2018北京各城区高三二模数学（文）分类汇编--导数解答题
【西城二模】
19．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?lnx?ax，曲线y?f(x)在x?1处的切线经过点(2,?1)． x（Ⅰ）求实数a的值；
1
（Ⅱ）设b?1，求f(x)在区间[,b]上的最大值和最小值．
b
19．（本小题满分13分）
1?lnx?ax2解：（Ⅰ）f(x)的导函数为f?(x)?，……………… 2分
x2所以f?(1)?1?a．
f(1)?(?1)?1?a，
1?2依题意，有
即
?a?1?1?a，………………4分 1?2解得a?1．………………5分
1?x2?lnx（Ⅱ）由（Ⅰ）得f?(x)?．
x2当0 当x>1时，1?x2?0，?lnx?0，所以f?(x)?0，故f(x)单调递减． 所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,??)上单调递减．………………8分 1?1?b，所以f(x)最大值为f(1)??1．………………9分 b因为0?111设h(b)?f(b)?f()?(b?)lnb?b?，其中b?1．………………10分 bbb则h?(b)?(1?1)lnb?0， b2故h(b)在区间(1,??)上单调递增．………………11分 1 / 11 1所以h(b)?h(1)?0，即f(b)?f()，………………12分 b11故f(x)最小值为f()??blnb?．………………13分 bb【海淀二模】 （19）（本小题13分） 已知函数f(x)?(x?)eax,a?R （Ⅰ）求f(x)的零点； （Ⅱ）当a??5时，求证：f(x)在区间(1，??)上为增函数. 19．（本小题满分13分） ax1?lnx?ax2解：（Ⅰ）f(x)的导函数为f?(x)?，……………… 2分 x2所以f?(1)?1?a． f(1)?(?1)?1?a， 1?2依题意，有 即 ?a?1?1?a，………………4分 1?2解得a?1．………………5分 1?x2?lnx（Ⅱ）由（Ⅰ）得f?(x)?． x2当0 当x>1时，1?x2?0，?lnx?0，所以f?(x)?0，故f(x)单调递减． 所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,??)上单调递减．………………8分 1?1?b，所以f(x)最大值为f(1)??1．………………9分 b因为0?111设h(b)?f(b)?f()?(b?)lnb?b?，其中b?1．………………10分 bbb则h?(b)?(1?1)lnb?0， b2故h(b)在区间(1,??)上单调递增．………………11分 2 / 11 1所以h(b)?h(1)?0，即f(b)?f()，………………12分 b11故f(x)最小值为f()??blnb?．………………13分 bb【东城二模】（19）（本小题13分） 设函数f(x)?2lnx?x?ax?2. （Ⅰ）当a?3时，求f(x)的单调区间和极值； （Ⅱ）若直线y??x?1是曲线y?f(x)的切线，求a的值. （19）（共13分） 解：f(x)的定义域为(0,??)． ………1分 （Ⅰ）当a?3时，f(x)?2lnx?x?3x?2， 222?2x2?3x?2所以f'(x)??2x?3?. xx?2x2?3x?2?0，得?2x2?3x?2?0， 令f'(x)?x因为x?0，所以x?2. f(x)与f'(x)在区间(0,??)上的变化情况如下： x (0，2) ? 2 0 (2，+?) ? f'(x) f(x) 2ln2?4 ??). 所以f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间(2，f(x)有极大值2ln2?4，f(x)无极小值. …………6分 （Ⅱ）因为f(x)?2lnx?x?ax?2， 2所以f'(x)?2?2x?a. x 设直线y??x?1与曲线y?f(x)的切点为（x0,f(x0)）， 3 / 11 2?2x0?ax0?222?(a?1)x0?2?0. 所以f'(x0)??2x0?a???1，即2x0x0x02 又因为f(x0)?2lnx0?x0?ax0?2??x0?1， 2即2lnx0?x0?(a?1)x0?1?0 2所以2lnx0?x0?1?0. 设g(x)?2lnx?x?1， 22(1?x2)?0(x?0)， 因为g'(x)?x 所以g(x)在区间(0,??)上单调递增. 所以g(x)在区间(0,??)上有且只有唯一的零点. 所以g(1)?0，即x0?1. 所以a??1. …………13分 【朝阳二模】 20.（本小题满分13分） 已知函数 f(x)?xex,g(x)?ax?1,a?R. （Ⅰ）若曲线y（Ⅱ）若方程 ?f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线y?g(x)垂直,求a的值; f(x)?g(x)?0在(?2,2)上恰有两个不同的实数根,求a的取值范围; f(x2)?g(x1),求a的取值范围. （Ⅲ）若对任意x1?[?2,2],总存在唯一的x2?(??,2),使得【解析】 （Ⅰ） f(x)?xex,f?(x)?(x?1)ex,所以f?(0)?1. ?f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率k?1. 所以曲线y所以k?a??1,即a??1. （Ⅱ） f(x)?g(x)?0,即xex?ax?1?0. xex?ax?1,则h?(x)?(x?1)ex?a. 4 / 11 设h(x)?