第十章 齿轮机构及其设计

一、齿轮的齿廓曲线

1.共轭齿廓：一对能实现预定传动比(i12=ω1/ω2)规律的啮合齿廓。 2.齿廓啮合基本定律

齿廓啮合基本定律:互相啮合的一对齿轮在任一位置啮合时的传动比，都与连心线O1O2被其啮合齿廓在接触点的公法线所分成的两线段长成反比。 二、渐开线 1.特性：

①发生线滚过基圆的长度等于基圆上被滚过的弧长。

②渐开线上任意点的法线切于基圆，渐开线上任意点的法线即渐开线的发生线。 ③B点为曲率中心，BK为曲率半径。渐开线起始点A处曲率半径为0。

④渐开线形状取决于基圆，基圆越大，渐开线越平缓，当rb→∞，渐开线变成直线，齿轮变为齿条。

⑤基圆内无渐开线。

⑥同一基圆上任意两条渐开线公法线处处相等。 2.渐开线方程式

压力角：啮合时K点正压力方向与绝对速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。 αk =∠BOK rb＝rk cosαk cosαk= rb/ rk（渐开线离基圆愈远，其压力角越大） 7—14 极坐标方程：

tgαk= BK/rb=AB/rb= rb(θk+αk)/rb

θk = tgαk-αk

上式称为渐开线函数，用invαk表示：

θk ＝invαk＝tgαk-αk

由tgαk= BK/rb- ------得渐开线任一点的曲率半径 ρ=BK= rb tgαk，则分度园上的曲率半径 （*会计算）ρ=BK= rb tgα

3、渐开线齿廓的啮合特性

1）渐开线齿廓能保证定传动比传动

两齿廓在任意点K啮合时，过K作两齿廓的法线N1N2，是基圆的切线，且为定直线；两轮中心连线也为定直线，故交点P必为定点 i12=ω1/ω2=O2P/ O1P=const

2）齿廓间正压力方向不变

N1N2是啮合点的轨迹，称为啮合线，该线又是接触点的法线，正压力总是沿法线方向，故正压力方向不变。该特性对传动的平稳性有利。 3）运动可分性

传动比写成：i12=ω1/ω2=O2P/ O1P= rb2 /rb1= r2’ /r1’

传动比为基圆半径之反比。实际安装中心距略有变化时，不影响i12，这一特性称为运动可分性，对加工和装配很有利。 三、 渐开线齿轮各部分的名称和尺寸

外齿轮:1、基本参数

①齿数——z②模数——m d=mz， r = mz/2 ③分度圆压力角 定义分度圆压力角为齿轮的压力角：

α＝arccos(rb/r) 或 rb＝rcosα， db＝dcosα 称 m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数。 3、齿轮各部分尺寸的计算公式：

分度圆直径：d=mz 齿顶高：ha=ha*m ha* ——齿顶高系数，取标准值ha*＝1 齿根高：hf=(ha* +c*)m

ca* ——顶隙系数，取标准值c*=0.25

全齿高：h= ha+hf =(2ha* +c*)m 齿顶圆直径：da=d+2ha =(z+2ha*)m 齿根圆直径：df=d-2hf =(z-2ha*-2c*)m 基圆直径：db=dcosα=mzcosα

法向齿距：pn=pb =πdb/z=πmcosα=pcosα 统一用pb表示。

标准齿轮：m 、α、ha* 、c* 取标准值，且e=s的齿轮。 齿条： 齿条特点：1)压力角处处相等，且等于齿形角，α为常数。2)齿距处处相等: p=πm pn=pcosα其它参数的计算与外齿轮相同，如： s=πm/2 e=πm/2 ha=ha*m hf=(ha* +c*)m 内齿轮：

与外齿轮不同点：1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。2)df>d>da，da＝d-2ha ，df＝d+2hf3)为保证齿廓全部为渐开线，要求da>db。

*?*m?8mm，ha?1，??20，c?0.25，2.已知一对外啮合齿轮传动，中心距a??208mm，

传动比i12?2，试设计核对齿轮传动（求出两轮的齿数，各部分的尺寸及重合度）。

解题要点：

基本参数和基本尺寸的计算。 解：

m?a?(z1?z2)?2?因 ?

z2?i12??z1?8?208?(z1?z2)?2?所以 ?

z2?2??z1?联立解上式得齿数为： z1?17.33，z2?34.66 ?z1?17 ?

z?35?2则该对齿轮的实际传动比i12?动比要求不严格，尚属许可。 该对齿轮传动其标准中心距为 a?m2z2z1?3517?2.059，与要求的传动比i12?2稍有出入，如传

(z1?z2)?82(17?35)?208mm

所以标准中心距a等于其安装中心距a?，故采用一对标准齿轮传动。 主要几何尺寸如下

d1?mz1?8?17?136mm d2?mz2?8?35?280mm

* ha?mha?8?1?8mm

hf?m(ha?c)?8?(1?0.25)?10mm h?ha?hf?8?10?18mm

da?d1?2ha?136?2?8?152mm

1** da?d2?2ha?280?2?8?296mm

2 d df1?d1?2hf?136?2?10?116mm ?d2?2hf?280?2?10?260mm

?f2 db?d1cos??d1cos20?136?0.9397?127.8mm

1

db?d2cos??d2cos20?280?0.9397?263.12mm

2? ?a?arccos(1db2da212?12?db1da1)?arccos(127.8152)?arccos0.8408?3247?

??a?arccos(2)?arccos(263.12296)?arccos0.8889?2716?

?重合度 ?a? ??z1(tg?a1?tg?)?z2(tg?a?tg?)

2??17?(tg3212??47??tg20)?35?(tg2716??tg20)

?0.3640)?35?(0.5154?0.3640)??1.6

???? ??17?(0.6441

四、 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

1、正确啮合条件：模数和压力角应分别相等。 2、中心距a及啮合角α’ 外啮合传动

对标准齿轮，确定中心距a时，应满足两个要求：1）理论上齿侧间隙为零。2）顶隙c为标准值。故节圆与分度圆重合。

啮合角α’：N1N2线与VP之间的夹角，即节圆压力角。 标准安装时：α’＝α，rb1＋rb2=(r1+r2)cosα=acosα

非标准安装时：由于a’>a，两分度圆将分离，此时α’>α。 但基圆不变：rb1＋rb2=(r1’+r2’)cosα’=a’cosα’

比较得：a’cosα’=acosα（用此公式可求实际中心距和啮合角） 图3 齿轮齿条传动

如图4所示：标准安装：节圆与分度圆重合，节线与分度线重合，α’＝α

非标准安装：N1N2线与齿廓垂直，故节点位置不变，且节线与分度线不重合，但r1’=r1，α’＝α

图4

2 一对标准安装的渐开线标准直齿圆柱齿轮外啮合传动，已知：a＝100mm，

z1＝20，z2＝30，?＝20°，da1＝88mm。 （１）试计算下列几何尺寸： ①齿轮的模数m；

②两轮的分度圆直径d1，d2； ③两轮的齿根圆直径

df1，

df2；

④两轮的基圆直径db1，db2； ⑤顶隙c。

（２）若安装中心距增至a?＝102mm，试问： ①上述各值有无变化，如有应为多少？ ②两轮的节圆半径r1、r2和啮合角??为多少？ 解题要点：

ａ）根据标准齿轮的几何尺寸计算公式，可求出题目所要求的量。

??

ｂ）由于渐开线齿轮传动具有可分性，中心距加大后其传动比仍不变。但两节圆分别大于两分度圆，啮合角大于压力角，此时实际中心距a?与啮合角??的关系为：a?cos???acos?。

解：

（ｌ）几何尺寸计算 ① 模数m：

m?2a(z1?z2)?2?100(20?30)?4mm

②分度圆直径d1，d2：

d1?mz1?4?20?80mm mm ，

df2d2?mz2?4?30?120③两轮的齿根圆直径

df1：

mm mm

df1?d1?2hf?[80?2?4?(1?0.25)]?70df2?d2?2hf?[120?2?4?(1?0.25)]?110④基圆直径db1，db2：

db1?d1cos??80?cos20?75.175??mm mm

db2?d2cos??120?cos20?112.763⑤顶隙c：

* c?cm?0.25?4?1mm

（２）安装中心距增至a?＝102mm时，则有：

①上述各值中，只顶隙一项有变化：c=（1+2）= 3mm。 ②节圆半径r1、r2和啮合角??：

???arccos(acos?a?)?arccos(100?cos20102)?22.888

????

r1??rb1cos???40.8r2??rb2cos???61.2mm mm

3.

（重庆大学2010）

3、一对轮齿的啮合过程（会作图）

如图5所示，轮齿在从动轮齿顶圆与N1N2线交点B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。随着传动的进行，啮合点沿N1N2线移动。在主动轮齿顶顶圆与N1N2线交点处B1脱离啮合。

B1B2－实际啮合线 （即B2为从动齿轮的齿顶圆与N1N2的交点，B1为主动齿轮的齿顶圆与N1N2的交点）， N1N2：理论上可能的最长啮合线段——理论啮合线段 N1、N2——啮合极限点

阴影线部分——齿廓的实际工作段。

图5 图6 4、连续传动条件

如图6所示，为保证连续传动，要求：一对齿轮的连续传动条件是：εα≥1 重合度εα计算公式：

εα=[z1 (tgαa1 - tgα’) + z2 (tgαa2 - tgα’)]/2π εα的物理意义：表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。 当：εα↑→啮合齿对↑→平稳性、承载能力↑ 影响重合度1）

大小的因素如下：

与模数m没有直接关系。

的影响不明显，z 增加会使

略有增大（但远

2）齿数 z 对

非线性关系）。 3）齿顶圆减小会使要比正常齿制齿轮（

值下降，因此，短齿制齿轮（

）的重合度小，

值。

加大时，两个基圆随之远离，但半径rb不变，因而啮合

）

选用短齿制齿轮时要注意核验4）中心距

对

影响很大，

线变陡，啮合角

增大；同时，两个齿顶圆随之远离，使B2和B1点靠近，这两方面影响的结果使

急 剧变短，从而使

迅速减小。

实际啮合线

举例：εα= 1.45的意义：如图7所示，由题意知： B1B2=εαP b = 1.45 Pb

3．一对按标准中心距安装的外啮合渐开线直齿圆柱标准齿轮，主动轮1作顺时针转

*h?1*z?22z?34动。已知1，2，?＝20?，a，c?0.25；中心距a?140mm。试求：

两轮的分度圆、齿顶圆、齿根圆和基圆半径；并按?l?0.001m/mm作图，画出实际啮合线B2B1，计算其重合度ε。

解：

a?12m(z1?z2),m?5mm,

r1?12mz1?55mm,

r2?12mz2?85mm

ra1?r1?ha*m?60mm,

ra2?90mm,

rf1?r1?(ha*?c*)m?48.75mm,

rf2?78.75mm

rb1?r1cos??51.683mm,

rb2?79.874mm,

作图过程

??B1B2?mcos??1.66由图得B1B2?24.5mm,

4.图示为一对互相啮合的渐开线直齿圆柱齿轮传动，已知主动轮1的角速度?1?100rad/s，?l?1mm/mm，n-n线为两齿廓接触点的公法线。试在该图上：

(1)标出节点P； (2)画出啮合角?'； (3)画出理论啮合线N1N2； (4)画出实际啮合线B2B1；

(5)在2轮齿廓上标出与1轮齿廓A1点相啮合的A2点； (6)计算?2的大小。

例10-1图

解： (1)P；如图。 (2)?'如图。

(3)N1N2如图所示。 (4)B2B1如图所示。 (5)A2如图所示。 (6)由图量得：

lO1P?28lO2P?35mm，mm。

?2?O1P?1/O2P?(28?100)/35?80rad/s。

（2009）

解： （1）

a?m2(z1?z2)?mz21(1?i)?mz21?3.5?350 mm

m?5 mm z1?40z1?350?2m?6 mm z1?33.333.5?m m?7 mm z1?28.57

z1?40 z2?40?2.5?100 m?5 mm为标准安装的标准齿轮。 （2）d1?mz1?5?40?200 mm d2?mz2?5?100?500 mm da1?m(z1?2ha)?5?42?210 mm da2?m(z2?2ha)?5?102?510 mm

??df1?m(z1?2ha?2c)?5?(40?2.5)?187.5 mm ??df2?m(z2?2ha?2c)?5?(100?2.5)?487.5 mm d1??d1?200 mm d2??d2?500 mm

???????20

（3）??,d1?,d2?发生变化

acos??a?cos?? ???arccosacos?a??arccos350?cos20351??

???20.4438

cos?'d1?d1?200.57 mmcos?? cos?d2??d2?501.43 mmcos??

?

六、渐开线齿轮的切制

1、齿廓切制的基本原理

最常用的是切制法，根据加工原理不同，切制法又可分为仿形法和范成法两种。 2、渐开线齿廓的根切：加工齿轮时，有时会出现轮齿根部部分被切除的现象称为轮齿的根切。根切现象出现后，由于齿根变薄，会产生一些不良后果：①削弱轮齿的抗弯强度；②使重合度ε下降。

渐开线齿轮不发生根切的最少齿数 zmin=17 避免根切的措施：a）减小ha* ↓→εα↓→连续性、平稳性↓，须用非标准刀具。 b）加大刀具角α ↑→正压力Fn↑→功耗↑，得用非标准刀具。 c）变位修正，刀具远离轮坯中心。所得齿轮为变位齿轮。 八、变位齿轮

1、加工齿轮时刀具的变位

如图8所示，为避免根切，可径向移动刀具xm，称x为径向变位系数。 规定：远离轮坯中心时，x>0，称正变位齿轮。

靠近轮坯中心时，x<0，称负变位齿轮。

图8 图8

2、变位齿轮的几何尺寸

1）、变位齿轮的基本参数m、z、α与标准齿轮相同，故d、db与标准齿轮也相同，齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段。

2）、齿顶高和齿根高与标准齿轮不同，如图所示，

齿根高： hf = ha*m＋c*m－xm 齿顶高：由毛坯大小确定，如果保证全齿高不变，则有：

ha= (ha*+x)m 顶圆半径：ra =r+ ha =r+(ha*+x)m 3、齿厚与齿槽宽与标准齿轮不同。

齿厚： s=πm/2+ 2xmtgα 齿槽宽： e=πm/2－ 2xmtgα 正变位：齿厚变宽，齿槽宽减薄。负变位：正好相反。 变位齿轮传动 1、正确啮合条件和连续传动条件

与标准齿轮相同，即：m1=m2 , α1=α2 , εα≥[εα] 2、中心距与啮合角

inv??'2tg?(x1?x2)(z1?z2)?inv?称无侧隙啮合方程

无侧隙啮合时有：a'?a?ym?m(z1?z2)/2?ym

为了保证两齿轮之间具有标准的顶隙：c=c*m,则两轮的中心距为：

a\?ra1?c?rf2?r1?ha1?c?r2?hf2?r1?r2?(ha?x1)m?cm?(h?c?x2)m?m(z1?z2)/2?(x1?x2)m\'?m?a?a?(x1?x2)m?ym

**a**解决办法：将轮齿削顶。

?——称为齿顶高变动系数。得：**?＝(x1?x2)?y?0

齿顶高为：ha?ham?xm??m?(ha?x??)m

除了x1+ x2＝0之外，总有 x1+ x2 > y，即σ> 0，轮齿总要削顶。 3、变位齿轮传动类型及其特点

1）x1+ x2＝0，且x1＝x2＝0 。标准齿轮传动（变位齿轮传动的特例）

2）x1+ x2＝0，且x1＝-x2≠0。等变位齿轮传动（高度变位齿轮传动）有：a’=a，y=0，σ=0，α’=α，r’=r，小齿轮采用正变位，x1>0，大齿轮采用负变位，x2<0。 优点：①可采用z1≤zmin的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。②改善小齿轮的磨损情况。

③相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。

缺点是：没有互换性，必须成对使用，εα略有减小。 3）x1+x2≠0。不等变位齿轮传动（角度变位齿轮传动） 当x1+ x2 >0 称正传动，当x1+ x2 <0 称负传动。

a)正传动时有：a’>a，y>0，σ>0，α’>α，r’>r，齿高降低σm 优点：可以采用z1+ z2<2zmin 而不根切，结构紧凑。其余同上。 缺点：没有互换性，必须成对使用，因齿顶降低使εα↓。 b)负传动时有：a’0，α’<α，r’

1、已知中心距的设计:已知条件：z1、z2、m、 a’ ，其设计步骤如下：

1）计算啮合角：α’＝arccos(acosα/ a’)

2）确定变位系数之和： x1+ x2＝(invα’－invα)( z1+ z2)/2tgα 3）确定中心距变动系数： y=(a’－a)/m 4）确定齿顶高变动系数： σ＝(x1+ x2) –y 5）分配变位系数。

6）按公式表计算两轮的几何尺寸。

2、已知变位系数的设计:已知条件是：z1、z2、m、x1、x2，其设计步骤如下：

1）计算啮合角： invα’＝ 2tgα(x1+ x2)/( z1+ z2)+ invα 2）确定中心距: a’＝acosα/ cosα’

3）确定y和σ： y=(a’－a)/m, σ＝x1+ x2－y 4）按公式表计算两轮的几何尺寸。

例题：用齿条刀具加工一直齿圆柱齿轮。设已知被加工齿轮轮坯的角速度?1?5rad/s，

?刀具移动速度为0.375m/s，刀具的模数m?10mm，压力角??20。

1． 求被加工齿轮的齿数；

2． 若齿条分度线与被加工齿轮中心的距离为77mm，求被加工齿轮的分度圆齿厚； 3． 若已知该齿轮与大齿轮2相啮合时的传动比i12?4，当无齿侧间隙的准确安装时，中心

距a?377mm，求这两个齿轮的节圆半径r1?、r2?及啮合角??。 解题要点：

1. 用齿条刀具范成齿轮时的运动条件为：v刀?r?，它直接关系到被加工齿轮的齿数。 2. 用齿条刀具范成齿轮时的位置条件为：L?r?xm，它直接关系到被加工齿轮的变位系数。

解：1. 由于用齿条刀具加工齿轮时，被加工齿轮的节圆与其分度圆重合，且与刀具的节线作范成运动，则有

r1?1?v刀 而 r1?mz1/2

故得 z1?2v刀/m?1?2?375/(10?15)?15

2. 因刀具安装的距离L?77mm，大于被加工齿轮的分度圆半径r1?75mm，则被加工齿轮为正变位，其变位量为

xm?L?r1?77?75?2mm 得 x?xm/m?2/10?0.2 故被加工齿轮的分度圆齿厚为

s?(?/2?2xtg?)m?(?/2?2?0.2?tg20)?10?17.164mm

?1． 求两齿轮的传动比i12和实际中心距a?可知 z2?i12z1?4?15?60 i12??1?2?r2?r1??4 即 r2??4r1?

r1??r2??a??377mm

两上式联立解得 r1??75.4mm r2??301.6mm 两轮的中心距为

a?m(z1?z2)/2?10?(15?60)/2?375mm

由式a?cos???acos?，可求得

cos???acos?/a??375?cos20/377?0.93471 故得 ???20.819

??

（北京矿大2010）

（北交2009）、

4在一齿轮系中1和 2啮合，2’与3啮合，已知各直齿圆柱齿轮的模数均为

m?2mm,z1?15,z2?32, z2'?20,z3?30，要求齿轮1，3 同轴线。试问：

（1）齿轮1，2 和齿轮2'，3应选什么传动类型最好？为什么？

（2）若齿轮1，2改为斜齿轮传动来凑中心距，当齿数、模数均不变时，斜齿轮的螺旋角为多少？

（3）当用范成法（如用滚刀）来加工齿数z1?15的斜齿轮1时，是否会产生根切？ （4）这两个斜齿轮的当量齿数是多少？ 解：（1） a12?m2?z1?z2??47mm,a2?3?m2?z2??z3??50mm

选2' ，3为标准齿轮传动，而齿轮1，2为正变位传动，实际中心距取为a??50mm，此方案为最佳。因为，齿轮2' ，3的中心距较大，选其为标准传动，使设计、加工简单，互换性好；同时齿轮1，2采用正传动，一方面可避免齿轮发生根切（如齿轮z1?15?17， 故必须采用正变位），另一方面齿轮的弯曲强度及接触强度都有所提高。

（2）齿轮1，2改为斜齿轮传动时，由题意要求：两轮齿数不变，模数不变，其中心距为

a12?

mn2cos??z1?z2??22cos??15?32??a??50mm

cos??0.94???19.9484??19?56?54??

（3）用范成法加工斜齿轮不发生根切的最少齿数可以借助于当量齿数的概念

z3?min?zvmincos??17cos19.9484?14

z1?15?zmin，故用范成法加工此斜齿轮时不会发生根切。

（4）两个斜齿轮的当量齿数

z3v1?z1/cos3??18.06,zv2?z2/cos??38.53

河北工业2012

西南交通2011

九、 斜齿圆柱齿轮传动

斜齿轮的基本参数（取法面参数为取标准值） 1、斜齿轮的螺旋角

∴ tgβb = tgβ cosαt 其中αt为端面压力角。 2、模数mn、mt

pn=ptcosβ 将pn＝πmn，pt＝πmt代入得：mn=mtcosβ

3、压力角：αn、αt 得： tgαn = tgαt cosβ 三、斜齿轮传动的几何尺寸

ha=h*anmn hf= (h*an+c * n) m n 分度圆直径：d=zmt=z mn / cosβ h*an－法面齿顶高系数，han*＝1

c*n－法面顶隙系数，c*n＝0.25 中心距：a=r1+r2= mn (z1+ z2) /2 cosβ 当齿数和模数不变时，可通过改变β来调整a的大小。

四、一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件

mn1=mn2=m，αn1 =αn2=αmt1=mt2 ，αt1＝αt2 另外要求啮合处的齿向相同，故外啮合：β1＝-β2，内啮合：β1＝β2 五、斜齿轮传动的重合度 斜齿轮：εγ＝εα+εβ εβ＝Bsinβ/πmn εα=[Z1 (tgαat1-tgαt’)+Z2 (tgαat2-tgαt’)]/2π

若B＝100，β＝20°，mn＝2，则εβ＝5.45，由此可见斜齿轮的重合度较直齿轮大了许多。

六、斜齿圆柱齿轮的当量齿数 zv ＝z/ cos3β 斜齿轮不发生根切的最少齿数可由当量直齿轮与斜齿轮的齿数关系求得： zmin=zvmincos3β 若β=20°，zvmin =17zmin=14 七、斜齿轮的特点

1、啮合性能好、传动平稳，噪音小。 2、重合度大，承载能力高。

3、zmin< zvmin ,机构更紧凑。

4、缺点：由于轮齿倾斜，因此运转时会产生轴向力.

蜗杆传动(以中间平面的参数为标准参数)

蜗杆传动的优点：1、传动平稳，振动、冲击和噪音很小。2、线接触，可传递较大的动力。3、单级可获得较大的传动比，结构紧凑。4、当γ1<φv 时，反行程具有自锁性（起重机用）。 蜗杆传动的缺点：

相对滑动速度大，摩擦损耗大，易发热，效率低。蜗轮用耐磨材料做，成本高。 蜗杆传动的正确啮合条件

蜗杆蜗轮的正确啮合条件是中间平面内参数分别相等，γ1＝β2 即蜗轮蜗杆轮齿旋向相同。

圆锥齿轮传动(以大端面平面的参数为标准参数) 当量齿轮：zv＝z/cosδ

正确啮合条件：mt1=m t 2 , αt 1=αt 2

重合度：ε=[Zv1(tgαa1-tgα’ )+Zv2 (tgαa2 - tgα’ )]/2π 不根切最少齿数：

因zvmin=17, z= zvmin cosδ= 17 cosδ，若δ= 45°，则z=12

例题精解

例10-2 已知一对正确安装的渐开线直齿圆柱标准齿轮传动，中心距O1O2?100mm，模数m?4mm，压力角??20?，小齿轮主动，传动比i??1/?2?1.5，试：

(1)计算齿轮1和2的齿数，分度圆，基圆，齿顶圆和齿根圆半径，并在图中画出； (2)在图中标出啮合起始点B2、终了啮合终止点B1、节点P、啮合角和理论啮合线与实际啮合线。

解：

d2d1?d2i??1.5?a12d2(1) 1算出d1?80mm，d2?120mm

z1?d1m?20，

z2?d2m?30

*db1?d1cos20??75.18mm，da1?m(z1?2ha)?88mm *db2?d2cos20??112.76mm，da2?m(z2?2ha)?128mm **df1?m(z1?2ha?2c)?70mm

**df2?m(z2?2ha?2c)?110mm

(2)如图，N1N2为理论啮合线，B1B2为实际啮合线。

例10-2图解

例10-3 若一对直齿圆柱齿轮传动的重合度?=1.34,试说明若以啮合点移动一个基圆周节pb为单位，啮合时有多少时间为一对齿，多少时间为两对齿，试作图标出单齿啮合区域，并标明区域长度与pb的关系。

解：

34?时间为两对齿。

66?时间为一对齿。

例10-3图解

例10-4 如图所示为一对外啮合渐开线直齿圆柱齿轮传动，?1、?2分别为主动轮1和

rb1、rb2为两轮的基圆半径；ra1、ra2为两轮的顶圆半径，r1?、r2?为两轮从动轮2的角速度，

的节圆半径。试在图中标出理论啮合线N1N2、实际啮合线B1B2；啮合角??和齿廓在顶圆

上的压力角?a1、?a2。

解：

1 例

例10-4图解

10-4

图

*例10-5 已知一对直齿圆柱齿轮传动的基本参数为m?2mm，??20?，ha?1，

*c?0.25;安装中心距a??100mm；要求传动比i12?2.6(允许有少量误差)。

(1)确定两齿轮的齿数和这对齿轮的传动类型；

(2)若这对齿轮用一对平行轴斜齿圆柱标准齿轮传动(其法面参数的数值与题中所列基本参数的数值相同)代替，试计算这对斜齿轮的螺旋角的数值。

解：

(1)先假定为标准安装，则

a?a??12m(z1?z2)?12m(z1?i1z2)，

，取z1?27

1z1?2a?m(1?i12)?2?1002?(1?2.6)?27.78

z2?27?2.6?70.2，取z2?70

则标准安装时的中心距

用正传动。

??arccos?a?12m(z1?z2)?12?2?(27?70)?97mm?a?，所以采

(2)

?m(z1?z2)??2?(27?70)??arccos ????14.07?2?1002a????

例10-6 如图所示，渐开线直齿圆柱标准齿轮1与

标准齿条作无齿侧间隙的啮合传动。齿条的参数

??20?，ha?1，c*?0.25。如齿条为主动件，运动方向如图所示。现要求：

(1)画出轮1的分度圆，并标出其半径r1； (2)在图上标注出啮合线(理论啮合线N1N2、起始啮合点B1、终止啮合点B2)；

(3)在齿轮1齿廓上标出将与齿条2齿廓上的点A2相啮合的点A1的位置；

(4)就图上所量得的长度，试粗算该齿条齿轮传动的重合度?的值。

例10-6图

解：

13mm知m?p/??8mm (1)从齿条齿距p?25.由s?e?p/2得到中线及r1;

*(2)N1、N2、B1、B2见图； (3)A1位置见图； (4)

??B1B2/(?mcos?)?41/23.617?1.736mm

例10-6图解

例10-7 用齿条刀范成法切制一直齿圆柱外齿轮，已知齿数z?90，模数m?2mm。 (1)轮坯以??1/22.5rad/s的角速度转动，在切制标准齿轮时，齿条刀中线相对轮坯中心O的距离L应等于多少？此时齿条刀移动速度vd应等于多少？

(2)如果齿条刀的位置和移动速度都不变，而轮坯的角速度变为???1/23.5rad/s。则此时被切齿轮的齿数z等于多少？它相当于哪种变位齿轮？变位系数x?？

(3)如果齿条刀的位置和移动速度都不变，而轮坯的角速度变为????1/22.1rad/s。此时被切齿轮的变位系数x?？齿数z?？最后加工结果如何？

解：

(1)d?mz?2?90?180mm

L?90mm

vd?? r?122.5?90?44123.5mm/s

r??vd/????94(2)

z?2r?m?94mm

此时若按标准齿轮L0应94mm，现在实际的L?90mm，它相当于切制负变位的齿轮。

xm?90?94??4mm x??2

r???vd4122.1?????88.4(3)

mm

z?2r??m?88.4

xm?90?88.4?1.6mm

x?0.8

此时若按标准齿轮L0?88.4mm，现在实现的L?90mm，变位系数x?0.8，因为齿数不是整数，所以加工结果轮齿被切光成为一个光滑圆柱体。

例10-9 一对渐开线外啮合直齿圆柱齿轮传动，已知z1?z2?23，m?8mm，??20?*,ha?1,实际中心距a??180mm，试解答下列问题：

(1)求啮合角??和中心距变动系数y；

(2)按无侧隙要求确定两轮变位系数之和x1?x2； (3)取x1?x2，计算齿轮的顶圆直径da； (4)计算该对齿轮传动的重合度。

inv?? 2(x1?x2)z1?z2 tg??inv?注：无侧隙啮合方程重合度公式

??12?

?z1(tg?a1?tg?)?z2(tg?a2?tg?)?

中心距变动系数解：

齿顶高变动系数?y?x1?x2?y

(1)a?m(z1?z2)/2?8?(23?23)/2?184mm

cos???acos?/a??184?cos20?/180?0.96057

y?a??am???16.142?

y?(a??a)/m?(180?184)/8??0.5

?(2)x1?x2?(z1?z2)(inv??inv?)/2tg? inv???tg??????0.0076977

inv??tg????0.0149035(取??3.1416)

x1?x2??0.455

*(3)da1?da2?m(z1?2ha?2x1?2?y)

x1?x2??0.2275?y?(x1?x2)?y?0.045

da1?da2?195.64mm

(4)db1?db2?mz1cos??172.903mm ?a1??a2?arccos(db/da)?27.898?

例10-10 知一对渐开线直齿圆柱齿轮的参数分别为：z1?15，z2?21，m?5，

*??20?，ha?1，c*?0.25，x1?0.3128，x2??0.1921。

(1)判断在用齿条型刀具范成加工这两个齿轮时，是否会产生根切现象(注意：必须有计算过程)；

??z1(tg?a1?tg??)/??1.757

(2)求出这一对齿轮作无侧隙啮合传动时的中心距a?； (3)说明这一对齿轮的啮合传动属于哪一种类型。 [附]：无齿侧间隙啮合方程式

inv???inv??2(x1?x2)z1?z2tg?

22? 0.020054 渐开线函数表(节录) ? inv? 19?30? 20? 20?30? 21? 21?30? 0.013779 0.014904 0.016092 0.017345 0.018665 解：

(1)变位齿轮不根切的条件为x?xmin

z?zxmin?ha*minzmin当ha*?1，??20?，c*?0.25，用齿条刀加工时

xmin?(17?z)/17

x1min?(17?15)/17?0.1176 x2min?(17?21)/17??0.2353 由于x1?0.3128 x1?x1min

x2??0.1921 x2?x2min=?0.2353

所以两个齿轮都不会产生根切。 (2)求a?

a?r1?r2?(z1?z2)m/2?90mm 2(x1?x2)inv???inv??tg?z1?z2=0.0173446

cos?na??acos????21?cos???cos21?

a??90?0.93970.9336?90.59mm

(3)该齿轮传动类型

x??x1?x2?0.3128?0.1921?0 属于正传动。

例10-12 在图示的机构中，已知各直齿圆柱齿轮模数均为2mm，zl=15，z2=32，z2?=20，z3=30，要求齿轮1，3同轴线。试问：

（1）齿轮1，2和齿轮2?，3应选什么传动类型最好？为什么？。

（2）若齿轮1，2改为斜齿轮传动来凑中心距，当齿数不变，模数不变时，斜齿轮的螺旋角为多少？

（3）当用范成法（如用滚刀）来加工齿数为15的斜齿轮1时，是否会产生根切？

（4）这两个斜齿轮的当量齿数是多少？ 解：

（1）齿轮1，2和齿轮2ˊ，3的传动中心距分别为

a12=m(z1+z2)/2=2?(15+32)/2=47mm

a2?3?m?z??z3?/2=2(20+30)/2=2?(20+30)/2=50mm 例10-15图 z根据其中心距，选齿轮2ˊ，3为标准齿轮传动，而齿轮1，2为正变位传动。实际中心距取为a?=50mm，此方案为最佳。因为，齿轮2?,3的中心距较大，选其为标准传动，使该

设计、加工简单，互换性好，同时也避免了齿轮1，2采用负变位传动不利的情况。齿轮1，2采用正传动，一方面可避免齿轮发生根切，如齿轮1齿数z1=15＜17，必须采用正变位；另一方面齿轮的弯曲强度及接触强度都有所提高。

（2）齿轮1，2改为斜齿轮传动时，由题意要求：两轮齿数不变，模数不变，即mn=m=2mm，其中心距为

a=mn(z1＋z2)／（2cosβ）=2（15＋32）／（2cosβ）=a?=50 mm 则cosβ=0.94

β=1956?54??

3）用范成法加工斜齿轮不发生根切的最少齿数为

zmin=2hancosβ／sinα

2*?t

而?t由式tanαn=tanαtcosβ求得

α

t=arctan（tanαn／cosβ）=arctan（tan200／cos1956?54??）=

?*?arctan（0.357202）=2110?

2故得zmin=2hancosβ/sinαt=2?1?cos1956?54??／（sin2110?）2=14.429

因zl=15＞zmin

故用范成法滚刀加工此斜齿轮时不会发生根切。

??3（4）zv1=z1/cosβ=15／（cos1956?54??）3=18.06 3zv2=z2/cosβ=32／（cos191956?54??）3=38.53

??从本题可知：判别斜齿轮是否发生根切有两种方法：一是从斜齿轮的端面齿形考虑，因与直齿轮一样，故可直接利用直齿轮不发生根切最少齿数公式来计算。这一公式是根据齿条刀具范成加工齿轮推导出的。二是从斜齿轮的法面齿形考虑，因斜齿轮的法面齿形是用其当量齿轮的齿形代替的，且当量齿轮为直齿轮，故可按其当量齿轮的齿数来直接进行判别，即zvmin=zmincosβ。这两种方法判断结果是一样的。如本题中，zv1=18.66＞zmin=17故不会发生根切现象

1..渐开线直齿圆柱齿轮正确啮合的条件是: 两齿轮的模数相等和压力角相等 。

2.一对平行轴斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件是:两轮法面上的模数和压力角分别相等,螺旋角大小相

等,方向相反(外啮合)或相同(内啮合),

2.一对直齿圆锥齿轮传动的正确啮合条件是 两轮大端的模数和压力角相等 。

3.蜗杆蜗轮传动的正确啮合条件是 : 其中间平面内蜗轮与蜗杆的模数和压力角分别相等, 当两轴交错为90度时,还应使蜗杆的导程角等于蜗轮螺旋角 。

4.标准渐开线直齿圆锥齿轮的标准模数和压力角定义在 大端。

5.一对渐开线直齿圆柱齿轮啮合传动时，两轮的 节 圆总是相切并相互作纯滚动的，而两轮的中心距不一定总等于两轮的分度 圆半径之和。

6.共轭齿廓是指一对 能满足齿廓啮合基本定律 的齿廓。

7.用齿条刀具加工标准齿轮时，齿轮分度圆与齿条中线 相切 ，加工变位齿轮时，中线与分度圆 不相切 。被加工的齿轮与齿条刀具相\啮合\时，齿轮节圆与分度圆 重合 。

8.有两个模数、压力角、齿顶高系数及齿数相等的直齿圆柱齿轮，一个为标准齿轮1，另一个为正变位齿轮2，试比较这两个齿轮的下列尺寸 ，哪一个较大、较小或相等:db1 = db2；da1 < da2；d1=d2；df1 < df2；

sa1 > sa2；s1 > s2。

9.标准齿轮除模数和压力角为标准值外，还应当满足的条件是 分度圆上齿厚等于齿槽宽,即s=e 。 10.斜齿轮在 法面 上具有标准模数和标准压力角。

11.若两轴夹角为90度的渐开线直齿圆锥齿轮的齿数为

= 58度 。

Z1=25， Z2=40，则两轮的分度圆锥角

= 32度 ;

12. 一对直齿圆锥齿轮传动时的分度圆锥角应根据 齿轮齿数 和 两轴交角 来决定。 13. 如图所示两对蜗杆传动中，(a)图蜗轮的转向为 逆时针 ；(b)图蜗杆的螺旋方向为 右旋 。

14.用标准齿条型刀具加工标准齿轮时，其刀具的 中 线与轮坯 分度 圆之间做纯滚动. 选择题

1.一对渐开线斜齿圆柱齿轮在啮合传动过程中，一对齿廓上的接触线长度是 变化的。 A) 由小到大逐渐变化 B) 由大到小逐渐变化 C) 由小到大再到小逐渐变化 D) 始终保持定值 2. 蜗轮和蜗杆轮齿的螺旋方向一定 。 (A)相同 (B)不同

3.一对渐开线齿轮啮合时，啮合点处两者的压力角 一般不相等 ，而在节点啮合时则 一定相等 。 A)一定相等 B)一定不相等 C)一般不相等 计算题

1.一对斜齿圆柱标准齿轮外啮合传动,已知: mn=4mm, z1=24, z2=48, han试问: 1)螺旋角

为多少?

*

=1, a=150mm,

2)两轮的分度圆直径d1,d2各为多少? 3)两轮的齿顶圆直径da1,da2各为多少?

2.已知一对渐开线直齿圆柱标准齿轮的参数m=10mm,

=20度,z1=30,z2=54,若安装时中心距

a'=422mm,试问这对齿轮传动的啮合角'及节圆半径r1', r2'.

=20°,

3.一对渐开线直齿圆柱标准齿轮传动,已知齿数z1=25, z2=55,模数m=2mm,

ha*=1, c*=0.25。试求:

1)齿轮1在分度圆上齿廓的曲率半径

;

'和两轮节圆半径r1',r2'

;

2)齿轮2在齿顶圆上的压力角

3)如果这对齿轮安装后的实际中心距a=81mm,求啮合角

第十一章 齿轮系及其设计

一、定轴轮系的传动比

1、传动比大小的计算

当轮系由m对啮合齿轮组成时，有：

i1m??1?m??1?2?3?2?3?4???????m?1?m?z2?z3?z4???zmz1?z2?z3???zm?1?所有从动轮齿数连乘积所有主动轮齿数连乘积

2、首、末轮转向的确定 1）用“＋”、“－”表示

适用于平面定轴轮系，由于所有齿轮轴线平行，设轮系中有m对外啮合齿轮，则末轮转向为(-1)，此时有：

i1m?(?1)mm

所有从动轮齿数的连乘所有主动轮齿数的连乘积积

2）画箭头

外啮合时：两箭头同时指向（或远离）啮合点。头头相对或尾尾相对。 内啮合时：两箭头同向。

对于空间定轴轮系，只能用画箭头的方法来确定从动轮的转向。

（1）锥齿轮，如图所示，可见一对相互啮合的锥齿轮其转向用箭头表示时箭头方向要么同时指向节点，要么同时背离节点。

图1 图2

（2）蜗轮转向的确定 左右手定则确定：

右旋蜗杆：伸出左手，四指顺蜗杆转向，则蜗轮的切向速 度vp2的方向与拇指指向相同。左旋蜗杆：用右手判断，方法一样，

例一：已知如图所示轮系中各轮齿数，求传动比i15。 解：1.先确定各齿轮的转向，用画箭头的方法可确定首末两轮转向相反。

2. 计算传动比

i15??1?5??Z2Z3Z4Z5Z1Z2Z3Z4''??Z3Z4Z5Z1Z3Z4''

其中齿轮2对传动比没有影响，但能改变从动轮的转向，称其为过轮或中介轮。

图

二、 周转轮系的传动比

周转轮系的分类除按自由度以外，还可根据其基本构件

的不同来加以分类，如图所示，设轮系中的太阳轮以K表示，系杆以H表示，则图6所示为2K—H型轮系；图7为3K型轮系，因其基本构件为3个中心轮，而系杆只起支撑行星轮的作用。在实际机构中常用2K—H型轮系。

图5 图7

反转原理：给周转轮系施以附加的公共转动－?H后，不改变轮系中各构件之间的相对运动， 但原轮系将转化成为一新的定轴轮系，可按定轴轮系的公式计算该新轮系的传动比。转化后所得的定轴轮系称为原周转轮系轮系的“转化轮系”。将整个轮系机构按－?H反转后，各构件的角速度的变化如下：

构件 原角速度 1 2 3 H ω1 ω2 ω3 ωH 转化后的角速度 ωH1＝ω1－ωH ωH2＝ω2－ωH ωH3＝ω3－ωH ωHH＝ωH－ωH＝0 由角速度变化可知机构转化后，系杆角速度为0，既系杆变成了机架，周转轮系演变成定轴轮系，因此可直接套用定轴轮系传动比的计算公式。i?H13?1HH?3??1??H?3??H??Z2Z3Z1Z2??Z3Z1

上式“－”说明在转化轮系中ωH1与ωH3方向相反。 通用表达式：

iHmn??m?nHH??m??H?n??H??转化轮系中由转化轮系中由m至n所有从动轮齿数连乘积m至n所有主动轮齿数连乘积?f(Z)

特别注意：

1、齿轮m、n的轴线必须平行。

2、计算公式中的±不能去掉，它不仅表明转化轮系中两个

3、太阳轮m、n之间的转向关系，而且影响到ωm、ωn、ωH的计算结果。

如果周转轮系是行星轮系，则ωm、ωn中必有一个为0（不妨设ωn＝0）,此时上述通式可改写如下：

iHmnH??m?Hn??m??H??H?1?imH

HH即： im?1?imn?1?f(Z)

以上公式中的ωi可用转速ni代替：

ni?(?i2?)60?30??i

用转速表示有：

iHmn?nmnnHH?nm?nHnn?nH?f(z) 图1

例：如图1所示2K－H轮系中，Z1＝Z 2＝20，Z 3＝60，轮3固定。 求：1）i1H 。

2）n1=1, n3=-1,求nH 及i1H 的值。

3）n1=1, n3=1,求nH及i1H 的值。

解1)iH13??1?HH3???1??H?3??H??1??H0??H??i1H?1??z2z3z1z2??z3z1??6020??3

∴ i1H=4 , 齿轮1和系杆转向相同。

2)iH13?n1HHn3?n1?nHn3?nH?1?nH?1?nH?-3

nH??1/2

得： i1H = n1 / nH =－2，两者转向相反。

3)iH13?n1HHn3?n1?nHn3?nH?1?nH1?nH??3

nH?1

n1=1, n3=1,得： i1H = n1 / nH =1，两者转向相同。 结论：1、轮1转4圈，系杆H同向转1圈。

2、轮1逆时针转1圈，轮3顺时针转1圈，则系杆顺时针转2圈。

3、轮1轮3各逆时针转1圈，则系杆逆时针转1圈。

特别强调：1、i13≠ iH13

2、i13≠- z3/z1

例3：如图8—15示圆锥齿轮组成的轮系中，已知：z1＝33，z2＝12，z2’＝33，求i3H 解：判别转向：齿轮1、3方向相反

i31?H?3??H?1??H??3??H0??H??i3H?1??z1z3??1

i3H =2

特别注意：转化轮系中两齿轮轴线不平行时，不能直接计算！ 三、复合轮系的传动比 复合轮系的解题步骤：

1、找出所有的基本轮系。关键是找出周转轮系!2、求各基本轮系的传动比。3、根据各基本轮系之间的连接条件，联立基本轮系的传动比方程组求解。

复合轮系的常见类型：

1.一个或多个定轴轮系和行星轮系的复合轮系

例 在图示的轮系中，已知各轮齿数为z2?z4?25，z2??20，各轮的模数相同，

n4?1000r/min。试求行星架的转速nH的大小和方向。

例11-6图

解：

（1）求其余各轮齿数：

因为r1?2r2?r4 所以

z1?2z2?z4?75，z2?z4?z2??z3，z3?30，且z1??z3?

（2）求i4H：

i1?3??i43?i41?HHn1n3??z3?z1????1

z2gz3z4gz2?z1z4?32

n4?nHn3?nHn4?nHn1?nH????3（3）求各转速： 由上面三式得

n1??n3

3n4?nH?()(n3?nH)2

n4?nH??3(n1?nH)

所以n3??3nH 代入上两式得

n4?nH?3nH?nHi4H?3所以

2 ??5

（4）求nH：

nH?n4i4H?1000?5r/min??200r/min

nH的方向与n4相反。

2、 3k-H型的轮系（即有三个2K-H型周转轮系组成）和多个周转轮系

河北工业2012

2012中矿大

3、有蜗杆传动的复合轮系，蜗杆传动一定是定轴轮系。

4、含有差动轮系的复合轮系（需要有两个主动件）

例7 在图示轮系中，已知各轮齿数为z1?20，z2?36，z2??18，z3?60，z3??70，z4?28，z5?14，nA?60r/min，nB?300r/min，方向如图示。试求轮5的转速nC的

大小和方向。

例11-7图

解：

i3 5?Hn3? ?nHn5?nHn1n3? ????z3z2z5z3 ?????1470

??6

（1）

i13 ?（2）

60?3618?20z2? z1（3）

n3? ??n16??606??10, nH?nB??300

?10?300n5?300??z5z3? ??1470

?14n5?24500

n5??1750

表示n5和n1反向。

新

5.有多个周转轮系和定轴轮系组成的复合轮系

(东南大学2009)

例题精解：

例11-1 在图示轮系中，已知：蜗杆为单头且右旋，转速n1?1440 r/min, 转动方向如图示，其余各轮齿数

为：z2 ?40，z2? ?20，z3?30，z3??18，

z4 ?54，试：

（1）说明轮系属于何种类型； （2）计算齿轮4的转速n4； （3）在图中标出齿轮4的转动方向。

解

例11-1图

：

（1）该轮系为定轴轮系

n4?z1?z2? ?z3? ?n1z2?z3?z4?1?20?1840?30?54?1440?8（2）r/min

（3）蜗杆传动可用左右手定则判断蜗轮转向↓。然后用画箭头方法判定出n4转向。

n4方向←。 例11-2 在图示轮系中，设已知双头右旋蜗杆的转速n1?900r/min，z2?60，z2??25，

z3?20，z3??25，z4?20，z4??30，z5?35，z5??28，z6?135，求n6的大小和

方向。

例11-2图

解：该轮系为定轴轮系。

i16?n1n6n1?z2?z3?z4?z5?z6z1?z2??z3??z4??z5?900?8.33?60?20?20?35?1352?25?25?30?28

?108（1）

n6?

i16108（2）（r/min） 转向如图所示

例11-3 图示轮系中，各轮模数和压力角均相同，都是标准齿轮，各轮齿数为z1?23,z2?51,z3?92,z3'?40,z4?40,z4'?17,z5?33,n1?1500 r/min,转向如图示。

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