?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1) ?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?x?1515???(x28816?1)?1818?1)?P(X??1)
当x=?1时，F(x)?P(X?x)?P(X??1)?故X的分布函数
?0,?1?5F(x)??(x?1)?,8?16??1,
x??1-1?x<1 x?154. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解： 依题意
X??1?N(0,1，)Y??2?N(0,1)，则
?1?2P{X??1?1}?P{X??1?1Y??2?1?11}，
P{Y??2?1}?P{?2??2}.
因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即
X??11Y??11P{?11?1??1}?P{?2??2}，
所以有
?1?2，即?1??2.
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习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X Y 0 0 181 11311C3???? 22282 3 1 3 110 21C3????3/8 222 0 0 12?12?12?18
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X Y 0 0 1 0 2 C3?C2C74223 33510 ? C3?C2C73431?235235 1 0 C3?C2?C2C74112?635635 C3?C2?C2C72421?1235 C3?C2C741? 2 P(0黑,2红,2白)= C?C/C?222247135C3?C2?C2C47121 ? C3?C2C472?3350
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
??sinxsiny,F（x，y）=???0,0?x?π2,0?y?π2
其他.求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x???πππ?,?y??内的概率. 463?【解】如图P{0?X?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636
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?sinπππ4?sin3?sin4?sinπ6?sin0?sinπ3?sin0?sinπ6
?24(3?1).
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
?Ae?(3x?4y)f（x，y）=?,x?0,y?0,?0,其他.
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由??????f(x,y)dxdy???????????00Ae-(3x?4y)dxdy?A12?1
得 A=12
（2） 由定义，有
F(x,y)??yx?????fu(v,u)dv d?yy12e?(3u?v4 ????0?0d)udv??(1?e?3x)(1?e?4y?)y?0,x?0,??0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??12?4y)0?012e?(3xdxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他.
（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}；
（3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
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??????????f(x,y)dxdy???0242k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?18
（2） P{X?1,Y?3}? ?(3) P{X?1.5}? ?????132013??f(x,y)dydx
38??18k(6?x?y)dydx?
??x?1.5f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D11.5?0dx?4128(6?x?y)dy?2732D2.
(4) P{X?Y?4}? ???X?Y?4f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4?x2?20dx?18(6?x?y)dy?23.
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
?5e?5y,y?0,fY（y）=?
其他.?0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
?1,?fX(x)??0.2?0,?0?x?0.2,其他.
而
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