轴向拉伸与压缩习题及解答

一、判断改错

1、构件内力的大小不但与外力大小有关，还与材料的截面形状有关。

答：错。 静定构件内力的大小之与外力的大小有关，与材料的截面无关。 2、杆件的某横截面上，若各点的正应力均为零，则该截面上的轴力为零。 答：对。

3、两根材料、长度都相同的等直柱子，一根的横截面积为A1，另一根为A2，且A2?A1。如图所示。两杆都受自重作用。则两杆最大压应力相等，最大压缩量也相等。

A1

A2 l (a) (b)

答：对。 自重作用时，最大压应力在两杆底端，即?max?Nmax?Al???l AA 也就是说，最大应力与面积无关，只与杆长有关。所以两者的最大压应力相等。 最大压缩量为 ?lmaxNmax?Al?l?l2???

A2EA2E即最大压缩量与面积无关，只与杆长有关。所以两杆的最大压缩量也相等。

4、受集中力轴向拉伸的等直杆，在变形中任意两个横截面一定保持平行。所以宗乡纤维的伸长量都相等，从而在横截面上的内力是均匀分布的。

答：错 。在变形中，离开荷载作用处较远的两个横截面才保持平行，在荷载作用处，横截面不再保持平面，纵向纤维伸长不相等，应力分布复杂，不是均匀分布的。

5、若受力物体内某电测得x和y方向都有线应变?x和?y，则x和y方向肯定有正应力?x和?y。

答：错， 不一定。由于横向效应作用，轴在x方向受拉（压），则有?x；y方向不受力，但横向效应使y方向产生线应变，?y???????x。

二、填空题

1、轴向拉伸的等直杆，杆内的任一点处最大剪应力的方向与轴线成（45）

2、受轴向拉伸的等直杆，在变形后其体积将（增大）

3、低碳钢经过冷做硬化处理后，它的（比例）极限得到了明显的提高。 4、工程上通常把延伸率??（5%）的材料成为塑性材料。

5、 一空心圆截面直杆，其内、外径之比为0.8，两端承受力力作用，如将内外径增加一倍，则其抗拉刚度将是原来的（4）倍。

6、两根长度及截面面积相同的等直杆，一根为钢杆，一根为铝杆，承受相同的轴向拉力，则钢杆的正应力（等于）铝杆的正应力，钢杆的伸长量（小于）铝杆的伸长量。

7、 结构受力如图（a）所示，已知各杆的材料和横截面面积均相同，面积A?200mm，材料的弹性模量E=200GPa，屈服极限?s?280MPa，强度极限?b?460MPa，试填写下列空格。

当F=50kN，各杆中的线应变分别为?1=（6.25?10），?2=（0），?3=（6.25?10），这是节点B的水平位移?Bx=（3.61?10m），竖直位移?By=（6.25?10m），总位移?B=（7.22?10m），结构的强度储备（即安全因素）n=（2.24）

三、选择题

1、下列结论正确的是（C）。

A 论力学主要研究物体受力后的运动效应，但也考虑物体变形效应。 B 理论力学中的四个公理在材料力学都能应用。 C 材料力学主要研究杆件受力后的变形和破坏规律。

D 材料力学研究的为题主要是静止不动的荷载作用下的问题。

析： 理论力学的研究对象是质点、质点系和刚体，不研究变形效应，理论力学中的二力平衡公理、加减平衡力系公理及他们的力的可传性原理都适用于刚体，而不适用于变形体，所以材料力学中不能用以上公理及原理。材料力学中的荷载主要是静载，产生的加速度不会影响材料的力学性能。所以静载不是静止不动的荷载。

2、理论力学中的“力和力偶可传性原理”在下面成立的是（D） A 在材料力学中仍然处处适用 B 在材料力学中根本不能适用

C 在材料力学中研究变形式可以适用 D 在材料力学研究平衡问题时可以适用

析：力与力偶可传性原理适用于刚体，所以在考虑变形式不适用。但在求支座反力、杆的内力时不牵涉到变形，可以应用以上两个原理。 3、 下列结论中正确的是（B） A 外力指的是作用与物体外部的力 B 自重是外力

C 支座约束反力不属于外力

?4?4?42?4?4D 惯性力不属于外力

析：外力指的是物体以外的其他物体对它的作用力，外力可以作用在物体内、外部。自重是物体受地球的引力，属于外力。惯性力也属于外力。 4、下列结论中正确的是（A）

A 影响材料强度的是正应力和切应力的大小。 B 影响材料强度的是内力的大小。

C 同一截面上的正应力必是均匀分布的。 D 同一截面上的剪应力必定是均匀分布的。 5、下列结论中正确的是（B）

A 一个质点的位移可以分为线位移和角位移 B 一个质点可以有线位移，但没有角位移。 C 一根线或一个面元素可以有角位移但没线位移 D 一根线或一个面元素可以有线位移但没角位移

6、空心圆截面杆受轴向拉伸时，下列结论正确的是（B） A 外径和壁厚都增大 B 外径和壁厚都减小 C 外径减小、壁厚增大 D 外径增大、壁厚减小 析：设原管的外径为D，内径为d，则壁厚t=(D-d)/2。轴向拉伸后，外径为D??D??D，内径为d??d??d，其中?为泊松比。壁厚

t??D??d?(D??D)?(d??d)D?d??(1??)= t(1??)?t 2227、设低碳钢拉伸试件工作段的初始横截面面积为A0，试件被拉断后端口的最小横截面面积为A1，试件断裂后所能承受的最大荷载为Pb。则下列结论正确是（B） A 材料的强度极限?b?Pb/A1 B 材料的强度极限?b?Pb/A0

C 试件应力达到强度极限的瞬时，试件横截面面积为A0 D 试件开始断裂时，试件承受的荷载是Pb

8、图示的杆件，轴的BC段（B）

A 有变形，无位移 B 有位移，无变形 C 既有变形，又有位移 D 既无变形也无位移

A B C 析 本题为四选一概念题。本题考查学生对于变形和位移的概念是否清楚。显然，BC段会随着AB段转过一定角度（扭转角），因而该段有角位移，但不发生变形。

M 9、一等直杆如图所示，在外力F作用下（D）。

A 截面a的轴力最大 B 截面b的轴力最大 C 截面c的轴力最大 D 三个截面上轴力一样大

析 本题考查学生关于内力的概念，根据截面法，延截面a（或b或c）将杆切开后，截面的内力（即轴力），一定和外力相平衡，构成了共线力系。三个截面上的应力分布不同，但截面上的内力系的合力是完全相同的。

10、 关于材料的力学一般性能 ，如下结论正确的是（A） A 脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力 B 脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力 C 韧性材料的抗拉能力高于其抗压能力 D 脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力

11、 低碳钢材料在拉伸实验过程中，不发生明显的塑性变形时，承受的最大应力应当小于的数值，以下四种答案中正确的是（A）

A 比例极限 B 屈服强度 C 强度极限 D 许用应力

12、低碳钢加载→卸载→再加载路径有以下四种，其中正确的是（B） A OAB→BC→COAB B OAB→BD→DOAB C OAB→BAO→ODB D OAB→BD→DB

四、简答题

1、图示悬臂梁，初始位置ABC，作用F力后变为AB?C?，试问 （1）AB、BC两段是否都产生位移？ （2）AB、BC两段是否都产生变形？

F A B C a F b c B? C? 解（1）AB、BC段都产生了位移，分别为BB?、CC?。 （2）只有AB段有变形，而BC段无。 2、指出下列概念的区别。

（1）内力、外力、和应力； （2）变形和应变 （3）变形和位移

答： （1）内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成；外力指的是物体以外的其他物体对它的作用力；应力指的是杆件截面上的分布内力集度。 （2）变形指物体尺寸、形状的改变；应变指单位长度物体的变形。

（3）变形指物体尺寸、形状的改变；而位移指物体上同一点前后位置的距离，为矢量。

五、计算题

1、图示矩形薄板，未变形前长为l1，宽为l2，变形后长和宽分别增加了?l1、?l2，求其沿对角线AB的线应变。

B l1 A ? l2

解：变形前对角线AB长为lAB?l12?l22 22变形后对角线长为A?B?=lA?B??(l1??l1)?(l2??l2) 所以沿对角线AB的线应变

?AB

(l1??l1)2?(l2??l2)2?l12?l22?lABlA?B??lAB???

22lABlABl1?l22、图示（a）和（b）中干的材料相同，横截面积A1=

A2，杆的长度L1?L2，荷载F1?F2，2C1点和C2点的铅锤方向位移分别为?1和?2，则?1和?2的大小关系为（?C1??C2）

60 A1L160 A1L1A2L2 C1 FN1 FN1 C1 C2 F1 （a） F1 C1?F2（b） 解 图(a)中两杆的内力相同均为FN1?F1 3 两根杆的各自伸长量为?l?FN1L1 EA122FN1L12F1L1?l??

3EA133EA1C1点的位移可根据如图几何关系得到?C1?C2点的位移为?C2?F2L2F1L1? EA22EA1因此?C1??C2

3、构件极受力如图所示，已知F1?20kN,F2?55kN,q?10kN/m,a?1m，画出构件的轴力图 。

F1 a 20kN

a q 30kN

25kN

a F2 y 解：如图所示，以向下为正y方向。

则当0?y?a时，FN??F1=?20kN（为压力）

当a?y?2a时，FN???F1?q(y?a)?=?(10?10y)kN（为压力） 当2a?y?3a时，FN?F2?(F1?qa)?25kN（为拉力）

轴力图如图所示。

4、求图示阶梯状直杆各横截面上的应力，并求杆的总伸长。材料的弹性模量E=200GPa。

222横截面面积A1?200mm，A2?300mm，A3?400mm。

A1 20kN A2 10kN A3 20kN A 1m B C 1.5m 1m D 解：CD段 FN3?20kN（压）

FN3lCD20?103?1?l3???0.00025m?0.25mm 9?6EA3200?10?400?10CB段 FN2?10kN（压）

FN2lCB10?103?1.5?l2???0.00025m?0.25mm9?6 EA2200?10?300?10 AB段 FN1?10kN

FN1lAB10?103?1?l1???0.00025m?0.25mm 9?6EA1200?10?200?10?l??l1??l2??l3??0.25mm（缩短）

5、如图所示，在杆件的斜截面m—m上，任一点A出的应力p=120MPa，其方位角??20，是求该点处的正应力?和切应力?。

m p ? p ?A 60 解： 如图所示：

m ?

??psin(60??)?psin80?118.18MPa ??pcos(60??)?pcos80?20.84MPa

6、图示阶梯形圆截面杆AC，承受轴向载荷F1?200kN，F2?100kN，AB段的直径

d1=40mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，求BC段的直径 。

F1 F2A B C 解 设BC段的直径为d2，

AB段的轴力为FNAB?F1?200kN，应力为?AB?FNABF?12 AAB?d14FNBCF1?F2?

?d22ABC4BC段的轴力为FNBC?F1?F2?300kN，应力为?BC?令?AB??BC，则

3F1F1?F2d?d1?49.0mm ?，得2222?d1?d244

7、一根直径d?16mm，长l=3m的圆截面杆，承受轴向拉力F=30kN，其伸长为

?l?2.2mm。试求杆横截面上的弹性模量E。 解： 应用和可定律求材料的弹性模量

FNlFl30?103?3??Pa?203GPa E???lA?lA(16?10?3)2?2.2?10?34根据轴向拉伸杆的应力公式，杆横截面上的应力为

??F?4?230?103?3d?4Pa?149MPa

(16?10)?32

28、图示AB杆横截面面积A=2cm，在点B，点C出分别作用有集中力F1?60kN，

F2?100kN，材料的比例极限?p?210MPa，屈服极限?s?260MPa，弹性模量

E?200GPa，受力后AB干的总伸长为0.9mm，求AC、BC段的应变。

100m100mA F2 C B F1 解：BC段轴力为FNBC?F1，?AB??BC?FNBCF1??300MPa??s， AA 因此BC段身长或缩短量不能根据胡可定律求得。 AB段轴力为FNAB?F2?F1，?AB??AB?所以AB段变形在线弹性范围内，?lACFNABF2?F1??200MPa??p AAFl?NACAC?0.1mm（缩短）

EA?lBC??l?(??lAC)?1mm

?AC??lAC?0.001 lAC?lBC?0.01 lBC?BC?9、 如图所示结构中的A点，作用着水平载荷F，试用几何方法定型的确定出变形后点A的位置。

A?C B A F 解：如图所示A?即为变形后A点的位置。

10、在如图(a)所示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，弹性模量

22E=210GPa。已知A1?A2?100mm,A3?150mm，P?20kN。求C点的水平位移和铅锤

位移。

1 l 3 2 N1 N3 N2A l/2 C l/2 P (a) B A C B ?l1?yAA?xA P (b) A1 解： 取水平刚性杆AB为受力体，受力图如图（b）所示，因为

?X?0,N3?0

P?10kN 2P ?MB?0,N1??10kN

2?MA?0,N2?N1l10?103?1?4所以 ?l1??l2??m?4.76?10m?0.476mm 9?6EA1120?10?100?10由于?l1??l2，故 yA?yB 又由于 N3?0，所以?l3?0

这是AB作平动。A点连接1，3 二杆。变形后的A点在A1点，如图（b）虚线所示。根据几何关系： AA??A?A1??l1 即 yA?xA??l1

所以 yC?xC??l?0.476mm

?l3?0，析 本题中N3?0是一个关键。由于N3?0，所以N1?N2，同时?l1??l2。

造成AB平动，AB杆平动是本题的又一个关键。根据A点的变形几何图得到yA?xA??l1。由于AB平动，AB上各点位移都相同 ，所以yC?xC??l?0.476mm。

11、 横截面面积为A，单位长度重量为q的无限长弹性杆，自由地放在摩擦系数为f的粗糙水平地面上，如图（a）所示，试求欲使该杆端点产生位移?十所需的轴向力P。弹性

模量E为已知。

?P P (a)

x l (b) dxq q

解 此时弹性杆的受力图如图（b）所示。弹性杆因为无限长，所以只有伸长部分有滑动摩擦力，不伸长部分没有摩擦力。设伸长部分长度为l，单位长度摩擦力fq?qf。伸长段内x截面处的轴力为 N(x)?P?qfx 平衡方程 ：

?X?0,qfl?P?0

p qf所以 l?dx微段的伸长量为d(?l)?l长度伸长了?，所以

N(x)dx EA(P?qfx)dxP?qfl2/2P2?l????d(?l)????

00EAEA2qfEAll即 P?2?qfEA 析 轴向拉伸的杆件，只要截面上有轴力，其相邻微段上就有伸长量，所以只有轴力为零时，才不伸长。伸长所引起的摩擦是滑动摩擦，单位长度摩擦力fq?qf。同时伸长段的轴力是x的一次式，而不是常数。所以应先求dx微段的伸长，然后积分求出伸长段的伸

长量，最后解出拉力P值。

12、已知混凝土的容重?=22kN/m，许用压应力????2MPa。试按强度条件确定图

3示混凝土柱所需的横截面面积A1和A2。混凝土的弹性模量E=20GPa。并求柱顶A的位移。

P=1000kN A A A1 C A2 12m C 12m B x B 解 如右图，AC段：FN?P??A1x FNmax?P??Al1?(1000?240A1)kN ?max?2得 A1?0.58m

FNmax1000??264(kPa)???? A1A1 BC段：

FNmax?P??Al1??A2lFNmax?(P??Al1??A2l?1000?152.1?264A2)kN

?max?FNmax1152.1?(?264)kPa???? A2A22得 A2?0.66m

13、图示一简单托架，BC杆为圆钢，横截面直径d=20mm，BD杆为8号槽钢，两杆的弹性模量E均为20GPa，试求托架B点的位移。设F=50kN。

C 3m B 4m ? B1B2FN2B? D (a) F ?FN1 (b) B F B B2

B3 B1 ? ?B4

(c)

B3

解 B点在力F作用下产生位移，是由于BC杆，BD杆的变形引起的。F力作用后，两杆均有轴力产生，使其伸长或缩短，而B、C、D点均为铰链。变形后的结构C、D点不动，B

点在加载过程中将绕C点和D点转动到新的节点位置。即，将节点B假象拆开，变形后为BC为B2C，BD为B1D，两杆分别绕点C,D作圆弧，两弧交点为新节点，由于是小变形，一般采用用切线代替弧线的方法求变形，即分别过B2、B1点作BC杆垂线和BD杆垂线，用两垂线交点点B代替新节点B?，这样一来就容易求出点B的位移BB3。 (1)求各杆的内力。截面法取分离体的平衡（图（b））由平衡方程

?F?Fx?0得FN1cos??FN2 ?0得FN1sin??F

5F?62.5kN(?) 43?F?37.5kN(?) 4y解得 FN1? FN2（2）求各杆的变形。

BD杆面积查表得A1?10.248cm2?10.248?10?4m2 BC杆面积 A2??d24??4?202?10?6m2

由胡克定律求得两杆的变形为

62.5?103?5 BB1??l1???1.525?10?3m 9?4EA1200?10?10.248?10FN2l237.5?103?3?3 BB2??l2???1.791?10m 9?6EA2200?10?314?10?l1为缩短变形，?l2为伸长变形

（3）B点位移

先用解析发求位移的两个分量，由图（c）可看出，两个位移分量在每个杆上的投影和即为敢杆的变形，即

FN1l1BB2??l2

BB4sin??B3B4cos???l1

故BB2??Bx??l2?1.791?10m?1.791mm

?3?l1??l2cos?1.525?1.791?10?3?35 BB4??By???3.25?10?3m?3.25mm

sin?45B点位移BB3?

BB2?BB4?3.71mm

2214、两根不同的实心截面杆在B出焊接在一起，弹性模量均为E=200GPa，受力和尺寸均标在图中。试求： 1 画轴力图；

2 各段杆横截面上的工作应力； 3 杆的轴向变形总量。

50kN

?3855kN 50kN A 55kN 900 B ?65C 5kN

1220 解 1 假设各段轴力均为拉力 对于AB段：水平方向上列平衡方程

?Fx?0 FN1?50?0

得FN1?50kN（拉）

对于BC段：水平方向上列平衡方程

?Fx?0 FN2?55?50?0

得FN2??5kN（压） 轴力图如右图所示。 2 ?ABFN150?103???0.044?109Pa?44MPa（拉应力） 2?6A1??38?104FN5?1039???0.0015?10Pa?1.5MPa（压应力） 2?6A2??65?10450?103?900?10?3?0.198?10?3m?0.198mm（伸长） 2?6??38?10200?109?45?103?1220?10?3?0.0092?10?3m?0.0092mm（缩短） 2?6??65?10200?109?4 ?BCFl3 ?l1?N11?EA1Fl ?l2?N22?EA2?l??l1??l2?0.189mm（伸长）

15、有甲乙丙三种材料，其拉伸应力—应变试验曲线如图所示，指出： （1）那种材料的弹性模量E大？ （2）那种材料强度高？ （3）那种材料的塑性好？

? 乙 甲 丙 O ? 解：（1）弹性阶段，?—?直线段斜率越大，弹性模量就越小；直线段斜率越小，弹性模量就越大。因此，从图中可以看出，丙曲线的直线段的斜率最小，其弹性模量最大。 （2）?—?曲线对应的屈服极限越大，材料的强度就越高。从图中可以看出，甲的屈服极限最大，其强度也最高。

（3）当进入强化阶段后，?增加相同量，?值减小越多，材料塑性就越好，从图中可看出丙材料的塑性好一些。

16、某拉伸试验机的结构示意图如图所示，设试验机的CD杆与试件AB的材料相同为低碳钢，其?p?200MPa，?s?240MPa，?b?400MPa。试验机最大拉力为100kN。 （1）用这一试验机做拉断实验时，试样直径最大可达多大？

（2）若设计时取试验机的安全因素为n=2，则杆的横截面面积为多少？

（3）若试样直径d=10mm，今欲测弹性模量，则所加载荷最大不能超过多少？

D C B

A

解 （1）工作状态下，杆CD和试件AB承受相同的轴向拉力，其最大值为P=100kN，在做拉断实验时，为确保试件断裂，CD杆能安全工作，则要求试件的应力应先于CD杆达到强

度极限 ，因此试件的直径不能过大，否则有可能试件尚未断裂，杆CD先断裂，根据强度条件，试件的最大应力理应满足下式：

?1?P???b? 2?d4解上式得试件的最大直径为 d?（2）杆的强度条件为 ?2?4P???b?4?100?103?m?17.8mm 6??400?10?P?s ACDn解上式得CD杆的横截面积为 ACD2?100?10322 ??m?833mm6??s?240?10nP（3）测弹性模量时，试件的最大应力不应超过其弹性极限?p，即 ?3?P???p?2?? ?d4解上式得

P????p???d24?(200?106??4?0.01)2N?15.7kN

所以测弹性模量时，所加载荷最大不应超过15.7kN。

217、如图所示三角架，BC为钢杆，AB为木杆。BC杆的横截面面积为A2?6cm，许用应2力为???2?160MPa。AB杆的横截面面积为A1?100cm，许用应力为???1?7MPa。试

求许可吊重P。

C 钢 30A 木 P B 解 钢杆BC的强度设计：

令NBC????2A2?160?106?6?10?4N?96kN NBC?2P1?48kN 1，P木杆AB的强度设计：

令NAB????1A21?7?106?100?10?4N?70kN NAB?3P2?2，PNAB?40.4kN 3所以 P?P2?40.4kN

析 结构中有两种不同材料的杆件，在设计结构的许可荷载时，可以令一种材料达到许用应力，而前一杆件暂不考虑。然后再令另一种材料达到其许用应力，而前一杆件暂不考虑，这时设计出另一种情况下的许可荷载，取较小的许可荷载作为结构的许可荷载。

18、 有两种材料组成的变截面杆如图所示，若钢的许用应力???1?160MPa，铜的许用应力???2?120MPa，钢的弹性模量E1?200GPa，铜的弹性模量E2?100GPa。求：（1）

2杆的许用荷载?P?。（2）在许用荷载作用下，该杆的伸长量?l。横截面积AAB?ABC200mm，

ACD?100mm2。

铜 P A 1m B 1m C 1m D 钢 钢 P P 解（1）钢材设计：?P?1?ACD???1?16kN； 铜材设计：?P?2?AAB???2?24kN； 所以?P??16kN

（2）三段杆件各自的内力均为P，

?lABPlAB16?103?1???8?10?4m?0.8mm； 9?6E2AAB100?10?200?10PlBC16?103?1?4???4?10m?0.4mm； 9?6E1ABC200?10?200?10?lBC?lCDPlCD16?103?1?4???8?10m?0.8mm 9?6E1ACD200?10?100?10?l??lCD??lBC??lCD?2mm

19、 图示桁架，由圆截面杆1和杆2组成，并在节点A承受载荷F=80kN的作用。杆1、杆2的直径分别为d1?30mm,d2?20mm，两杆的材料相同，屈服极限?s?320MPa，安全因素ns?2.0。试校核桁架的强度。

B 1 302 45 A F C F1F2 F

解 对节点A进行受力分析，如上右图所示： 由力的平行四边形法则得：

F1?Fcos30?403kN F2?Fcos45?402kN

分别对两杆强度进行较核：

?sF1F1403?103?1????98.01MPa??160MPa 2?32?(30?10)A1?d1ns44?sF2F2402?103?2????180.04MPa??160MPa

A2?d22?(20?10?3)2ns44因此该桁架的1杆强度满足要求，而2杆强度不满足要求。

20、图示桁架，承受荷载F作用，试计算该载荷的许用值?F?。设各杆的横截面面积为A，许用应力均为???。

B B B FBy FBy 1 1 3 3 FF3 1 45FAy 45 2 C FFA 2 C 3 1A F FF F2 A FAx Ay FAx 解：以整体桁架为研究对象进行受力分析，如右图所示： ?MB?0，得FAy?F（向右）

取C节点，由平行四边形法则可得

F1?2F，F2?F 取B节点：

?Fy?0

得 F3?22F（向上） 取FF321、F2、F3中较小者F3，由A????得2F????A F?2???A ?F??2???A C F2F