M?m?2(2M?mM阻m?)mg?2R
m?M?m?2MM阻m?)Mg?2R
m?M?m?2T1?m(g?a)?(2m?T2?M(g?a)?
43 题号：03043 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 求长为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量．（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴；（2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴． 答案: （1）如图所示，以过A端垂直于棒的
oo?为轴，沿棒长方向为x轴，原点在轴上，在
o?棒上取一长度元dx，则这一长度元的质量为
mdm?dx，所以
LL?m?1J端点??x2dm??x2?dx??mL2
m0?L?3
A ox dx dm B x L
（2）同理，如图所示，以过中点垂直于棒的oo?为轴，沿棒长方向为x轴，原点在轴上，在棒上取一长度元dx，因此
J中点??xdm??m2L2L?2o??m?1x?dx??mL2 ?L?122A L2x dx oLdm 2B x 由此可见，对于同一均匀细棒，转轴的位置不同，棒的转动惯量不同．
44 题号：03044 第03章 题型：计算题 难易程度：容易
试题: 试求质量为m、半径为R的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量．
答案: 已知条件如图所示．由于质量连续分布，所以
J??Rdm??m22?R0?m?R?dl??mR2 ?2?R?2o R dm
45 题号：03045 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 试求质量为m、半径为R的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量． 答案: 已知条件如图所示．由于质量连续分布，设圆盘
m的厚度为l，则圆盘的质量密度为??2．因圆盘可以
?Rl看成是许多有厚度的圆环组成，所以
R1J??r2dm??r2???2?r?ldr???R4l?
m02dr R o r l
1代入圆盘的质量密度，得J?mR2
2 46 题号：03046 第03章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 如图所示，一质量为M、半径为R的匀质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动．圆盘上绕有质量可不计的绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m的物体，问物体由静止落下h高度时，物体的速率为多少？
M R 答案: 法一 用牛顿第二运动定律及转动定律求解．
受力分析如图所示，对物体m用牛顿第二运动定律得
mg?T?ma （1）
?
h M 对匀质圆盘形滑轮用转动定律有
T?R?J? （2）
R ? T?T a 物体下降的加速度的大小就是转动时滑轮边缘上切向加速度，所以
a?R? （3）
G h 又由牛顿第三运动定律得
T?T?
（4）
物体m落下h高度时的速率为
v?2ah （5）
因为J?1MR2，所以联立以上（1）、（2）、（3）、（4）和（5）式，可得物2体m落下h高度时的速率为
v?2mgh（小于物体自由下落的速率2gh）．
M?2m解法二 利用动能定理求解．
如图所示，对于物体m利用质点的动能定理有
mgh?Th?1212 （6） mv?mv022其中v0和v是物体的初速度和末速度．对于滑轮利用刚体定轴转动的转动定理有
TR???112 （7） J?2?J?022其中??是在拉力矩TR的作用下滑轮转过的角度，?0和?是滑轮的初角速度和末角速度．由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物体落下的距离应等于滑轮边缘上任意
1一点所经过的弧长，即h?R??．又因为v0?0，?0?0，v??R，J?MR2，所以联
2立（6）和（7）式，可得物体m落下h高度时的速率为
v?2mgh．
M?2m解法三 利用机械能守恒定律求解．
若把滑轮、物体和地球看成一个系统，则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳子的拉力T对物体做负功（?Th），T?对滑轮做正功（Th）即内力做功的代数和为零，所以系统的机械能守恒．
若把系统开始运动而还没有运动时的状态作为初始状态，系统在物体落下高度h时的状态作为末状态，则
1?112??v?2?MR?????mv?mgh?0 2?22??R?2所以物体m落下h高度时的速率为
v?2mgh．
M?2m 47 题号：03047 第03章 题型：计算题 难易程度：容易
试题: 哈雷慧星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，如图所示，它离太阳最近的距离是
r近日?8.75?1010m，此时速率为v近日?5.46?104m?s-1；它离太阳最远时的速率为
v远日?9.08?102m?s-1，这时它离太阳的距离r远日?？答案: 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒．于是有
????r近日?v近日?r远日?v远日
????r远日?v远日，所以有 因为r近日?v近日，r远日?r近日v近日v远日?太阳 r近日?v远日
?r远日
?v近日 代入数据，得r远日?5.26?1012m
48 题号：03048 第03章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 如图所示，一个长为l、质量为M的匀质杆可绕支点o自由转动．一质量为m、速率为v的子弹以与水平方向成600角的方向射入杆内距支点为a处，使杆的偏转角为300．问子弹的初速率为多少？
答案: 把子弹和匀质杆作为一个系统，由于该系统所受的外力有重力及轴对杆的约束力，在子弹射入杆的极短过程中，重力和约束力都通过了转轴o，因此它们对转轴的力矩均为零，故该系统的角动量守恒．设子弹射入杆后与杆一同前进的角速度为?，则碰撞前的角动量等于碰撞后的角动量，即
?1?mvcos600a??Ml2?ma2??
?3??v 600 o 300 a o0 60?v l 300 a l ??子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成的系统机械能守恒，因此有
1?1l22?200?Ml?ma???mga1?cos30?Mg?1?cos30 2?32?????联立上述这两个方程得子弹的初速率为
v?2ma2?3g?Ml?2ma?Ml2?3ma2 6?? 49 题号：03049 第03章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 如图所示，一根质量为M、长为2 l的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置．今有一质量为m的小球，以速度
?u垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞．试求碰撞后小球的
?m回跳速度v及棒绕轴转动的角速度?．
?u 答案: 以棒和小球组成的系统为研究对象，则该系统oM 所受的外力有小球的重力、棒的重力和轴给予棒的支持力， 后两者的作用线都通过了转轴，对轴的力矩为矩可忽略不计．分析可知所取系统的角动量守恒．
l l 零．由于碰撞时间极短，碰撞的冲力矩远大于小球所受的重力矩，所以小球对轴的力
由于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统的角动量就是小球的角动量lmu． 由于碰撞后小球以速度v回跳，其角动量为lmv；棒获得的角速度为?，棒的角动量为?11?12?M?2l????Ml2?．所以碰撞后系统的角动量为lmv?Ml2?．
33?12?由角动量守恒定律得
lmu?lmv?12Ml? （1） 3注意：上式中u，v这两个速度是以其代数量来表示．以碰撞前小球运动的方向为正，即u?0；碰撞后小球回跳，u与v的方向必然相反，应该有v?0．
由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后系统的动能守恒，即
111?1?mu2?mv2??Ml2??2 （2） 222?3?联立（1）和（2）式，可得小球的速度为
v?3m?Mu
3m?M棒的角速度为
??6mu?
3m?Ml讨论：由于碰撞后小球回跳，所以v与u的方向不同，而u?0，则v?0．从结果可以
1看出，要保证v?0，则必须保证M?3m．否则，若m?M，无论如何，碰撞后小球
3也不能回跳，杂耍运动员特别注意这一点．
50 题号：03050 第03章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 如图所示，一长为l、质量为m的匀质细棒竖直放置，其下端与一固定铰链o相连结，并可绕其转动．由于此竖直放置的细棒处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细棒将在重力的作用下由静止开始绕铰链o转动．试计算细棒转到与竖直位置成?角时的角加速度和角速度． 答案: 法一 利用定轴转动的转动定律求解．
??分析受力如图所示，其中G为细棒所受的重力、N为铰链给细棒
?的约束力．由于约束力N始终通过转轴，所以其作用力矩为零；铰链
l ? o与细棒之间的摩擦力矩题中没有给定可认为不存在．又由于细棒为匀质细棒，所以重力G的作用点在细棒中心．故由定轴转动的转动定律可得
1?1?mglsin???ml2?? 2?3??
因此细棒转过?角时的角加速度为
??3gsin? 2l由角加速度的定义可得
d?d?3g??sin? d?dt2l整理可得
?d????3g?sin??d? ?2l?由于t?0时，??0，??0；而t?t时，???，???．所以上式两边取积分有
??0?d????0??3g?sin??d? ?2l?因此细棒转过?角时的角速度为
??3g?1?cos?? l解法二 利用机械能守恒定律求解．
以细棒和地球组成的系统为研究对象，由于细棒所受的重力为保守内力，铰链给细棒的约束力不做功，铰链与细棒之间的摩擦力题中没有给定可认为不存在，因此系统的机械能守恒．于是有
mg?l12?2?1?cos???1??ml?? 22?3?因此细棒转过?角时的角速度为
??此时的角加速度为
3g?1?cos?? l??d?3g?sin? dt2l解法三 利用定轴转动的动能定理求解．
铰链的约束力对细棒不做功，摩擦力矩没有给定可以认为不存在，只有重力矩做功，所以对于细棒而言，合外力所做的功就是重力矩所做的功，即
???l1?W??Md????mgsin??d??mgl?1?cos??
0022??由定轴转动的动能定理得
11?1?mgl?1?cos????ml2??2 22?3?因此细棒转过?角时的角速度为
??此时的角加速度为
3g?1?cos?? l??d?3g?sin? dt2l 51 题号：03051 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 如图所示，在光滑的水平面上有一长为l、质量为m的匀质细棒以与棒长方向相互垂直的速度v向前平动，平动中与一固定在桌面上的钉子o相碰撞，碰撞后，细棒将绕点o转动，试求其转动的角速度．
?答案: 由于细棒在光滑的水平面上运动，所以细棒与钉子o碰撞的过程中遵守角动量守恒定律，则L碰撞前?L碰撞后
对于转轴o而言：
?l?L碰撞前?mv??方向垂直于纸面向外；
?4?o ?v l4L碰撞后??l?Jo???J中心轴?m???2??l??4?2??? ?? l 2?1?l7?? ??ml2?m?????ml2?方向垂直于纸面向外．
48?4????12?所以有mv????l??4?7ml2? 48故细棒碰撞后绕轴o转动的角速度为??12v 7l 52 题号：03052 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 如图所示，在光滑的水平面上有一劲度系数为k的轻质弹簧，它的一端固定，另一端系一质量为M的滑块．最初滑块静止时，弹簧处于自然长度l0．现有一质量为
m的子弹以速度v0沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面
内滑动．当滑块被拉伸到长度为l时，求滑块速度的大小和方向．
答案: 此题的物理过程有两个，第一个过程为子弹与滑块的碰撞过程．在该过程中子弹与滑块组成的系统所受的合外力为零，所以系统的动量守恒．于是有
mv0??M?m?V
?v0l0o l ?v m M 第二个过程为滑块与子弹一起，以共同的速度V在弹簧的约束下运动的过程．在该过程中弹簧的弹力不断增大，但始终通过转轴o，它的力矩为零，所以角动量守恒；与此同时若以子弹、滑块、弹簧和地球组成的系统为研究对象，则该过程也满足机械能守恒定律．因此有
?M?m?Vl0??M?m?vsin?
1?M?m?V2?1?M?m?v2?1k?l?l0?2 222其中?为滑块运动方向与弹簧轴线方向之间的夹角．联立以上三个方程可得滑块速度的大小和方向分别为
k?l?l0??mv0? v?????M?m?M?m??221???22??mv0?k?l?l0??2??1?mv0l0??sin????M?m???M?m?? ??lM?m?????????? 53 题号：03053 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 一飞轮半径r = 1m，以转速n?1500r?min?1转动，受制动均匀减速，经t?50s后静止．试求：（1）角加速度?和从制动开始到静止这段时间飞轮转过的转数N ；（2）制动开始后t?25s时飞轮的角速度?；（3）在t?25s时飞轮边缘上一点的速度和加速度．
???0t0?2?n??502?3.14?50150060??3.14rad?s?2
答案: （1）角加速度???从制动开始到静止这段时间飞轮转过的转数
???2?N??0t?15001122?3.14??50??3.14?502?t6022??625圈
2?2?3.14（2）制动开始后t?25s时飞轮的角速度
???0??t?2?n??t?2?3.14?1500?3.14?25?78.5rad?s?1 60（3）在t?25s时飞轮边缘上一点的速度和加速度分别为
????v?(?r)??(78.5?1)?m?s?1?78.5?m?s?1 ?????a?ann?a????2rn???r??
??????2??78.5??1n???3.14?r???(6.16?103n?3.14?)m?s?2
?? 54 题号：03054 第03章 题型：计算题 难易程度：适中 试题: 如图所示．细棒的长为l，设转轴通过棒上离中心距离为d的一点并与棒垂直．求棒对此轴的转动惯量Jo?．试说明这一转动惯量Jo?与棒对过棒中心并与此轴平行的转轴的转动惯量Jo之间的关系（此为平行轴定理）．
o l
d o? 答案: 如图所示，以过o?点垂直于棒的直线为轴，沿棒长方向为x?轴，原点在o?点处，在棒上取一长度元dx?，则
Jo????x??dm
2mo dx? d o?
x? l x????l???d?2???l????d??2?m??x??2??dx??
?l?x??1ml2?md2 12所以Jo?与Jo之间的关系为Jo??Jo?md2
55 题号：03055 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 如图所示．两物体的质量分别为m1和m2，滑轮的转动惯量为J，半径为r ．若
m2与桌面的摩擦系数为?，设绳子与滑轮间无相对滑动，试求系统的加速度a的大小
及绳子中张力T1和T2的大小．
答案: 分析受力如题图所示．m1和m2可视为质点，设其加速度分别为a1和a2，则由牛顿运动定律得
?m1g?T1?m1a1 ?T??mg?ma222?2N2m2 J，r m2T2J，r m1T1?m2gG2 滑轮作定轴转动，则由转动定律有
T1r?T2r?J?
m1 a 由于绳子与滑轮间无相对滑动，所以
a1?a2?a??r
G1 联立以上四个方程可得，系统的加速度a的大小及绳子中张力T1和T2的大小分别为
J??m2??m2?2?m1??m2?， T??ra?g1JJm1?m2?2m1?m2?2rr????J???m1??m1?2?r??m2g m1g， T2?Jm1?m2?2r 56 题号：03056 第03章 题型：计算题 难易程度：难
试题: 如图所示．两个半径不同的同轴滑轮固定在一起，两滑轮的半径分别为r1和r2，两个滑轮的转动惯量分别为J1和J2，绳子的两端分别悬挂着两个质量分别为m1和m2的物体．设滑轮与轴之间、滑轮与绳子之间的摩擦力均忽略不计，绳子的质量也忽略不计，且绳子不可伸长．试求两物体的加速度的大小和绳子中张力的大小．
答案: 分析受力如图所示．m1和m2可视为质点，设其受绳子的拉力分别为T1和T2、加速度的大小分别为a1和a2，则由牛顿第二运动定律得
?m1g?T1?m1a1 ?T?mg?ma222?2r1T1a1r1 or2 m1 o m1r2 T2m2 滑轮作定轴转动，则由转动定律有
T1r1?T2r2??J1?J2??
G1 m2 G2a2由于绳子与滑轮间无相对滑动，所以
a1??r1，a2??r2
联立以上五个方程可得，两物体的加速度和绳子中的张力分别为
a1?(m1r1?m2r2)r1g(m1r1?m2r2)r2ga?； 22222J1?J2?m1r1?m2r2J1?J2?m1r1?m2r2(J1?J2?m2r22?m2r1r2)m1g(J1?J2?m1r12?m1r1r2)m2gT1?；T2? 22J1?J2?m1r1?m2r2J1?J2?m1r12?m2r22 57 题号：03057 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 如图所示．质量为m、长为l的均匀细杆，可绕通过其一端o的水平轴转动，杆的另一端与一质量为m的小球固连在一起．当该系统从水平位置由静止转过?角时，系统的角速度、动能、此过程中力矩所做的功分别为多大？
答案: 在任意位置时，受力分析如图所示．系统所受的合外力矩为
l3M?mgcos??mglcos??mglcos?
22o m，l m? 则在此过程中合外力矩所做的功为
???33?W??Md????mgcos??d??mglsin?
0022??系统的转动惯量为
14J?ml2?ml2?ml2
33o m，l m? 于是刚体定轴转动的动能定理可写为
G31?4?mglsin???ml2??2 22?3?G
所以系统的角速度为?? Ek?32gsin?，系统的动能为 l13J?2?mglsin?． 22 58 题号：03058 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 如图所示．有一半径为R、质量为M的匀质圆盘水平放置，可绕通过盘心的铅
1直轴作定轴转动，圆盘对轴的转动惯量J?MR2．当圆盘以角速度?0转动时，有一
21质量为m的橡皮泥（可视为质点）铅直落在圆盘上，并粘在距转轴R处，如图所
2m示．那么橡皮泥和盘的共同角速度为多大？
?0 1答案: 对于圆盘和橡皮泥组成的系统而言，所受的合外力矩为零，R2??1??所以系统的角动量守恒．于是有J?0??J?m?R???
?2?????R ?02m 1R2因为圆盘对轴的转动惯量J?1MR2 22M?0
2M?mR 所以橡皮泥和盘的共同角速度为?? 59 题号：03059 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 如图所示．一质量为m的小球由一绳子系着，以角速度?0在无摩擦的水平面上，
?绕圆心o作半径为r0的圆周运动．若在通过圆心o的绳子端作用一竖直向下的拉力F，
?r小球则作半径为0的圆周运动．试求：（1）小球新的角速度?；（2）拉力F所做的
2功．
?F答案: （1）在拉力拉小球的过程中，由于拉力
?F通过了轴心，因此小球在水平面上转动的过程中
o?0 m ?Fr0 不受外力矩的作用，故其角动量守恒．于是有
J0?0?J?
??1?2?即 mr?0??m?r0???
??2??????20小球新的角速度??4?0．
（2）随着小球转动角速度的增加，其转动动能也在增加，这正是拉力F做功的结果．于是由定轴转动的转动定理得拉力F所做的功为
21111??1??23222222W?J??J0?0?mr0?4?0???m?r0????mr0?0
2222?2???2?????? 60 题号：03060 第03章 题型：计算题 难易程度：容易
试题: 如图所示．A与B两个飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接，A轮的转动惯量为JA?10.0kg?m2，开始时B轮静止，A轮以nA?600r?min?1的转速转动，然后使A与B连接，因而B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速都等于nAB?200r?min?1为止．求：（1）B轮的转动惯量JB；（2）在啮合过程中损失的机械能．
答案: （1）两飞轮在轴方向啮合时，轴向受的力不产生转动力矩，所以两飞轮构成的系统角动量守恒．于是有
JA?A??JA?JB??AB
A B 所以B轮的转动惯量为
JB??A??ABJA
?ABnA?nABJA?20.0kg?m2 nAB?（2）由两飞轮在啮合前后转动动能的变化可得啮合过程中系统损失的机械能为
?E?1122?1.31?104J JA?A??JA?JB??AB22 61 题号：03061 第03章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 质量为0.06kg，长为0.2m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴无摩擦的转动．若将此棒放在水平位置，然后任其开始转动．试求：（1）开始转动时的角加速度；（2）落到竖直位置时的动能；（3）落至竖直位置时对转轴的角动量． 答案: 根据题意作图如右．
（1）开始转动时的角加速度为
Go
lM2?3g?73.5rad?s?2 ???122lJml3mg（2）在下落过程中，系统（棒和地球）受的重力为保守力，轴的支持力始终不做功，因此系统的机械能守恒，所以落到竖直位置时的动能为
E?1lJ?2?mg?0.06J 22（3）因为
mgl1l，故J?2?mg，所以落至竖直位置时对转轴的角速度为??J22落至竖直位置时对转轴的角动量
m2gl3?12?L?J??Jmgl??ml?mgl??9.7?10?3kg?m2?s?1
3?3?
62 题号：03062 第03章 题型：计算题 难易程度：难
试题: 如图所示．一均匀细棒长为l，质量为m，可绕通过端点o的水平轴在竖直平面内无摩擦的转动．棒在水平位置时释放，当它落到竖直位置时与放在地面上一静止的物体碰撞．该物体与地面之间的摩擦系数为?，其质量也为m，物体滑行s距离后停止．求碰撞后杆的转动动能．
答案: 根据题意可知此题包含了三个物理过程．
第一过程为均匀细棒的下落过程．在此过程中，以棒和地球构成的系统为研究对象，棒受的重力为保守力，轴对棒的支持力始终不做功，所以系统的机械能守恒，则
mgl1?12?2??ml?? 22?3?mom，l 第二过程为均匀细棒与物体的碰撞过程．在此过程中，以棒和物体构成的系统为研究对象，物体所受的摩擦力对转轴o的力矩与碰撞的冲力矩相比较可忽略，所以系统的角动量守恒，则
?12??12??ml????ml????mvl ?3??3?其中??为碰撞后瞬时棒的角速度，v为碰撞后瞬时物体与棒分离时物体的速率．
第三过程为分离以后的过程．对于棒而言，棒以角速度??继续转动；对于物体而言，物体在水平面内仅受摩擦力的作用，由质点的动能定律得
12mv??mgs 2联立以上三个方程可得碰撞后杆的转动动能为
Ek?21?12?21?ml????m3gl?32?gs 2?36??? 63 题号：03063 第03章 题型：计算题 难易程度：难
试题: 如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧与一轻柔绳相连，该绳跨过一半经为R、转动惯量为J的定滑轮，绳的另一端悬挂一质量为m的物体．开始时弹簧无伸长，物体由静止释放．滑轮与轴之间的摩擦可以忽略不计．当物体下落h时，试求物体的速度v．（1）用牛顿定律和转动定律求解；（2）用守恒定律求解． 答案: （1）用牛顿定律和转动定律求解．
mk J，R 建立坐标系及受力分析如图所示．则由牛顿定律和转动定律，得
?对于物体有：mg?T1?ma??对于滑轮有：?T1?T2?R?J??对于弹簧有：T?kx2?
物体的加速度与滑轮边缘的切向加速相同，即
a??R
联立以上四个方程可得a?mg?kx． Jm?2R因为a?所以有vdvdvdxdv ??vdtdxdtdxdvmg?kx?
Jdxm?2R????vhmg?kx?dx 整理并积分有?vdv???00?J??m?2?R??解之可得物体的速度为v?2mgh?kh2． Jm?2R（2）用守恒定律求解．
由于滑轮和轴之间的摩擦忽略不计，系统（弹簧、滑轮、物体和地球）仅受保守力（重力和弹力）的作用，所以系统的机械能守恒，若以物体m的初始位置处为势能零点，则
11?v?1mgh?mv2?J???kh2
22?R?22解之可得物体的速度为 v?2mgh?kh2． Jm?2R