习题八
8-1 根据点电荷场强公式E?q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r
→0)时，则场强E→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
?解: E?q4π?0r2?r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电
荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-2 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=
q24??0d2,又有人
qq2说，因为f=qE,E?，所以f=．试问这两种说法对吗?为什么?
?0S?0Sf到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处的场强?0Sq2?0S，另一板受它的作用
也是不对的．正确解答应为一个板的电场为E?q2力f?q，这是两板间相互作用的电场力． ?2?0S2?0Sq8-3 一个点电荷q放在球形高斯面的中心，试问在下列情况下，穿过这高斯面的E通量是否改变？高斯面上各点的场强E是否改变？
(1) 另放一点电荷在高斯球面外附近. (2) 另放一点电荷在高斯球面内某处.
(3) 将原来的点电荷q移离高斯面的球心，但仍在高斯面内. (4) 将原来的点电荷q移到高斯面外.
答：根据高斯定理，穿过高斯面的电通量仅取决于面内电量的代数和，而与面内电荷的分布情况及面外电荷无关，但各点的场强E与空间所有分布电荷有关，故：
(1) 电通量不变， ?1＝q1 / ?0，高斯面上各点的场强E改变 (2) 电通量改变，由?1变为?2＝(q1＋q2 ) /??0，高斯面上各点的场强E也变
(3) 电通量不变，仍为?1．但高斯面上的场强E会变 。 (4) 电通量变为0，高斯面上的场强E会变.
8-4 以下各种说法是否正确，并说明理由.
(1) 场强为零的地方，电势一定为零；电势为零的地方，场强也一定为零.
(2) 在电势不变的空间内，场强一定为零.
(3) 电势较高的地方，场强一定较大；场强较小的地方，电势也一定较低.
(4) 场强大小相等的地方，电势相同；电势相同的地方，场强大小也一定相等.
(5) 带正电的带电体，电势一定为正；带负电的带电体，电势一定为负. (6) 不带电的物体，电势一定为零；电势为零的物体，一定不带电.
?答：场强与电势的微分关系是, E???U.场强的大小为电势沿等势面法线
方向的变化率，方向为电势降落的方向。场强与电势的积分关系，
UP??参考零点p??E?dl
因此,
(1) 说法不正确. (2) 说法正确. (3) 说法不正确. (4) 说法不正确 (5) 说法不正确 (6) 说法不正确.
－
8-5 如图所示，在直角三角形ABC的A点处，有点电荷q1＝1.8×109 C，B
－
点处有点电荷q2＝－4.8×109 C，试求C点处的场强. y 解：如图建立坐标
q2?1q1?i?j 224??0r24??0r1???E?27000i?18000j
1大小: E=3.24×10V﹒m,
4
-1
?E?x
习题8-5图
方向: tan??2??,?=-33.70 Ex3Ey
－－
8-6 均匀带电细棒，棒长L＝20 cm，电荷线密度λ＝3×108 C·m1.求：(1)棒的延长线上与棒的近端相距d1＝8 cm处的场强；(2)棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2＝8 cm处的场强.
解： 如图所示
(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为
dE y Q dEP?1?dx 24π?0(a?x)A d20 dx B a d1P x EP??dEP???4π?0?L2L?2dx 2(a?x)?11?L[?]?4π?0a?La?Lπ?0(4a2?L2)223?10?8?0.2? 3.14?8.65?10?12(4?0.182?0.22)=0.24654×10N.C,方向水平向右 (2)同理
dEQ?4
-1
1?dx 方向如图所示 224π?0x?d2由于对称性dEQx?0，即EQ只有y分量，
l??∵ dEQy?1?dx24π?0x2?d2d2x?d222
EQy??dEQyld??24π?2?L2L?2d2?xdxL/2?|?L/2 223/22224π?2d2(x?d2)(x?d2)??x?LL/2 |??L/222224π?2d2x?d22π?2d2L?4d23?10?8?0.22?3.14?8.85?10?12?0.08?0.22?4?0.082方向沿y轴正向
=0.526×10N.C
4
-1
?
－
8-7 用均匀带电q＝3.12×109 C的绝缘细棒弯成半径R＝50 cm的圆弧，两端间隙d＝2.0 cm，求圆心处场强的大小和方向.
解： 取一圆弧，对称建一坐标如图示。在圆弧上取dl=Rd?, dq??dl?R?d? 在O点产生场强大小为
y dE??Rd? 方向沿半径方向
4π?0R2?2 ? ?1 x 则 dEx??dEcos???cos?d?
4π?0R?sin?d?
4π?0RdE dEy??dEsin???积分 Ey????21?dEy???2?1???sin?d??(cos?2?cos?1)
4π?0R2π?0R根据圆对称性，圆心处场强只需计算密度相同的异号间隙弧长电场。
??l2?q????,????0.04rad, ?1??,?2??,
2πR?0.02R502222?q????q?Ey?[cos(?)?cos(?)]?sin2π?0R(2?R?0.02)22222π?0R(?R?0.01)2
3.12?10?9Ey??0.02=0.7720N.C-1 ?122?3.14?8.85?10(3.14?0.50?0.01)方向指向间隙中心。
8-8 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少? 解: (1)由高斯定理E?dS?s???q?0
立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量?e?q． 6?0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的