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天门、仙桃、潜江2015—2016学年度第二学期期末联考
高二数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题：（1-5）CACBB；（6-10）DBDBC；（11-12）DC 二、填空题：13、0；14、24；15、(4?23)p；16、40. 三、解答题： 17．
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评分建议：（1）初始验证正确得2分；假设式子书写正确得2分；假设推理正确得6分；归
纳正确得2分共计12分
50?(22?12?8?8)250??5.556?5.024 18．解：（Ⅰ）由表中数据，得K?30?20?30?2092所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关。…………4分
（Ⅱ）由题设可知，在选择做几何题的8名女生中任意抽取2名的方法共有C82?28
2种。其中丙，丁2人没有被抽到的方法有C6?15种，恰有1人被抽到的方
11法C2C6?12种，
2人都被抽到方法有1种，所以X的可能取值为0,1,2……………………8分
P(X?0)?15121 ,P(X?1)?,P(X?2)?282828X的分布列为
X P
………………………………………………………………………………10分
0
1
2
15 283 71 28?E(X)?0?15311?1??2??…………………………………12分 287282平面ABCD=DC，
19．解法一：（Ⅰ）在图②中 ∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC
PD⊥CD， ∴PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AD…………………2分 如图，以D为坐标原点，直线DA、 DC、DP分别为x、y与z轴建立空
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间直角坐标系………………1分 则D?0,0,0? A?2,0,0? B?2,2,0? C?0,2,0? P?0,0,2? E?0,1,1?F?0,0,1?G?1,2,0?
?AP???2,0,2? EF??0,?1,0? FG??1,2,?1? ……………………3分
设平面GEF的法向量n?(x,y,z)，由法向量的定义得： ??y?0?n?EF?0?(x,y,z)?(0,?1,0)?0?y?0???????(x,y,z)?(1,2,?1)?0??x?2y?z?0?x?z?n?FG?0?
不妨设 ,z=1n?(10,1)， 则 ……………………………………………………4分 AP?n??2?1?2?0?1?2?0…………………………………………5分
?AP?n，点P? 平面EFG
∴AP∥平面EFG ………………………………………………………6分
n?(1,0,1)（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量 ，因平面EFD与坐标平面PDC重合
则它的一个法向量为i=（1，0，0）…………………………………………8分
12cos????设二面角G?EF?D为?.则 n 2 ? 2 ………………………9分
由图形观察二面角G?EF?D为锐角，
故二面角G-EF-D的大小为45°……………………………………………12分 解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理
∴平面EFG∥平面PAB，又PA?面PAB，
∴AP∥平面EFG ……………………………………………………6分 （2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD
过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知
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∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°， 故二面角G-EF-D的大小为45°。………………………………12分
20．解：（Ⅰ）设Q(x0,y0),P(x,y)则M(x0,0)，MP?(x?x0),MQ?(0,y0)
??x?x0?0??x0?x???由MP?2MQ，得?y?2y?0??y0?2y
y2?1 代入圆的方程中，得P点的轨迹方程：x?22所以曲线?是焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标分别为（0,1）与（0，-1） …………………………………………………………………………4分 当AB的斜率存在时，设AB的方程为：y?kx与?的方程联立， 消去y，整理得
x??2k?22，设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1?x2?22k?22,y1?y2?22kk?22
AB??8(k2?1)k?22，…………………………………………8分
设C(0,2kk?2?2)，则点C到直线AB的距离d?2k(k?1)(k?2)22 S?ABC?2k……………………………………………………10分 k2?2当k?0时，S=0，当k?0时S?2k?2k?2，当k??2时取等号 2故三角形ABC面积的最大值为
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2……………………………………12分 2