一、是非题

1．将任意随机事件 A、B之并“A?B”表示成互不相容并形式，可以表为AB?AB?AB. -------------------------------------------------------------------------( √ )

2．设X为“连续抛掷一枚均匀硬币5次中出现反面的次数”，则X的可能值为0，1，2，3，4，5.--------------------------------------------------------------( √ )

3．随机变量X满足P(X?5)?0，则“X?5”不可能事件.---------( × ) 4．随机变量X与Y相互独立，且同分布，则X?Y. ----------------( × ) 5. 随机变量X的方差必为非负数. --------------------------------------( √ ) 6．随机事件A满足P(A)?1，则A为必然事件. ----------------------( × ) 7．设X表示“连续抛掷一枚均匀硬币时直到出现反面为止所抛掷的次数”，则X的可能值为2，3，4，?. -------------------------------------------( × )

28．若随机变量X满足E(X)?0,则E(X)?D(X)?0. ------------------( √ )

9. 随机变量X的数学期望必为非负数. --------------------------------( × ) 10．设A,B,C是三个事件，若其中每两个事件都独立，则称A,B,C三个事件相互独立. -------------------------------------------------------------------( × )

11．设X为连续型随机变量,则对任意实数a,有P(X?a)?0.------( √ ) 12．设X表示n重贝努利试验中“成功”的次数，则X为服从二项分布的随机变量. -----------------------------------------------------------------------( √ )

13．随机变量X与Y相互独立，且同分布，则X?Y. --------------( × ) 14. 若随机变量X,Y相互独立，则有D(X?Y)?D(X)?D(Y).--------( √ ) 15．若随机事件A、B满足A?B??,P(AB)?0，则称随机事件A与B互为对立事件. ------------------------------------------------------------------------( × )

16．随机事件A满足P(A)?0，则A为不可能事件. ----------------( × ) 17．设X表示“抛掷一枚均匀的硬币一次”试验中“出现分值面”的次数，则X~b?1,0.5?. -----------------------------------------------------------------------( √ )

18．设X~U?1,9?,则对任意实数b?(1,9),有P(X?b)?0. ----------( √ )

19．设X~U?1,5?,则X满足P(X?1)?P(X?1).-----------------------( √ ) 20．利用二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)计算概率时有：

P(a?X?b,c?Y?d)?F(c,d)?F(c,b)?F(a,d)?F(a,c).------------------------( √ )

21 对任意随机变量X,Y，有E(XY)?E(X)E(Y). --------------------( × ) 22．矩法估计的一般原则是用样本矩替换总体矩. --------------------( √ ) 二、单项选择题

1．设X为随机变量，则与事件“X?1”具有对立关系的事件是 (D) . (A) A (B) X?1 (C) X?1 (D) X?1

2．对于乒乓比赛中的强弱选手对赛，你认为取胜最不利于弱者的比赛赛制是 (A) . (A)七局四胜制 (B)三局二胜制 (C)五局三胜制 (D)一局定胜负 3．设随机事件A、B、C、D相互独立，则 (C) 相互独立. (A) A、A (B) A、B、C (D) A、B、CA 、B、AC (C) A4．对任意随机变量X,Y以下等式成立的是 (A) (A) E(X?Y)?EX?EY (B) E(XY)?EX?EY (C) D(X?Y)?DX?DY (D) D(XY)?DX?DY

5．同时抛掷5枚均匀的硬币1次，则5枚硬币出现的面不完全相同的概率为 (D) .

(A) 0.0625 (B) 0.25 (C) 0.5 (D) 0.9375

6．对于乒乓比赛中的强弱选手对赛，你认为取胜最有利于弱者的比赛赛制是 (A) .

(A) 一局定胜负 (B)三局二胜制 (C)五局三胜制 (D) 七局四胜制 7．随机变量X的分布函数F(x)，实际上是事件 (B) 的概率. (A) “X?x” (B) “X?x” (C) “X?x” (D) “X?x” 8．已知P(A)?0.7，P(B)?0.2，则P(AB)可能取得的最大值为 (A) .

(A) 0.2 (B) 0 (C) 0.5 (D) 0.7 9．A,B为事件,且A?B，则 (B) 不成立.

(A)AB?A (B)AB?B (C)A?B?B (D)P(A)?P(B)

10．关于连续型随机变量X的分布函数F(x)和密度函数f(x)，下列结论错误的是 (A) . (A) 0?f(x)?1 (B) ?f(x)dx?F(b)?F(a)

ab(C) F(x)连续 (D) 在f(x)连续点处有F?(x)?f(x) 11．设三个人同时独立地射击某个靶盘，击中的概率分别为0.6,0.7,0.8，则靶盘被击中的概率为 (C) .

(A) 0.336 (B) 0.024 (C) 0.976 (D) 0.664 12．设X的分布律为

X ?1 0 1 P 0.2 0.4 0.4 则X的分布函数为 (D) .

x??1,?0,?0.2,?1?x?0,?(A) F(x)?? (B) F(x)?0.4,0?x?1,??x?1.?0.4,x??1,?0,?0.2,?1?x?0,?(C) F(x)?? (D) F(x)??0.6,0?x?1,?x?1.?1,x??1,?0,?0.2,?1?x?0,? ?0.4,0?x?1,??x?1.?0.4,x??1,?0,?0.2,?1?x?0,? ??0.6,0?x?1,?x?1.?1,13．设X,Y为随机变量, D(X)?2,D(Y)?1，则D(X?2Y)? (D) . (A) 0 (B) 4 (C) 6 (D)以上都不对 14．A、B为事件,且A?B，则 (C) 不成立.

(A) A?B?B (B) P(A)?P(B) (C) AB?B (D) AB?A 15．设随机事件A、B、C、D相互独立，则随机事件BC与 (D) 相互独立. (A) BC (B) BC?D (C) BD (D) A

16．设X为随机变量，则以下随机事件中与随机事件“X?0”具有对立关系的是 (A) .

(A) X?0 (B) X?0 (C) X?0 (D) X

17．有三位同学同时参加课程“概率论与数理统计B”的期末考核的闭卷考试，他们考试及格的概率分别为0.9,0.8,0.7，则这三位同学中至少有一位该课程考试及格的概率为 (B) .

(A) 0.496 (B) 0.994 (C) 0.006 (D) 0.504 18．设A,B为随机事件，则下列命题正确的是 (D) . (A)P(A?B)?P(A)?P(B) (B)P(AB)?P(A)P(B) (C)A,B独立与互不相容同时成立 (D) P(AB)?P(A)?P(AB)

19．设随机事件A、B、C、D相互独立，则随机事件B?D与 (B) 相互独立. (A) BD (B) AC (C) BC?D (D) BD

20．作为玉林师院学生的你，若下周在玉林市体育馆有机会与乒乓球国手进行比赛，对你取胜最不利的赛制是 (A) .

(A))七局四胜制 (B)五局三胜制 (C)三局二胜制 (D)一局定胜负 21．相同条件下抛掷一枚均匀的硬币6次，则6次中出现的面不全同的概率为 (C) . (A) 15 (B) 7 (C) 31 (D) 1

16832422．设X的分布律为

X ?2 0 1 P a a 3a 则X的分布函数为 (A) .

x??2,?0,?0.2,?1?x?0,?(A) F(x)?? (B) F(x)??0.4,0?x?1,?x?1.?1,x??2,?0,?0.2,?1?x?0,? ??0.2,0?x?1,?x?1.?0.6,x??2,?0,?0.2,?1?x?0,?(C) F(x)?? (D) F(x)??0.8,0?x?1,?x?1.?1,x??2,?0,?0.2,?1?x?0,? ??0.8,0?x?1,?x?1.?1,23．对任意随机变量X与Y，以下结论不成立的是 (D) . (A)(X,Y)的分布可确定X的分布 (B)(X,Y)的分布可确定Y的分布 (C)(X,Y)的分布可确定边缘分布 (D)由边缘分布可确定联合分布 24．小李的3分投篮命中率为0.2，设小李在10次3分投篮中不中的次数为X, 则 (C) .

(A) X~b(10,0.2) (B) X~b(3,0.2) (C) X~b(10,0.8) (D) X~b(3,0.8)

三、填空题

1．设A、B、C为三个任意随机事件，则如果用A、B、C及其对立事件将随机事件“A、B、C三个随机事件不全发生” 表示为“互不相容并”形式，则可表示为ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC.

2. 古典概率模型是指满足

⑴ 该概率模型的样本空间满足有限性 ；

⑵ 该概率模型的样本空间中的样本点满足等可能性 这样两个条件的概率模型.

3．设A和B为随机事件，且P(A)?0.6，P(B)?0.5，P(AB)?0.3，则有

P(A?B)? 0.95 .

4. 设Y~N?78,9?，则P(Y?98)= 0 ，P(Y?78)= 0.5 . 5. 设X~b?500,0.02?，则D(?2X?3)= 39.2 .. 6.设X的概率分布为

X 1 2 3 2aP 0.1 3a 则a=0.18.

7. 已知随机变量X和Y的分布分别为X~P(3),Y~N(3,32)，则

E(X?Y)? 6 .

8.为了研究我校2013级女生的身体素质情况，其中为了得到体重指标的分布，从我校2013级女生中随机抽取300名作为样本. 在这个问题中，总体是 我校2013级全体女生的体重数据 .

9．如果随机事件A、B满足A?B??,AB??，则称A与B对立.

10. 设A、B、C为三个随机事件，则A、B、C两两独立需要满足的条件是

P(AB)?P(A)P(B),P(AC)?P(A)P(C),P(BC)?P(B)P(C).

11．设A与B为随机事件，且P(A)?0.6，P(B)?0.3，P(AB)?0.7，则有

P(AB)? 0.19 .

12. 设X~P?2?，则D(?3X?1)= 18 . 13. 设Y~N70,42，则P(Y?66)= 0 ，P(14.设X的概率分布为

P(X?k)?则a?a，k?1,2,3,4,5， 6??Y?70?0)= 0.5 . 46. 515. 已知随机变量X和Y的分布分别为X~b(200,0.05)，Y~N(61,32)，则

E(X?Y)? -51 .

16.为了研究我校2013级女生的身体素质情况，其中为了得到体重指标的分布，从我校2013级女生中随机抽取300名作为样本. 在这个问题中，样本容量为 300 .

17．设A,B,C是三个事件，则“A,B,C三个事件中恰好有一个发生”可以表示为ABC?ABC?ABC.

18. 若事件A,B相互独立，且P(A?B)?0.7,P(B)?0.4，则P(A)?_0.5_.

19．从5双不同的鞋子中任取4只，则这4只鞋子中任何两只鞋子都不能配成一双的概率为

13. 2120. 设X的概率分布为

X 1 2 3 2aP a 3a 1则a=.

621. 设X的密度函数的为

?1f(x)?e402?(x?20)23200，

则DX?__1600__.

22. 设随机变量X~U?1,5?，则P(???X?2)= 0.25 . 23. 设随机变量X,Y的密度函数分别为

?e?y,y?0;?e?x,x?0;，fY(y)?? fX(x)???0,y?0.?0,x?0.且X,Y相互独立，则它们的联合密度函数为

?x?y?,x?0,y?0;?ef(x,y)??

??0,其他.24. 已知随机变量X~P(2),Y~N(3,22)，且X,Y相互独立，则

E(XY)? 6 .

25. 设随机变量X的密度函数的为

f(x)?则DX?__9__.

1e32??(x?9)218，

26. 设随机变量X~N1,52，则P(???X?1)= 0.5 、P(X?5)? 0 .

??Y~b?1,0.6?，27. 若X~b?1,0.6?，且X与Y独立，则P(X?Y)? 0.52 .

设A,B,C是三个随机事件，则“A,B,C三个事件恰有两个不发生”可以表示为ABC?ABC?ABC.

28. 古典概率模型必须满足的两个条件是：⑴ 该概率模型的样本空间满足有限性 ；⑵ 该概率模型的样本空间中的样本点满足等可能性.

29．已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(A?B)?0.7，则P(A?B)＝ 0.6 . 30. 从总共11件(其中次品为4件,其余为正品)的一批产品中任取8件,若以

X表示取出8件中次品的件数,则X的可能取值为 1，2，3，4 . 31. 若X~P?3?，则E(3X?5)? 4 . 32. 设随机变量X的密度函数的为

f(x)?则D(?2X?3)?___144___.

1e72??(x?9)272，

33. 设随机变量X~N75,52，则P(X?75)= 0.5 、P(X?65)? 0 . 34. 样本x1,x2,?,xn来自总体X，若判断其为简单随机样本，则需满足条件

??i)x1,x2,?,xn与总体同分布；ii)x1,x2,?,xn相互独立.

35. 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，则F(x,y)满足：

F(??,??)? 1 ，F(x,??)? 0 ，F(??,y)? 0 ，F(??,??)? 0 .

36．某市要调查小学生每周花费在电脑游戏上的时间，特聘请30名计算机专业的本科毕业生作街头随机调查，要求每位学生调查150名小学生，则该项调查的总体是 该市全体小学生每周花费在电脑游戏上的时间数据 ；而该项调查的样本是 30名计算机专业的本科毕业生所收集到的4500名该市小学生每周花费在电脑游戏上的时间数据 . 四、计算题

1．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.

3设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜负结

5果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

(1) X表示开始第4次发球时乙的得分，求X的分布列； (2) 求X的分布函数；

(3) 求X的期望，并求在开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率. 解

(1)由已知，利用独立性可得X的分布列为

X 0pk 18125 1 2 3 51 44 12 125k125125(2) 利用(1)的结果，由F(x)?xk?x?p得X的分布函数为

?0,x?0;?18?,0?x?1;?125??69F(x)??,1?x?2;

?125?113?125,2?x?3;???1,x?3.(3) 利用(1)的结果，可得X的期望为 EX?0?185144127?1??2??3??， 125125125125544. 125而在开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为

P(甲乙比分为1比2)＝P(X?2)?2．一袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中进行随机不放回抽取，每次取1个，前两次任何一次取出有5号球即停止抽取，若前两次都没取到5号球则需要继续进行第3次取球，第3次取球后不管是否取到5号球都停止再次抽取.以X表示取球次数.

(1)试求X的分布列； (2)求X的分布函数； (3)求X的期望和方差.

解 (1)易见，X可能值为1，2，3， 且

C111 P(X?1)?1?，

C55411P(X?2)???，

5453 P(X?3)?1?P(X?1)?P(X?2)?.

5此即X的分布列.

(2)利用(1)所得的分布列，根据F(x)??pi，得X的分布函数为

xi?x?0,x?1,??0.2,1?x?2,F(x)??

0.4,2?x?3,??1,x?3.?(3)利用(1)所得的分布列有

EX??xipi?1?0.2?2?0.2?3?0.6?2.4，

i?1??E(X)??xipi?12?0.2?22?0.2?32?0.6?6.6，

22i?1??DX?E(X2)?(EX)2?6.6?(2.4)2?0.84.

3．按以往概率论与数理统计课程考试结果分析，努力学习的学生考试及格的概率为0.9，不努力学习的学生考试及格的概率为0.1，据调查，学生中有85％的人是努力学习的，试求：

(1)在参加概率论与数理统计课程考试的学生中任选一位，其考试及格的概率？

(2)概率论与数理统计课程考试及格的学生有多大的可能是不努力学习的人？

解 记

B＝“学生是努力学习的”，

A＝“学生概率论与数理统计课程考试及格”，

则由已知有

P(B)?0.85，P(B)?0.15，

P(AB)?0.9，P(AB)?1?0.9?0.1，

(1)利用全概率公式得所求概率为

P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?0.85?0.9?0.15?0.1?0.78.

(2)利用贝叶斯公式，得所求的概率为

P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)

?

0.15?0.1 ?0.02.

0.85?0.9?0.15?0.14．据数据记载，某地区的肝癌发病率为0.0005，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误.已知患有肝癌的人检验呈阳性的概率为0.99，而没有患肝癌的人检验呈阴性的概率也为0.99.现该地区的某人去进行该项检查.(1)求此人检验结果呈阳性的概率？(2)若此人检验结果为阳性，求其没有患肝癌的概率？

解 记

A=“此人检验结果呈阳性”， B=“此人患有肝癌”.

则由已知，得

P(B)?0.0005，P(B)?0.9995，

P(AB)?0.99，P(AB)?1?0.99?0.01.

易见，B,B满足全概率公式和贝叶斯公式条件，于是，

(1)所求概率为

P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)

?0.0005?0.99?0.9995?0.01?0.01049.

(2)所求概率为

P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)

?

0.9995?0.01 ?0.9528.

0.0005?0.99?0.9995?0.015．将某信息用0，1编码进行传递，接收站收到时，0被误收为1的概率为0.02，1被误收为0的概率为0.01，在传送中0和1使用的比例为4:1，问：

(1) 若发出的信息是0，收到的信息也是0的概率是多少？ (2) 若收到的信息是0，原发出的信息是0的概率是多少？ 解 记

A=“收到的信息是0”，B=“发出的信息是0”,

则由已知，得

P(B)?0.8，P(B)?0.2，

P(AB)?1?0.02?0.98，P(AB)?0.01.

(1) 所求概率就是

P(AB)?0.98.

(2) 所求概率就是

P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)

?0.8?0.98.

0.8?0.98?0.2?0.01?0.997.

6．一个袋中有5白5黄共10只乒乓球，小李从中任取1只后，你从剩下的9只中任取2只，结果均为白色乒乓球.试求小李取到的是白色乒乓球的概率.

解 记

A=“从剩余的9只中任取两只，结果均为白色乒乓球”， B=“小李取到的是白色乒乓球”.

则由古典方法，得

P(B)?55，P(B)?， 1010P(AB)?4?335?45?，P(AB)??. 9?8189?818易见，B,B满足贝叶斯公式条件，于是，所求概率为

P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)

53?1018 ? 5355???10181018 ?

3. 87．某单位招聘专员进校招聘我校成绩优秀的毕业生，我校成绩优秀的毕业生在面试中成功表现出学习能力强的占到了60%.已知成绩优秀且面试表现出学习能力强的毕业生被该招聘专员录用的概率为0.95，而成绩优秀但在面试中表现出学习能力不强的毕业生被该招聘专员录用的概率只有0.2.小李是我校成绩优秀的毕业生，面试后被该单位招聘专员录用，求小李是因在面试中成功表现出学习能力强被该招聘专员录用的概率.

解 记

A=“小李被该单位招聘专员录用”，

B=“小李在面试中成功表现出学习能力强”.

则已知，得

P(B)?0.6，P(B)?0.4，

P(AB)?0.95，P(AB)?0.2.

易见，B,B满足贝叶斯公式条件，于是，所求概率为

P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)

?0.6?0.95

0.6?0.95?0.4?0.257. 65 ?

8．设随机变量X的分布函数为

?0,x?0;?F(x)??Ax,0?x?4;

?1,x?4.?求：(1)常数A；(2)X的密度函数p(x)；(3)X的方差.

解

(1)由连续型随机变量的分布函数在实数域点点连续，得 F(4?0)?F(4)， 即

A?4?1， 所以A?1. 4(2)由在F(x)的可导点处有p(x)?F?(x)，得

i)当x?0或x?4时，p(x)?F?(x)=0；

11ii)当0?x?4时，p(x)?F?(x)=(x)?＝；

44iii)当x?0或4时，F(x)不可导，但可不妨取

p(0)?p(4)?0， 所以X的密度函数为

?1?,f(x)??4?0,?0?x?4;x?0,orx?4.

(3)利用期望的定义，得

EX?1????04dx?2.

??4116 E(X2)??x2p(x)dx??x2?dx???043??xp(x)dx?4x?于是

DX?E(X2)?(EX)2?

164?22?. 339．设随机变量X的密度函数为

f(x)?ce?x，???x??? ，

(1)求常数c；(2)求X的分布函数F(x)； (3)利用所求得的F(x)求概率P(0?X?1). 解

(1)由密度函数满足正则性，得

1??????f(x)dx??cedx

?x??x?? ?c(???e ?c(e1. 2x00dx??e?xdx)

0?????e?x??0)

?c(0?1?(0?1))?2c，

所以c?(2)利用F(x)?当x?0时，

?x??f(t)dt，得

1xt1tx1xF(x)?edt?e?e， ?????222当x?0时，

F(x)?故

x1x?t10t1?x?tedt?(edt?edt)?1?e， ???????0222?1xe,x?0;??2F(x)?? 1?x?1?e,x?0.??2(3)利用分布函数，得

P(0?X?1)?P(0?X?1)

?F(1)?F(0) 11?1?e?1?(1?e?0)

221?(1?e?1). 2

10．设X~b?2,p?，Y~b?4,p?，且P(X?1)?解 由已知

X~b?2,p?，Y~b?4,p? 及

5，求P(Y?1). 9P(X?1)?得

5， 9 P?X?0??1?P?X?1??1?即

54?， 994 Cp(1?p)?，

90202解之得

51 p?，或p?(舍去),

33于是,有

?1? Y~b?4,?，

?3?所以

165010P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?C4()(1?)4?.

3381

211．已知X~N(5,?)，且P(2?X?5)?0.2，求P(X?8).

解 由已知，得

0.2?P(2?X?5)

??(5?5?)??(32?5?)

??(0)??(?33?).

而?(0)?0.5，?(??)?1??(3?)，代入上式，可得

?(从而

?)?0.7，

P(X?8)?1?P(X?8)?1??(

8?5?)?1?0.7?0.3.

12．某工厂生产的灯管的寿命X(h)服从正态分布N(200,42)，规定灯管的寿命在区间[196,204]内时为一等品，现从这批灯管中任意抽取3支，问恰有一支灯管为一等品的概率是多少？

,?(0.25)?0.5987） （已知?(1)?0.8413解 由已知X~N200,42，设每一支灯管为一等品的概率为p，则

??p?P(196?X?204)

??(204?200196?200)??() 44??(1)??(?1) ?2?(1)?1

?2?0.8413?1(已知) ?0.6826.

又设从这批灯管中任意抽取3支中一等品的支数为Y，则

X~b?3,0.6826?，

于是，从这批灯管中任意抽取3支中恰有1支一等品的概率为

1P(Y?1)?C3?0.6826?(1?0.6826)2?0.206.

13．经统计推断分析可知，我校2012级男生的身高指标X（单位：m）服从正态分布N1.7,0.0352.现从我校2012级男生中随机选出3位，求至少有一位身高超过1.77m的概率是多少？

（可供查表的数据:?(1)?0.8413,?(0.2)?0.5793,?(2)?0.9772）

解 先求从我校2012级男生中任选一位其身高超过1.77m的概率.由已知

2，得 X~N1.7,0.035???? P(X?1.77)?1?P(X?1.77)

1.77?1.7?1??()

0.035?1??(2)

?1?0.9772?0.0228.

再求从我校2012级男生中任选3位至少有1位身高超过1.77m的概率.记

Y?“从我校2012级男生中任选3位身高超过1.77m的学生数”，---7分

?，选出3位中至少有1位身高超过1.77m的概率为 则Y~b?3,0.0228 P(Y?1)?1?P(Y?0)

0?1?C3?0.02280(1?0.0228)3?0.0669.

14．设从1,2,3,4中任取1个数记为X，而从X到4中任取1个数记为Y. 求：

(1)二维随机变量(X,Y)分布律； (2)(X,Y)关于X和Y的边缘分布； (3)D(?2X?5). 解

(1) 由已知得(X,Y)的可能值对为

(1, 1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)，

且由乘法公式，得

P((X,Y)?(1,1))?P(X?1)P(Y?1X?1)?111??， 4416同理可求(X,Y)取其他可能值对的对应概率，列表如下，即得(X,Y)的联合分布律，如下表，再加总每行每列的和得

Y X 1 2 3 4 1 2 3 4 pi? 1111 161616160 1 41 41 4111 121212110 0 8810 0 0 4 p?j 1 41 371325 48484848(2) (X,Y)关于X的边缘分布为

X 1 2 3 4 pk 1 411 1 444而(X,Y)关于Y的边缘分布为

Y p k1 2 3 4 348 748 13 25 4848 (3) 由(X,Y)关于X的边缘分布先求出

EX?1(1?2?3?4)?2.5， 412(1?22?32?42)?7.5 4E(X2)?DX?E(X2)?(EX)2?7.5?2.52?1.25

从而

D(?2X?5)?4DX?4?1.25?5.

15．设随机变量X,Y的联合分布律如下：

Y X 1 2 2 0.15 0.05 5 0.3 0.12 8 0.35 0.03 (1) 求(X,Y)关于X的边缘分布；(2) 求E(X)；(3) 求D(X). 解

(1) 由X,Y的联合分布律，得

Y X 1 2 p?j 2 0.15 0.05 0.20 5 0.3 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 pi? 0.80 0.20 1 从而得，(X,Y)关于X的边缘分布为

X 1 2 pi? 0.8 0.2 (2)E(X)?1?0.8?2?0.2?1.2. (3) 由于

E(X2)?12?0.8?22?0.2?1.6， 所以

D(X)?E(X2)?(EX)2

?1.6?1.2?0.16.

216．假设X1,X2,?,Xn为总体X~N?,?2的简单随机样本，其中?,?未知，求?,?的矩估计.

解（参见P.139）

17．设总体

2??2X的密度函数为

?(??1)x?,0?x?1(???1),f(x)??0,其它.?其中?为未知参数，又已知X1,X2,?,Xn为总体X的样本，求?的矩估计.

解1)利用样本的一阶原点矩替换总体的一阶原点矩列矩方程

EX?X.

2)由已知，得

EX? ? ??????1xf(x)dx

?0x??x??1dx

1x??1 ??10??代入矩方程，得 解之得

??1,

??X, ??1?X ??.

1?X(3) 未知参数?的矩估计为

???X.

1?XRemark:

同学，由于时间仓促，解答中若有问题，请及时反馈！