替代效应为（27—12）＝15（X），收入效应为（12－8）=4（X）。

2．某人有10万元的存款，存入银行可以获取2％的利率。他可以将一部分钱投入股票市场，现在假设股票市场仅仅存在一种股票，收益率和方差服从正态分布N（0.1，1），他

2

对于均值和方差的偏好为U（μ，σ）＝10μ－σ，他应该将多少钱投放到股票市场上？（清华大学2004研）

解：设此投资者将x比例的钱投资放到股票市场上，则他存入银行的比例为（1－x）。 这样，可以把其投资看成是含有一种风险资产的投资组合。

其中，无风险利率rf?2%，风险资产的期望收益率rm?10%，标准差?m?1 则投资组合的期望收益率为：rX?xrm?(1?x)rf

?x?10%?(1?x)?2%?0.08x?0.02??x

标准差为： ?x?x??m?x 则对投资组合的偏好可表示为：

U(rx，?x)?10(0.08x?0.02)?x2

??x2?0.8x?0.2

投资者追求效用最大化，应满足：

U'(rx,?x)??2x?0.8?0

得：x＝0.4

即投资者应将10?0.4?4（万元）的钱投放到股票市场上。

3．一个消费者，收入为120元，购买两种商品，效用为U(X1,X2)?X1X2。 （1）设商品价格分别为P1＝12，P2＝10，求消费者均衡；

（2）商品1的价格下降为P1＝10，求商品1的替代效应和收入效应。（华中科技2004研）

解：（1）消费者效用最大化

MaxU(x1,x2)?xx

s.t p1x1?p2x2?m 即： s.t 12x1?10x2?120

11?12x1x2212MU1P消费者均衡时：?1，即211?

MU2P212?210x1x221212121122x212? x110解得：x1?5，x2?6 u?30

（2）当商品1价格下降为P1?10时，消费者均衡时： 同理：x1?x2?6

现求价格下降所造成的替代效应： 此时：x1x2?30

1212MU1P1x?1??2 MU2P21x1解得：x1?x2?30

替代效应为：30?5，收入效应为：6?30

4．假设王五的效用函数为U(I)?I，其中I代表以千元为单位的年收入。 （1）王五是风险中性的，风险规避的还是风险爱好型的，请解释。

（2）假设王五现在的年收入为10000元，该工作是稳定的，他可以获得另一份工作，收入为15000元的概率为0.5，收入为5000元的概率为0.5，王五将作何选择？（中山大学2004研）

解：（1）王五的货币边际效用为

MU(I)?3230.53I；U''(I)?I?0.5>0

42 货币的边际效用是递增的，所以王五是风险爱好者。

（2）王五获得另一份工作的期望收益为 E?15000?0.5?5000?0.5?10000

期望收益和原来的年收入一样，因为王五是风险爱好者，在期望收益相同时，王五会选择风险更大的工作，即王五将辞掉目前的工作，而找另一份工作。

5．某消费者的偏好由以下效用函数描述： U?(lnx1?2lnx2)/3，其中1nx是x的自然对数。商品1和商品2的价格分别为p1和p2，消费者的收入为m。（复旦大学2004研）

（1）写出消费者的最大化问题。

（2）求出需求函数x1(p1,p2,m)和x2(p1,p2,m)。

（3）设价格p1?p2?1，画出每种商品与此价格相对应的恩格尔曲线，该曲线描述了每种商品的需求和收入之间的关系（经济学家的习惯是把收入作为纵坐标）。

（4）设m?10，p2?5，画出商品1的需求曲线，该曲线描述了商品需求和价格之间的关系（经济学家的习惯是把价格作为纵坐标）。

（5）判断商品1和商品2是正常品还是低档品，是普通品还是吉芬品，是互补品还是替代品。

解：（1）max(lnX1?2lnX2)3

x1,x2s.t. p1X1?p2X2?m

（2）利用拉格朗日方法 L?

lnX1?2lnX2??(m?p1X1?p2X2)

3?L1???p1?0 ① ?X13X1

?L2???p2?0 ②

?X23X2 m?p1X1?p2X2 ③ 由①②③解得X1?m2m，X2? 3p13p2m2m,X2?，恩格尔曲线如图3.24所示。 33

图3.24 恩格尔曲线

（3）当p1?p2?1时，X1?（4）X1?m10 ，X1 的需求曲线如图3.25所示。 ?3P13P1

图3.25 需求曲线

（5）图3.24为X1，X2的需求随收入的增加而增加，故X1，X2 是正常品。 X1，X2的需求随价格的增加而减少，故X1，X2是普通品。 由X1，X2的表达式知，二者既不是替代品，也不是互补品。 6．某消费者的效用函数为U?xy，x和y是他所消费的两种商品，其价格分别为

Px?1和Py?2，他的收入为100，试问他对x和y的需求量各为多少？（重庆大学1999

研）

解：由题意得

?x?2y?100?x?2y?100?11?x?2y?100???1MU??MUxy????x2y2 11??MAX(U)??P?1?x2y2?2Py?x?2?2可得：??x?50

?y?256. 设张三仅消费x和y两种商品，他的效用函数为U=L0.57x0.06y0.09，其中L是张三每周的闲暇小时数。试求他最大化其效用函数时：

（1）他将选择每周工作多少小时?

（2）他将把收入的多大比例用于购买x? （3）他消费x的需求价格弹性。

（4）如果他的收入下降30％，Y的价格下降50％，他将过得更好还是更坏?（上海交通大学2007研）

解：（1）假设工人的工资率为w，商品x和y的价格分别为Px和Py，每周的总收入为（24×7－L）w＝168w－Lw。

因此，张三的效用最大化问题为：

maxs..tL0.57x0.06y0.09Px?x?Py?y?w(168?L)?Px?x?Py?y?w?L?168w0.57?168w1??1330.57?0.06?0.09w0.06?168w114w x???0.57?0.06?0.09PxPxy?0.09?168w121w??0.57?0.06?0.09PyPy

利用拉格朗日乘数法可以解得：

L?因此，该工人每周工作的时间为：168－L＝168?133?35（小时）

（2）该工人每周的总收入为：

(168?L)w?35w

所以，该消费者用于x的商品的支出比例为：

Px?x?0.4 35w（3）消费x的需求价格弹性为：

E??（4）原先消费者的效用为：

?xPx??1 ?Pxx14w0.0621w0.09U?1330.57()()PxPy?1330.57?140.06?210.09w0.15Px?0.06Py?0.09

由（1）可知，收入增加、商品y的价格变化不会改变张三的工作与休闲的时间。收入

下降30％主要表现为工资率减少30％。

因此，当收入下降30％，Y的价格下降50％时，张三的效用为：

U??1330.57?140.06?210.09(0.7w)0.15Px?0.06(0.5Py)?0.09