习题分析和解答
[说明：本栏内容对学生是有条件地开放]
第一章
△1. 3. 6一抽气机转速ω?400r?min，抽气机每分钟能抽出气体20 l (升)。设容器的容积 V0 = 2.0 1，问经过多长时间后才能使容器内的压强由0.101 Mpa 降为 133 Pa。 设抽气过程中温度始终不变。
〖分析〗： 抽气机每打开一次活门, 容器内气体的容积在等温条件下扩大了 V, 因
?1而压强有所降低。 活门关上以后容器内气体的容积仍然为 V0 。下一次又如此变化，从
而建立递推关系。
〖解〗： 抽气机抽气体时，由玻意耳定律得： 活塞运动第一次：
p0V0?p1(V0?V)
活塞运动第二次：
p1?V0p0V0?V
???p0?
2p1V0?p2(V0?V)
活塞运动第n次：
?V0V0p2?p1???V?VV0?V?0????npn?1V0?pn(V0?V)
?V0pn?p0??V? V?0n?ln
pnp0nV0V0?V（1） 抽气机每次抽出气体体积
V?(20/400)l?0.05l V0?2.0l p0?1.01?105Pa pn?133Pa
将上述数据代入（1）式，可解得 n?276。
则
t?(276/400)?60s?40s
1. 3. 8 两个贮着空气的容器 A 和 B，以备有活塞之细管相连接。容器A
00浸入温度为 t1?100C 的水槽中，容器B浸入温度为 t2??20C 的冷却剂中。
开始时，两容器被细管中之活塞分隔开，这时容器 A 及 B 中空气的压强分别为
p1?0.0533MPa，p2?0.0200MPa。它们的体积分别为 V1?0.25l, V2?0.40l, 试问把活塞打开后气体的压强是多少？
〖分析〗： 把活塞打开后两容器中气体混合而达到新的力学平衡以后，A和 B 中气体压强应该相等。但是应注意到, 由于 A 和 B 的温度不相等，所以整个系统仍然处于非平衡态。 我们不能把 A 和B气体的整体作为研究对象, 而先把从 A 流入 B 的那部分气体作为研究对象，求出它的物质的量（ 即 mol 数 ），然后按照混合前后 A 和 B总的物质的量不变这一点列出方程。
〖解〗：设原容器 A 中有 ?V 体积的气体进入容器 B，且打开活塞后气体压强为 p。对原容器 A 中 剩下的(V1??V) 体积的气体进行研究，它们将等温膨
胀到体积 V1，因而有
p1(V1??V)?pV1
（1）按照理想气体方程, 有 νR?pV/T 关系，原容器 A 中 ?V 体积的气体和原容器 B 中 V2 体积的气体进行研究，它们合并前后物质的量应该不变，所以
p1?Vp2V2pV2??T1T2T2（2）由（1）式、（2）两式化简可得
pV1TV(p?p2)pVT?p2V2T1??V?12p?112p1p1T2V1T2?T1V2
4代入上述数据，可以得到活塞打开后气体的压强 p?2.98?10Pa。
V1?
△1. 3. 10 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强 p 的空气。先对管子加热，使从开口端温度 1 000 K 均匀变为闭端 200 K 的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为 100 K，试问管中最后的压强是多大？
〖分析〗： 开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为
100 K 以后, 长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为 100 K 以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用 p= n kT公式。
〖解〗：因为管子是一端开口的，所以 p?p0。显然，管子中气体的温度分布应该是
T(x)?200?1000?200xL
（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑 x ~ x + dx 一 段
气体, 它的分子数密度为 n ( x ) , 设管子的横截面积为 S, 考虑到 p = n kT , 则这一小段中的气体分子数为
dN?Sn(x)dx?管子中气体总分子数为
SpdxkT(x)
N?利用（1）式可得
SpLdx??k0T(x)
SpL800x?1N???(200?)dxk0L
管中气体最后的压强是p1（p1?p0）, 温度是 T ，.则
N?SLp1/kT
由上面两式相等 , 最后可以计算出
p?(1/8)?p0?ln5?0.20p0
即：管中气体最后的压强为0.20p0。
1. 4. 1 在什么温度下，下列一对温标给出相同的读数（如果有的话）： (1) 华氏温标和摄氏温标； （2）华氏温标和热力学温标； （3）摄氏温标和热力学温标?
?9t?tF???0?32?0F0?5C? ，t?[T?273.15K]C。 〖提示〗：利用
〖答〗：（1）－40 ℃；（2）575 K；（3）没有。
1. 4. 2 定体气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为
6.7?103Pa。
（1）用温度计测量 300 K 的温度时，气体的压强是多少？ （2） 当气体的压强为 9.1?10Pa 时，待测温度是多少？
〖提示〗： ptr?6.7?10Pa。利用如下公式进行计算：
33p?273.16Kptr ( 体积不变 )
3〖答〗：（1）7.4?10Pa；（2）371 K。
T(p)?1. 4. 3 用定体气体温度计测得冰点的理想气体温度为 273.15 K，试求温度计内的气体在冰点时的压强与该气体在水的三相点时压强之比的极限值。
〖解〗： 利用公式.
T?273.15K?limlim所以
ptr?0ptr?0p?273.16Kptr
p273.15??0.99996ptr273.16
1. 5. 2 试估计水的分子互作用势能的数量级，可近似认为此数量级与每个分子所平均分配到的汽化热数量级相同。再估计两个邻近水分子间的万有引力势能的数量级，判断分子力是否可来自万有引力。
〖分析〗： 水中的分子热运动而不分散开, 是因为分子之间有作用力。水的汽化是某些水分子有足够大的热运动能量，足以克服分子之间作用力而跑到外面成为自由的气体分子。我们知道分子之间作用力势能是负的, 气体分子的势能为零。所以汽化热是用来增加分子之间作用力势能的。另外也要考虑到, 液体转变为气体时体积扩大作等压膨胀要对外做功，它所需要的能量也由汽化热提供。但是一般说来这两者的数量级差不多相等，而且后者小于前者。所以可以利用前者来估计分子互作用势能的数量级。 〖解〗： 水的汽化热为 2.25?10J?kg，它的摩尔汽化热为
6-1LV,m?2.25?106?0.018J?mol?1?4.05?104J?mol?1
?20??L/N?6.7?10J pV,mA每摩尔有 NA 个分子，每个分子平均分摊到的汽化热为
可以认为 ?p 就是水的分子互作用势能的数量级。
至于水中两邻近分子的万有引力势能的数量级，可以利用万有引力势能公式来估计。假
?103.8?10m（ 利用上题的结果 ）定水中两最邻近分子质量中心之间的距离为 ，则每
?52ε?1.6?10J。
个分子所平均分摊到的万有引力势能的数量级为p。
?32〖讨论〗：我们发现万有引力势能的数量级要比分子互作用势能小 10。由于分子互
作用势能来自电磁相互作用，这说明万有引力相互作用要比电磁相互作用弱得多。
-3
1. 6. 3 一容积为 11.2l 的真空系统已被抽到 1.33×10 Pa 的真空。
为了提高其真空度，将它放在温度为 300C 的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体。若烘烤后压强增为 1.33 Pa，问器壁原来吸附了多少个气体分子？
〖分析〗： 烘烤时温度上升, 器壁所吸附的气体分子有足够大的能量克服器壁对它的吸引力而释放出来。真空系统的压强相应增加。利用 p?nkT 公式可以计算出吸附气体分子数。
18〖答〗： 1.88?10。
001. 6. 4 一容器内贮有氧气，其压强为 p?0.101MPa，温度为t?27C，
试求：（1）单位体积内的分子数；(2) 氧气的密度；(3) 分子间的平均距离： (4) 分子的平均平动动能。
〖分析〗： 利用 p?nkT 公式可以得到单位体积内的分子数。利用Mm?mNA 和 ρ?nm 公式可以得到氧气的密度和分子质量。利用
1/n?L3 和 εt?3kT/2
可以分别求得分子间的平均距离 L 和分子的平均平动动能。
25-3?9?211.30kg?m-3；〖答〗：（1）2.44?10m；（2）（3）3.4?10m；（4）6.2?10J。
第二章
2．2．2 量x的概率分布函数具有形式 f(x)?Aexp(?ax)?4π?x,式中 A
和 a 是常数，试写出x的值出现在 7.999 9到8.000 1 范围内的概率 P 的近似表示式。
〖解〗： 归一化，
在上述积分中考虑到 f 22?????f(x)dx?1
( x) 是偶函数，所以有
?????f(x)dx?2???0f(x)dx?8π?A?πa?3/2/4?1
A?(a/π)/2
可以知道处于7.999 9
3/2~ 8.000 1
范围内概率为
P?A?e?64a?4π?64??x
?0.5?(a/π)3/2?4π?64?exp(?64a)?0.0002
2. 3. 1 求0C,0.101MPa下 1.0cm的氮气中速率在500m?s 到
03-1501m?s-1 之间的分子数。
〖分析〗： 这是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数的问题, 应该用相对于最概然速率的麦克斯韦速率分布, 即使用误差函数来求解。 但是注意到,
500m?s-1 到 501m?s-1 之间仅仅差 1m?s-1，它要比 500m?s-1 小得多。可
-1-1以认为在 500m?s 到 501m?s 范围内麦克斯韦速率分布是不变的。它的概率等
于在横坐标为 500m?s 到 501m?s 之间的麦克斯韦速率分布曲线线段下面的面积（ 这个梯形可以看作矩形 ）。
〖解〗： 设 0C,0.101MPa下，1.0cm中的理想气体分子数为N, 利用洛
03-1-1施密特常量 n0?2.7?10m?3 可以得到 N?1.0?10?6?2.7?1025?2.7?1019
25利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v~v?dv 之间的分子数为
Nf(v)dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?v2dv （1）
-1-1v?500m?s,dv?1m?s现在其中的 , 氮气温度 T?273K，而氮分子质量 m?28?1.67?10?27kg。将它们代入（1）式即得到在 500m?s-1到 501m?s-1 之间
16的分子数为 ?N?4.96?10。
25?3N, 利用洛施密特常量 n0?2.7?10m 可以得到
N?1.0?10?6?2.7?1025?2.7?1019
利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v~v?dv 之间的分子数为
Nf(v)dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?v2dv （1）
-1-1v?500m?s,dv?1m?s现在其中的 , 氮气温度 T?273K，而氮分子质量 m?28?1.67?10?27kg。将它们代入（1）式即得到在 500m?s-1到 501m?s-1 之间
16的分子数为 ?N?4.96?10。
2. 4. 1 因为固体的原子和气体分子之间有作用力，所以在真空系统中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层，设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动，这些分子十分近似地形成 2维理想气体。如果这些分子是单原子分子，吸附层的温度为 T，试给出表示分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内的概率 f (v) d v 表达式。
〖解〗： 我们知道, 通常的麦克斯韦速度分布是 3 维的
f(vx)dvx?f(vy)dvy?f(vz)dvz （1）
其中速度在x,y,z的3个分量上的分布函数都具有如下形式：
f(vi)dvi?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvi2/2kT)dvi
(i?x,y,z) （2）
显然，只能在XY平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是
2f(vx)dvx?f(vy)dvy?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)dvx
2?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvy/2kT)dvy （3）
这就是 2 维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。（3）式也可以写为
f(vx)?f(vy)?dvxdvy?f(vx,vy)dvxdvy （4）
vy~vy?dvy 范其中 dvxdvy 实际上就是在2维速度空间中位置在 vx~vx?dvx，
围内的正方形这一微分元的面积，而
f(vx,vy)dvxdvy?f(vx)dvx?f(vy)dvy
是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。设在 2 维速度空间中位置在
vx~vx?dvx，vy~vy?dvy 范围内的这一微分元上的分子代表点数为 dNvx,vy。显然
它被除以微分元的面积 dvxdvy，就是在 2维速度空间中的分子代表点的数密度 D(vx,vy)，所以
D(vx,vy)?dNvx,vy/dvxdvy?Nf(vx,vy) 1/222?N(m/2π?kT)?exp[?m(vx?vy)/2kT]
（5）下面我们从速度分布导出速率分布。我们知道2 维理想气体的麦克斯韦速率分布表示了分子处在 2 维速度空间中, 半径为 v~v?dv 的圆环内的概率 dNv/N。
dNv 是在半径为 v~v?dv 的圆环内的分子代表点数。它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度 D(vx,vy)。利用（5）式可以得到
dNv?D(vx,vy)?2π?vdv
?N?(m/2π?kT)?exp(?mv2/2kT)?2πvdv ?N?(m/kT)?exp(?mv2/2kT)vdv
所以分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内的概率 f (v) d v 的表达式为
dNv?f(v)dv?(m/kT)?exp(?mv2/2kT)vdvN （7）
它就是2 维理想气体的麦克斯韦速率分布。
2. 4. 2 分子质量为 m 的气体在温度 T 下处于平衡。若以 vx,vy,vz及 v 分别表示分子速度的 x、y、z 三个分量及其速率，试求下述平均值：
2222vv(v?bv)vvvvxyxy（1）x；（2）x；（3）x；（4）；（5）。
〖分析〗： 在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质, 即互相排斥事件概率相加
法则和相互统计独立的事件概率相乘法则。 另外, 因为麦克斯韦速度分布函数是个偶函数, 所以在积分时要区分被积函数是偶函数还是奇函数。对于偶函数，因为积分范围 ??~?? 是对称区间, 所以应该分区间积分。
〖解〗： （1）麦克斯韦的速度的 x、y、z 三个分量分布可以表示为.
f(vi)?(m/2π?kT)1/2?exp(?mvi2/2kT) (i?x,y,z)
?????02(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)vxdvx
????2vx??????0??2(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx
2(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx?0
2vxf(vx)dvx?2?
?022(m/2π?kT)1/2?exp(?mvx/2kT)?vxdvx?kT/m（3）由于vx 和 v2 相互独立, 利用概率相乘法则, 并且考虑到 vx 的平均值等于
零, 则有
（4）同样 vx, vy 相互独立, 和“（3）”类似 （5）利用概率相加法则
vxv2?vx?v2?0
22vxvy?vx?vy?0
2222(vx?bvy)?vx?2bvxvy?b2vy?vx?2bvx?vy?b2vy2?kT/m?0?bkT/m?(kT/m)(1?b)
氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10
-3
22
2. 5. 1 一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为30?10Pa的氩气，
4㎝2的小孔，氩气将通过小
孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 1/e？ 〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 ? 来解。应该注意, 容
器内的分子数 (或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 ? 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 t 到 t?dt 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 N变化为 N?dN, 其中 dN 就是在 dt 时间内泻流流出去的分子数, 列出dN 和 dt 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。
〖解〗： 在 dt 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为
n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 V, 并且在 0到 t 之间进行积分
其中
-dN?nvAdt/4
?t0?(v?A/4V)dt??n2n1(1/n)dn
现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即
?(v?A/4V)t?ln(n2/n1)
ln(n2/n1)??1
n2?n1/e,π?MmV2π?Mm4V4V????A8RTARTA?v?100s
即：经过100 s容器内原子数减为原来的 1/e。.
t?2. 5. 2 一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为 p1,p2。 两部分气体的温度均为 T，摩尔质量均为 Mm。试证明：如果隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为
〖分析〗： 容器被隔板分成两部分以后, 隔板左右两边的气体都可以通过小孔从一边流向另一边, 和上一题一样利用气体分子碰壁数来解。
〖解〗： 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为 现在分别用下标 1，2 分别表示隔板左、右气体的各个物理量。在 dt时间内通过单位面积小孔, 隔板左边净增加的分子数为
Mmdm?(p1?p2)Adt2πRT
??p/2π?mkT
???p1?p2?(1/2π?mkT)在 dt 内通过小孔的气体质量为
2. 5. 3 处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温泵”，它是提高真空度的一种简便方法。考虑一半径为 0.1m的球形容器，器壁上有一面积为 1cm的区域被冷却到液氮温度 ( 77 K )，其余部分及整个容器均保持 300 K。初始时刻容器中的水蒸气压强为 1.33Pa，设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被
?41.33?10Pa，需多少时间 ? 凝结在上面，试问要使容器的压强减小为
〖解〗： 设 t 时刻分子数密度为 n(t)，则 dt 时间内碰在 ?A 面积上的分
2dm?dt?m?m????A??t
Mmm?p1?p2?A?p1?p2?A2π?kT2π?RT
子数为
dn(t)??利用 p = nkT 公式, 它可以化为
n(t)v?Adt4V
经过积分, 可以得到
dp(t)dn(t)v????Adtp(t)dt4V
p(t)?p0exp(?v?ART?A?t)?p0exp(??t)4VV2π?M1.33?10?4Pap(t)?ART?exp(??t)?p0V2πM1.33Pa
t?4Vln102πM?2.60s?ART
2. 5. 5 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度?
已经知道月球的半径为地球半径的0.27倍, 月球的重力加速度为地球的0.165倍。
〖分析〗： 在离地球中心距离为 R的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率 vmin （ 它称为逃逸速率 ）, 这些分子向上运动时, 只要不和其它分子碰撞, 就可以逃逸出大气层。其逃逸速率满足
在忽略重力加速度随高度的变化的情况下, 可以用地球表面的数据替代, 则
2GMm/R?mvmin,E/2E
vmin,E?2GME/RE?2REgE
（1）
其中 gE 是地球重力加速度，ME 是地球质量, RE 是地球半径。 同样，在月球表面上也有逃逸速率 vmin,M。和（1）式类似, 有如下表达式
vmin,M?2GMM/RM?2RMgM其中下标M 表示月球的各物理量。
（2）
〖答〗： 氢分子和氧分子的 vrms 分别等于地球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气的温度分别为
TH,E?1.0?104K, TO,E?1.6?105K.
氢分子和氧分子的 vrms 分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气温度分
别为
TH,M?4.6?102K ， TO,M?7.4?103K
2．6．1 试证若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。
〖分析〗： 在离地高为 z~z?dz 的范围内的球壳体积为
dV(z)?4π(RE?z)2dz （1）
[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]
当然, 我们也可以如下更清楚地求出：
dV(z)??4π[(z?dz?RE)3?(z?RE)3]3忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有
4π[3(z?RE)2?dz?3(z?RE)?dz2?dz3]3
〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积dV( z )
范围内的分子数
dV(z)?4π(z?RE)2dz
dN(z)?dV(z)?n(z)?4π(z?RE)2dz?n(0)?exp(?Mmgz/RT)
N?n(0)??04π(z2?2zRE?RE)?exp(?Mmgz/RT)dz2
令 RT/Mmg?H 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为n(0)，所有大气的总分子数为N，则：
N?4πn(0)[?z2exp(?z/H)dz?2RE?zexp(?z/H)dz00??
?R（2）
2E??0zexp(?)]dzH?n(0)?4πkT2kTkT12RE?[1??2()2?2]mgmg?REmgREE 的数量级。设地球大气为平均温度 T = 273 K 的现在来估计 kT/mgR等温大气，而且RE?6.4?10km,m?29?1.67?106?27kg
kT1.38?10?23?273??0.00124??1?276mgR29?1.67?10?9.8?6.4?10E （3）
利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。 这时
其中 H 为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。
2. 6. 2 试估计质量为 10kg 的砂粒能像地球大气一样分布的等温大气温度的数量级。
〖分析〗：（1）我们知道，布朗粒子和分子之间没有本质区别，仅不过布朗粒子的质量比一般的分子大几个数量级。从能量均分定理可以知道，
若布朗粒子和分子分别处于相同温度的系统中，则布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好几个数量级。同样，砂粒和布朗粒子之间也没有本质区别，也仅不过砂粒的质量比一般的布朗粒子大十几个数量级， 相应地其均方速率要小十几个数量级。当砂粒的均方速率小到如此情况，它在1秒内的均方位移也要比砂粒本身的大小还要小数个数量级时，其宏观位移根本测量不出, 则砂粒的布朗运动（或者说无规运动）可以不必考虑。可以估计到，当温度上升的足够高时，砂粒也会像分子那样作热运动的。
（2）布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能够像地球大气一样分布的条件是它们的大气标高 kT / mg 应该都相同。
2222mv/2?mv/2?mv/2?kT/2?mv/6 xyx
2N?n(0)4πRE(kT2)?n(0)?4πRE?Hmg
9〖答〗： 10K。
2. 7. 1 求常温下质量 M1 =3.00 g 的水蒸气与 M2 =3.00 g 的氢气组成的混合理想气体的摩尔定体热容。
〖分析〗： 显然，3.00 g 水蒸气的物质的量是 (1/6)mol，3.00 g 氢气的物质的量是 1.5mol。由于氢气有 5个自由度，水蒸气有 6个自由度，根据能量均分
181mol 氢气的内能为 (5/2)RT，1mol水蒸气的内能为 (6/2)RT。定理，M1 =3.00 g 的水蒸气与 M2 =3.00 g 的氢气组成的混合理想气体的内能为
[(1/6)?(6/2)?1.5?(5/2)]RT。混合理想气体的物质的量为 [(1/6)?1.5]mol，所以
1mol 这种混合理想气体的内能为
Um?51RT/20
dUmCV??21.2J?mol?1?K?1dT气体的定体热容
2. 7. 3 一粒小到肉眼恰好可见、质量约为 10kg 的灰尘微粒落人一杯冰
水中。由于表面张力而浮在液体表面作二维自由运动，试问它的方均根速率是多大?
〖分析〗：灰尘微粒作二维布朗运动，它应该有如下关系
?11按照能量均分定理
11122mvx?mvy?mv222 2 11122mvx?mvy?kT222 ?5-12.7?10m?s〖答〗： 。
第三章
3. 1. 1 一细金属丝将一质量为 m、半径为 R 的均质圆盘沿中心轴铅垂吊住。盘能绕轴自由转动。盘面平行于一水平板，盘与平板间充满黏度为 ? 的液体。初始时盘以角速度 ω0 旋转。圆盘面与大平板间距离为d ，且在圆盘下方任一竖直直线上
液体的速度梯度处处相等。试求 t 秒时盘的旋转角速度。
〖分析〗： 因为圆盘与水平板之间存在相对运动，故存在如下的黏性力，
在不同 r 处的线速度
f??η?u(r)?ω?r 不同，但是圆盘下方任一竖直直线上的速度梯
du?Adz
度都处处相等，所以在 r 处任一竖直直线上液体的速度梯度是ω?r/d。现在以离开中心轴距离 r~r?dr 的小圆环上，中心角为 dθ 的一小块圆盘为研究对象（它的面积时可以近似认为它是底边为 rdθ 高为 dr 的矩形）。计算它受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩。
〖解〗：圆盘受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩分别为
ω?rω?rω?r2?rdθdrdM?r?(?η?rdθdr)??ηrdrdθddd
对上式中的 dθ 从 0~2π 积分，再对 dr 从 0 ~ R 积分。可以得到 df??η2πω?R4M??4d （1）
2利用刚体动力学中的转动定律M?Jdω/dt，其中J 为圆盘转动惯量，现在J?mR/2。
ηπR2tω?ω0?exp(?)md
? 3. 3. 3 两个长圆筒共轴套在一起，两筒的长度均为 L，内筒和外筒的半径分别为 R 1
把（1）式代入转动定律分离变量后两边积分，最后得到 t 秒时圆盘的旋转角速度为
和R2 ，内筒和外筒分别保持在恒定的温度 T 1
和T2 ，且T1 >
T2 ，已知两筒间空气的导热系数为 ?，试证明每秒由内筒通过空气传到外筒的热量为
?2πκLQ?(T1?T2)ln(R/R)21
〖分析〗： 在这里的温度梯度不是常数，即 dT/dr?(T1?T2)/(R1?R2)
否则, 若把内筒和外筒之间的空间分割为一系列厚度相等的圆柱壳层。 按照
dT?2πrL?dtdr
这一计算公式, r 从 R1 逐步变化到 R2, 则在 dt 时间内, 由内筒向外传递的热量将逐步增加。这不符合稳态传热（ 在 dt 时间内, 在每一圆柱面上通过的热量
dQ??κ?应该是相等的 ）条件。 唯一的可能是在内筒和外筒之间的温度梯度不是常数。为此必须取半径为 r~r?dr 的某一圆柱壳层为对象，研究它的传热过程。
〖解〗： 设在dt时间内, 由内筒向外传递的热量为常量 dQ/dt?Q。现在取半径
?r~r?dr 的某一圆柱壳层为研究对象。 则
?dTQ??κ??2πrLdr
Qdr??dT2πrLκ
?2πκLQ?(T1?T2)ln(R2/R1)两边积分，可以得到
3. 3. 6 两根金属棒 A、B尺寸相同，A 的导热系数是 B 的两倍，用它们来导热。设高温处与低温处的温度保持恒定，求将 A、B并联使用和串联使用时热传递能
量之比 ( 设棒的侧面是绝热的 )。
〖分析〗：对于一个存在稳定热流的均匀棒可以将傅里叶定律表示为热欧姆定律，也就是说
?（其中κ,L,A 分别是金属棒的热导系数、长度和截面积）可以被改写为
dQ?T??κAdtL
UT?RT?IT （1）
其中 UT??T 称为温压差（相当于欧姆定律中的电势差），RT?L/κA 称为热阻（相当于电阻）， IT?dQ/dt 称为热流（相当于电流）。（1）式称为热欧姆定律。我们可以利用它来解决一些类似于串、并联的传热问题。
〖解〗： 设 A 、B 金属棒的导热系数分别是 κ1,κ2，热阻分别是 RT1,RT2，
串并它们的串联热阻和并联热阻分别为 RT,RT。考虑到 κ1?2κ2，则
串RT?RT1?RT2?Lκ1?κ23L()?Aκ1?κ22Aκ2
（2）
R并TRT1?RT2L2Aκ1?κ2L???()?RT1?RT2κ1?κ2?A2Lκ1?κ23Aκ2串并RT?(9/2)RT
（3）（2）式被（3）式除，可以得到
3. 3. 7 半径 a?0.1m的铀球，在原子裂变过程中以体积热产生率
H?5.5?103W?m-3 均匀地、恒定不变地散发出热量。已知铀的热导率 κ?46W?m-1?K-1 ，试问达稳态时，铀球的中心与外表面间的温度差是多少?
〖分析〗：对于球体内部有恒定不变地均匀散发出热量的传热问题，它达到稳态的条件是：单位时间内，从半径为 r~r?dr 的球壳向外传递的热量，应该等于单位时间内以
r 为半径的球内所产生的总的热量。 假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚
未达到；假如后者小于前者，铀球内部温度会降低，稳态仍然未达到。
〖解〗： 现在以半径为 r~r?dr 的球壳为研究对象，设 r 及 r?dr 处的温度分别为 T(r),T(r)?dT。由于球壳内、外表面之间存在温度梯度，有热量从球壳向外传输，球壳通过的热量
dQdTdT?????A?????4πr2dtdzdr
达到稳态时球壳在单位时间内透过的热流应该等于以 r 为半径的铀球在单位时间内产生的热量 （假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到），所以
4dTH?πr3????4πr23dr
TaH12Ha2aH?T0dT??03?rdrTa?T0??3??2(a?0)??6???0.20K
3. 5. 1 热容为 C 的物体处于温度为 T0 的媒质中，若以 P0 的功率加热，它所能达到的最高温度为 T1 。设系统的漏热遵从牛顿冷却定律，试问加热电路切断后，物体温度从 T1 降为 (T1?T0)/2 时所需的时间是多少?
〖分析〗： 牛顿冷却定律可以表示为
dQ/dt??a(T?T0)
其中 T0 为环境温度。若以 P0 的功率加热，它所能达到的最高温度为 T1 , 这说明 P0 的功率加热恰好被 T1 温度时物体向环境的漏热相平衡,因而温度不再上升，由此
可以定出
a。
〖解〗： 从上面的分析可以得到如下关系：
dQ/dt??a(T?T0) ， P0?a(T1?T0)
另外又有 dQ?CdT 将上述3个公式联立后积分，
?t0dt???(T?T0)/21T1C(T1?T0)dT?P0T?T0
t?Cln2?最后得到 设质子直径为10
T1?T0P0
3. 6. 5 试估计宇宙射线中质子抵达海平面附近与空气分子碰撞时的平均自由程。
–15
m ，宇宙射线速度很大。
2〖分析〗：这个问题的情况和上一题十分类似，碰撞截面可以利用 σ?πd/4公式，
平均自由程可以利用 认为 σ?10?19??1/nσ 公式。这里的 d 就是空气分子的有效直径，简单地
m2。而 n 是空气的分子数密度，简单认为 n?1025m-3。
?6〖答〗： 10m。
3. 6. 6 从反应堆 ( 温度T?4000K) 中逸出一个氢分子 ( 有效直径为
?102.2?10m) 以方均根速率进入一个盛有冷氩气 ( 氩原子的有效直径为3.6?10?10m，氩气温度为300 K ) 的容器，氩原子的数密度为 4.0?1025m-3 。
试问：(1) 若把氢分子与氩原子均看作刚性球，它们相碰时质心间最短距离是多少? （2） 氢分子在单位时间内受到的碰撞次数是多少?
〖分析〗： （1）分子之间相碰时质心间最短距离就是分子碰撞有效直径，对于刚性分子，它就是两个相碰分子的半径之和。（2）在计算分子之间碰撞的平均频率时要用到相对运动平均速率 v12。对于温度相同的同种分子 v12?均速率不相同的分子之间的碰撞，v12?2v，但是对于异种分子，特别是平
2v，我们可以这样利用近似方法得到它。把‘1’
分子相对于‘2 ’ 分子的相对运动速度矢量写为
其相对运动速率的平方
22v12?(v12)2?(v1?v2)2?v12?2v1?v2?v2 （1）
v12?v1?v2
取平均值
222v12?v12?2v1?v2?v2?v12?2v1?v2?v2 （2）
上式最右边第二项表示一个分子的速度在另一个分子速度方向上的投影的平均值的2倍，而
v1?v2?v1v2cos??v1v2?cos? （3）
222v12?v12?v2?v12?v2
因为（3）式中的余弦函数是偶函数，它的平均值为零，所以（1）式可以表示为
又有如下近似条件可以利用
2v12?v12??22222v?(v)v?(v)12，1，2
所以
利用这一公式可以计算相对运动平均速率。 原子碰撞的有效直径
dH-A?1.1?10v12?(v1)2?(v2)2（4）
〖解〗：（1）对于刚性分子，氢分子与氩原子相碰时质心间最短距离也就是氢分子与氩
?10m?1.8?10?10m?2.9?10?10m （5）
（2）从反应堆中逸出的一个氢分在单位时间内受到的氩原子平均碰撞总次数为
ZH-A?nAσH-AvH-A
（6）
在上面的式子中，所有下标H表示是氢分子的物理量，所有下标A表示氩原子的各物理量，下标H-H表示氢分子相对于氢原子的各物理量，下标H-A表示氢分子相对于氩原子的各物理量。显然，
2σH-A?πdH-A/4
（7）
因为已知氢分子是以方均根速率从反应堆逸出，所以
vH?3kTHπmH （8）
利用（4）式可以得到分子束中的氢分子相对于氩原子的平均速率为
3kTH8kTA?mHπmA （9）
?27现在已经知道 TH?4000K，TA?300K，mH?2?1.67?10kg，mA?40?1.67 ?10?27kg，nA?4.0?1025m-3。将上述数据以及（5）式、（7）式、（9）
vH-A?vH?vA?22式一起代入（6）式可以得到氢分子在单位时间内受到的平均碰撞总次数
ZH-A?7.5?1010s-1
3. 7. 1 某种气体分子的平均自由程为 10 cm ，在10 000 段自由程中，（1）有多少段长于10 cm ?（2）有多少段长于50 cm ? （3）有多少段长于5 cm 而短于10 cm ? （4）有多少段长度在 9.9 cm 与10 cm 之间? （5）有多少段长度刚好为10 cm ?
〖分析〗：以下两个有关概率的概念是等价的：“一个分子自一次碰撞后又行进路程 x而还没有被碰撞的概率”；“在许多段长度不同的自由程中，长度大于自由程 x的概率”。因此，分子按照自由程的分布
N?N0exp(?x/?)
也可以理解为：在N0 段自由程中，长度大于 x 的自由程数为 N。
〖解〗：（1）在10 000 段自由程中，其自由程长于10 cm 的段数为
N1?10000exp(?10/10)?3679
（2）在10 000段自由程中，其自由程长于50 cm的段数为
N2?10000exp(?50/10)?67
（3）在10 000段自由程中，其自由程长于5 cm，短于10 cm 的段数为
N3?10000?[exp(?5/10)?exp(?10/10)]?2387
（4）因为 (10.0?9.9)/10?0.01??1，所以在10 000段自由程中，自由程长度在 9.9 cm 与10 cm之间的段数为
N4?10000exp(?10/10)?0.01?37
（5）不能这样提问，因为按照概率分布函数（ 即随机变量为连续变量的概率分布 ）的概念，只存在随机变量在某一范围内的概率，而不存在随机变量为某一确定数值的概率。
3. 7. 3 由电子枪发出一束电子射人压强为 p的气体中，在电子枪前相距 x 处放置一收集电极，用来测定能自由通过 ( 即不与气体分子相碰 ) 这段距离的电子数。已知电子枪发射的电子流强度为100 ?A，当气压 p1?100Pa、x = 10 cm 时，到达收集极的电子流强度为 37 ?A。(1) 电子的平均自由程为多大 ? (2) 气压降到 p2?50Pa 时，到达收集极的电子流强度是多少?
〖分析〗： 由于电子枪发射的电子流强度为100 ?A， 在气压 p1?100Pa、x = 10 cm 时，到达收集极的电子流强度为 37 ?A，说明有 [（100－37）/100 ]×100 % 的电子在10 cm 以前被碰。而 （ 37 / 100 ）则是在10 cm 处电子的残存概率。由此可以求出 p1?100Pa 时电子的平均自由程为 ? ；同时
'也可以求出气压降到 p2?50Pa 时的平均自由程为 ?。当气压降到 p2?50Pa 时在10 cm 处电子的残存概率可以由 ?' 求得，而电子的残存概率是
直接和到达收集极的电子流强度相对应的。
〖解〗：（1）设电子的平均自由程为
? 。则电子束行进 x 距离时的残存概率为
?
xP(x)?exp(?),因而有：
P(10)?得到电子的平均自由程为
（2）因为
??10cm。
3710?exp(?)100?
2σp, 说明温度相同时 ? 和 p 成反比。而
p1?2p2。气压降到 p2?50Pa 时电子的平均自由程为
?'?2??20cm
在平均自由程为
??kT?' 时，在 x?10cm 处的残
P'(10)?exp(?10/?')?exp(?0.5)
I'P'(10)exp(?0.5)??37μAP(10)exp(?1)
从而求出电子流强度
I'?61μA
第四章
VV4.2.1 1mol气体作准静态等温膨胀，由初体积 i,m 变成终体积 f,m，试计算
这过程中所做的功。若物态方程式是
（1）p(Vm?b)?RT （ R、b 是常数 ）
B）Vm [ R?常数，B?f(T) ] （2）
〖解〗： （1）因为 p(Vm?b)?RT，即 p?RT/(Vm?b)。
Vf,m?bVf,mVf,mRT?RTlnW??pdVm??dVmVi,mV,miV?bVi,m?b m
pVm?RT（1?BRTBRT）p??2VVVm, 所以 m，即 m（2）因为
Vf,mBRTBRTVf,mVf,mRTBRT?RTln??W??pdVm??(?2)dVmVi,mV,miVVi,mVf,mVi,m VmmpVm?RT（1?4.5.1 图表示有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分 A 和 B ，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将 334.4 J 的热量缓慢地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为 0.101MPa，求 A 部和 B 部温度的改变以及各吸收的热量的绝热隔板， 重复上述讨论。
〖分析〗：1，若隔板的位置是固定的而且是导热的，则B部吸收热量后按照等压过程变化；A 部既吸收热量，又向B 部放热，同时它按照等体过程变化。A部吸收的热量等于A部内能的增加加上向B部释放的热量。 2， 若隔板是可以自由滑动的而且是绝热的，则A部吸收热量后按照等压
过程变化；B部不吸收热量，也不做功（ 因为它通过活塞和外界相连接，它的压强始终和外界相等 ），按照热力学第一定律，其内能不变，状态也不变。A部吸收的热量全部用于
( 导热板的热容可以忽略 )。若将位置固定的导热板换成可以自由滑动
A 部内能的增加和它对外作的等压功。
〖解〗：（1）隔板是固定的并且是可导热的。设 A部和 B部净吸收的热量分别为
(dQ)A、(dQ)B。 A 部在定体条件下既吸热又放热，但是其净吸收的热量是 (dQ)A。
而 B部是在定压条件下吸热，其吸的热等于焓的增加。注意到A 部和 B 部的气体都是1摩尔。我们规定：下标“V”或者“p”表示定体积过程或者定压过程，下标“m”表示是1摩尔的物理量，则
(dQ)A?(dQ)V?(dUm)V?CV,mdT(dQ)B?(dQ)P?(dHm)P?CP,mdT
A 部从加热器吸收的热量为
(dQ)A?(dQ)B?(CV,m?Cp,m)dT?(2CV,m?R)dT?6RdT
两边积分得： ?Q?6R??T ?T?6.7(K)
这就是A 部的温度改变。因为隔板是导热的，B 部的温度改变和A 部相等。
下面求A部和B部净吸收的热量。
(dQ)A?CV,mdT?(5/2)RdT
两边积分 ?QA?(5/2)R?TA?139J
(dQ)B?Cp,mdT?(CV,m?R)dT?(7/2)RdT两边积分
?QB?(7/2)R?TB?195J
（2）若隔板换成可以自由滑动的绝热隔板，则A部和B部的压强始终相等，并且等于大气压强，这时
(dQ)A?(dH)p?Cp,mdT?(7R/2)dT
?QA?(7/2)R??TA
A部净吸收的热量
?QA?334.4J
A部的温度改变 ?TA??Q/(7R/2)?11.5K
对于B部，由于隔板是绝热的，所以 (dQ)B?0， ?QB?0 。 B部状态不变化，其温度不变。
4. 5. 5 室温下定量理想气体氧的体积为 2.3l（升），压强为 0.101MPa，经过某一多方过程后体积变为 4.1l，压强为 0.050MPa。试求：(1) 多方指数
〖解〗： （1）多方过程方程为 pV?C，两边取对数，则有
nn；(2)
内能的变化；(3) 吸收的热量；(4) 氧膨胀时对外界所作的功。设氧的 CV.,m?5R/2。 。
n?ln(p1/p2)?1.2ln(V2/V1) （1）
（2）?u?νCV,m(T2?T1)，而
p2V2?νRT2， p1V1?νRT1， （3）
由此得到
?u??63J （ 内能减少 ） （4）
（3）多方过程热容
Cn,m?CV,m?R/(n?1) （5）
多方过程中吸收的热量
Q?νCn,m(T2?T1) （6）
联立（3）、（5）、（6）式得到 Q?63J（ 吸收热量 ）。
'（4）气体膨胀，它对外作的功 W
W'??W?Q??u?[63?(?63)]J?126J
4.5.8 利用大气压随高度变化的微分公式 dp/p??(Mmg/RT)dz，证明高度
h处的大气压强为
p?p0(1?其中
T0 和p0分别为地面的温度和压强，Mm为空气的平均摩尔质量。假设上升空气的膨
Mmgh?/(??1))Cp,mT0
胀是准静态绝热过程。
〖分析〗： 在课本中推导的大气压强公式是假定整个大气处于温度处处相等的平衡态的。实际上大气温度是随高度而变化的。在贴近地面的对流层中，如果不考虑大气环流，则影响大气温度垂直变化的原因是重力和上升空气的准静态绝热膨胀。
〖解〗： 因为上升空气的膨胀是准静态绝热过程，满足准静态绝热方程
T0?T????1??1pp0 （1）
大气压随高度变化的微分公式
dp/p??(Mmg/RT)dz （2）
由（1）式、（2）式化简，两边积分，
??pRT0(??1)/?Mmgp0p0?hdp?dz1/??0p
可以得到
γ(p1?γ最后得到
??1??p0??1?(??1)/?Mmghp0)?RT0
p?p0(1?
MmghMgh)?/(??1)?p0(1?m)?/(??1)[γ/(γ?1)]RT0Cp,mT0
C塞，活塞两侧各有 νmol 的理想气体。设气体定体摩尔热容 V,m 为常数，γ?1.5。
将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气体压强增为 了多少热量?
〖分析〗： 圆柱形容器和活塞都是绝热的，所以活塞右方气体经历的是绝热过程；而活塞左侧有通电线圈加热。左方气体吸收热量后不仅增加它自己的内能，同时还对右方气体做功。这个功全部用来增加右方气体的内能（或者说使得它的温度升高）。另外，可以认为在初始时刻活塞位于圆柱形容器的正中央，左、右方气体的物质的量、体积、压强都相等，因而温度也相等。
〖解〗： （1）显然初始时刻活塞左、右侧气体的压强都 是
4.5.11 用绝热壁做成一圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦的、绝热的可动活
(27/8)p0。试问：(1) 对活塞右侧气体作了多少功? (2) 右侧气体的终温是多少? (3) 左侧气体的终温是多少? (4) 左侧气体吸收
p0，最终左、右侧气体压强
分别为 p1、p2，温度分别 T1、T2，体积分别为 V1、V2。
该过程中左侧气体对右侧气体（视作理想气体）所做准静态绝热压缩功为
p0V0p2(??1)/?[()?1]γ?1p0
1/3?p0V0??27???????1??p0V0?νRT01.5?1???8???W?（2）绝热过程中有如此关系：p??1?
/T?C1，所以右侧气体的终温为
1/?
（3）左侧气体经历的既不是绝热也不是等压过程，要求出终温，必须知道 p1、V1，然后通过状态方程求出 T1。但是如果要求出 V1，必须先知道 V2，（ 因为
??p???1??2T2????p???T0?????0???3T02V1?V2?2V0 ）。而右侧气体的绝热过程有 p0V0??p2V2?关系，所以
?p0?p4?V2?(0)1/??V0???V?V00?27p/8?p290??
V1?2V0?V2?2V0?4V0/9?14V0/9
pV/T?p1V1/T1
又 ， 000由
此
我
们
可
以
得
到
左
侧
气
体
的
这
最
终
温
度
为
2/3T1?
(27p0/8)?(14V/90)p1V121?T0??T0?T0p0V0p0V04
4.6.1 已知某种理想气体在 p?V 图上的等温线与绝热线的斜率之比为
0.714，现一摩尔该种理想气体在 p?T 图上经历如右图所示的循环。试问：(1) 该
CV,m气体的
是多少? (2) 循环功是多少? (3) 循环效率是多少?
? 〖分析〗： （1）它的等温过程方程为 pV?C1，绝热过程方程为 pV?C2，
只要分别对上述方程的两边取微分，就可以求出在 p?V 图上过程曲线的斜率。（2）在求循环功和循环效率时应该注意到，上图画的是 p?T 图，而不是 p?V 图。 若要避免错误，可以先把它转换为 p?V 图，然后进行计算。
〖解〗： （1）分别对等温过程方程和绝热过程方程的两边取微分，可以得到它们在
p?V 图上过程曲线的斜率，以下标‘T’和下标‘S’分别表示等温过程和绝热过程。
pp??p???p?????????γT， ??V?ST ??V?T比较这两个式子可以知道
Cp,mCV,m?R1?0.714??γCV,mCV,m ，
C?2.5R。
由此可得：V,m（2）现在把循环曲线从 p?T 图转换为p?V 图，
如右图所示。这是顺时针循环，是热机。计算系统对外作的功
'3?1 等温过程, W3?1?RT1ln(p3/p1)??RT1ln2
''''W?W?W?W2?31?23?1 = RT1(1?ln2) 对外作的循环总功
W'，注意 W'??W（W为外界对系统作的功）：
1?2 等压膨胀过程，
'1?2 W1?2?2p1(V2?V1)?R(2T1?T1)?RT1 '2?3 等体过程，W2?3?0
1?2 等压膨胀过程（ 吸热 ）， Q1?2?Cp,m(T2?T1)?Cp,mT1
Q??CV,mT12?3 等体降温过程（ 放热 ）， 2?3
Q??νRT1ln2
3?1 等温压缩过程（ 放热 ）， 3?1（3）热机效率
（2）计算系统吸收或者释放的热量：
W'RT1(1?ln2）2(1?ln2)η??5Q吸=Cp,mT1
4.6.2 一摩尔单原子理想气体经历了一个在 p?V 图上可表示为一个圆的准静态过程( 如下页图所示 )，试求：(1) 在一次循环中对外作的功；(2) 气体从 A 变为 C 的过程中内能的变化；(3) 气体在 A－B－C 过程中吸收的热量；(4) 为了求出热机循环效率，必须知道它从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点的坐标，试导出过渡点坐标所满足的方程。
〖分析〗： 循环曲线是由一段段实线线段连接而成的闭合曲线，而每一线段都可以被
认为是某一多方过程的一部分。应该明确，对于在 p?V 图上可表示为一个实线圆的过程，圆上任何一个有一定大小的有限线段，都不能被认为是某一多方过程的一部分。但是它的任何一个微小线段却可以被认为是某一多方过程的微小部分。从放热变为吸热的过渡点可以被认为是这样一个特殊点：在这一点既不吸热也不放热，所以它也是某一条绝热曲线上的微小部分。既然该点是绝热曲线的一微小部分，也是圆的一微小部
分，则该点在这两条曲线上的斜率也应该是相等的，或者说，绝热曲线和圆应该在该点相切。由此可以确定从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点的坐标。 还有一种确定从放热变为吸热的过渡点坐标的方法，这将在 4. B. 2 中介绍。
〖解〗：(1) 从题图可以看出，圆心的横坐标就是 A 点和 C 点的横坐标的和的一半，同样 B 点和 D 点的纵坐标的和的一半就是圆的纵坐标。若我们取
1?105Pa,1?10-3m3 分别作为纵坐标和横坐标的单位，并且纵坐标和横坐标只标定数
字而不标出单位，则这个圆和普通的 x,y 坐标图上的圆就没有什么区别了。从图上可以看出，该圆的半径是 “1”。状态方程可写为这样的圆方程
(p?2)2?(V?2)2?1
圆的半径 R?1。在一次循环中对外作的功就是圆的面积，它应该等于纵坐标半径和横坐
'W?314J。 π标半径的乘积再乘上 ，所以
pC?pA，VC?3VA，根据盖-T?3TA，又由理想气体状态方程得：pAVA?RTA，所以气体从 A 变
吕萨克定律得：C（2） 要求出内能变化就要求出温度变化。由图知为 C 的过程中内能的变化为：
?U?CV,m(TC?TA)?3RTA?3pAVA?600J。
(3) 气体在 A－B－C 过程中对外做的功应该等于曲线 A－B－C 下面的面积
W'?[(π/2)?105?10?3?2?105?2?10?3]J?557J
'Q??U?W?1157J 由热力学第一定律得吸收的热量：
（4）吸热和放热的过渡点 (p?,V?) 是‘绝热点’，即过程曲线在该点的斜率与
绝热线斜率相等。若要求出这一点，只要将状态方程两边对 V 求偏微商，偏微商的下
标标以‘l’，表示这是状态方程曲线上的斜率。得到
即
??p?2(p?2)???2(V?2)?0?V??l
V?2??p?????p?2 （1） ??V?l又将绝热过程 pV?C两边对 V 求微分，得
?p??p???γ??V （2） ??V?S从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点应该满足（1）式 =（2）式，从而得到满足这一等式的 (p?,V?) 坐标，显然它们应该满足如下关系 V??2p??γp??2V?
即 因为 (p?,V?(V??2)?γp?(p??2) （3）
V?) 是圆上的点，所以 (p?,V?) 还应该同时满足
(p??2)2?(V??2)2?1 （4）
程。
（3）式和（4）式就是从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点所应该满足的联立方
4.7.2 某空调器是由采用可逆卡诺循环的制冷机所制成。它工作于某房间( 设其温度为 T2 ) 及室外 ( 设其温度
为T1 ) 之间，消耗的功率为 P ，试问：
（1）若在 1 秒内它从房间吸取热量 Q2，向室外放热 Q1，则 Q2 是多大? ( 以T1，T2 表示之 )。（2）若室外向房间的漏热遵从牛顿冷却定律，即
(dQ/dt)??D(T1?T2)，其中 D 是与房屋的结构有关的常数。试问制冷机长期连续运转后，房间所能达到的最低温度 T2 是多大? ( 以 T1、P、D 表示之)。（3） 若
0室外温度为 30C，温度控制器开关使其间断运转 30% 的时间 ( 例如开了 3
020C 温度不变。试问在夏分钟就停 7 分钟，如此交替开停 )，发现这时室内保持
020C，则该空调器可允许正常运转的最高室外温度是多少? 天仍要求维持室内温度
（4）在冬天，致冷机从外界吸热，向室内放热，制冷机起了热泵的作用，仍要求维持室内为 20C，则它能正常运转的最低室外温度是多少?
0
〖分析〗： 这是现在正在广泛使用的热泵，它既能在夏天用来降温，又能在冬天用来
取暖的一个理想模型（ 认为制冷机是可逆卡诺制冷机 ）。通常制冷机是采用交替开停的方法来控制温度， 使房间达到基本恒温的。在达到稳定状态时，在相同时间内，冬天时制冷机向房间传递的热量应该等于房间向外的漏热；夏天时外界向房间的漏热应该等于制冷机从房间取出的热量。
〖解〗： （1）对于可逆卡诺制冷机，有：
Q1/(Q1?Q2)?T1/(T1?T2)，
经过变换可以得到
Q2/(Q1?Q2)?T2/(T1?T2) （1） 又由于 Q1?Q2?W，而 ?P??dW/dt dQ2/dt?Q2
Q2/W?Q2/P, 因而（1）式可表示为 考虑到在运行稳定时? ?Q2/P?T2/(T1?T2)，Q2?T2P/(T1?T2) （2）
（2）当制冷机长期连续运转后，房间达到的最低温度 T2 时制冷机的制冷功率应该等于房间的漏热功率。制冷机的制冷功率是由制冷机的效率公式决定的。房间的漏热功率是由牛顿冷却定律决定的，因而利用（1）式,有
D(T1?T2)?T2P/(T1?T2) （3）
D(T1?T2)2?T2P?0
即：
T2?(2DT1?P)?(2DT1?P)2?4D?DT122D
因为 T2?T1，所以上式中只能取负号，所以有
?DT22?(2DT1?P)T2?DT12?0
?P1P2P?()?4T1)2D2DD （4） 0（3）当室外温度为 30C，制冷机长期运转 30% 时间并且达到稳态时，这时
'020C。我们可以利用这一条件求出 D。因为在达到稳定状态时，T?的房间温度为 2'(dQ/dt)??D(T?T) 应该等于制冷机从房间取出的12单位时间内外界向房间的漏热
热量，而后者可以用（2）式来求出，不过其中的 P 应该用 0.3P 来代替。这样，
T2?T1?(就有
D(T1?T2)?0.3P?T2'/(T1?T2') （5） 'T?30T12将 ℃，?20 ℃ 代入（5）式，可以得到
D?2.93?0.3P （6）
'
020C，若该空调器可允许正常运转的最高室外温度到了夏天仍要求维持室内温度
''0TT?20C。这时达到稳态的条件同样是：制冷机的12（ 设为 ），而室内温度仍为
制冷功率应该等于房间的漏热功率。但是现在空调器是不间歇地连续运转, 在（5）式中的
P 应改为 0.3P，即
'D(T1'?T2)?P?T2'/(T1?T2) （6） 得到
T1'?311.26K?38.11℃ （7）
''''0T?20C ，设它能正常运转的最低室外温度为 1（4）在冬天要求维持室内温度
T2''，则参考（6）式，有
D(T1''?T2)?P?T2''/(T1?T2) （8）
将（5）中的 D?2.93?0.3P 代入，可以得到
T2''?274.74K?1.59 ℃
5.1.2 5.1.2 对于任何物质，证明两绝热线不能相交。 〖分析〗：本题和上题一样也是针对任何物质而言的，也要利用热力学基本定律（ 即利用永动机不可能造成的 ），由反证法来证明。例如先假定两绝热线已经相交，其结果会形成一种永动机，从而说明这是不可能的。因为永动机是做功的机器，所以要在 p?V 图上构造一个顺时针循环。但是两根相交的绝热线不能构成循环，而且它也不吸收热量。 我们应再增添一条从单一热源吸热的等温线，这条等温线和那两条绝热线相交组成一个顺时针顺循环，看这样是否会违背热力学基本定律。
〖解〗： 假设在 p?V 图上两条绝热线 A、B 相交于点“1”，则可作一等温线 C 与它们分别相交于点“3”和点“2”。线段 “1?2”、“2?3”和“3?1”
围成一闭合区域。现在也分两种情况进行讨论。
（1）若“1”点在等温线上面，如题（a）所示。
利用闭合曲线做一正循环 “1?2?3?1”。在此循环过程中对外做了功（ 其大小就是闭合曲线所围的面积 ），它却仅在“2?3”等温过程中放热。这说明系统可以在不吸收热量 ， 甚至在放热的情况下对外做有用功，这违反热力学第一定律。
（2）若“1”点在等温线下面，如图（b）所示。利用闭合曲线做一正循环 “1?2?3?1”。此循环
过程只在“2?3”等温过程中从单一热源吸热对外做了有用功而无其它影响, 这违反热力学第二定律。
所以，两绝热线不能相交。
5.3.1 如下图所示，图中 1?3 为等温线，1?4 为绝热线，1?2 和 4?3
'''''' 均为等压线，2?3 为等体线。1molH2（ 理想气体 ）在“1”点的状态参量为
3V1?0.02m3,T1?300K，在“3”点的状态参量为 V3?0.04m,T3?300K。试
S?S1：
分别用如下三条路径计算3（1）1?2?3；（2）1?3；（3）1?4?3。
〖分析〗： 这是一个通过计算来说明熵是态函数, 熵的变化仅和初、末状态有关, 而和变化路径无关的习题。 因为能够用实线表示的状态变化图线一般都可以认为是可逆变化过程，所以可以用
?dS??dQ/T来计算熵变。
T2?(V2/V1)?T1?600K。而“2?3”为等体过程。注
C?7R/2CV,m?5R/2意到H2为双原子分子，p,m，。所以在“1?2?3”过程中的熵变为
(2)dQ(3)dQS3?S1????(1)(2)TT
600dT300dQ?Cp,m??CV,m?300600TT?R?ln2
〖解〗： （1）“1?2”为等压过程，
（2）“1?3”为等温过程。其熵变
S3?S1??(3)(1)dQ/T?Rln(V3/V2)?R?ln2??1（3）“1?4?3”过程是由“1?4”的绝热过程，
T1V1和“4?3”的等压过程
??1?T4V4 （1）
T4/T3?V4/V3 （2）
所组成的。联立（1）式、（2）式，考虑到T1?300K，得到“4”点的温度
T4?2?2/5?300K
其熵变
S3?S1?(S4?S1)?(S3?S4)
?0??T3T4dQ5300?dT?R??2/5T2300?2T
?
5R?ln22/5?R?ln22
5.3.2 一长为 0.8m的圆柱形容器被一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在
5?21mol0.3m5?10N?m距左端 处。活塞左边充有 ,的氦气，右边充有
5?21?10N?m 的氖气。它们都是理想气体。将气缸浸入1升水中，开始时整个物体系的
温度均匀地处于 25C。气缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最后将位于一新的平衡位置，试问这时: （1）水温升高多少？（2）活塞将静止在距气缸左边多大距离位置？（3）物体系的总熵增加多少？
〖分析〗：开始时活塞是被固定的, 放松以后活塞振动起来。说明开始时活塞两边压强不等，物质的量也不等。考虑到气缸内的氦气和氖气作为一个整体它不可能对外做功，而开始时整个物体系（ 气缸以及内中的气体和外面的水 ）的温度均匀地处于 25C，它不可能和外界交换热量。所以一开始
气缸以及内中气体的内能就不变，温度不变，以后温度应该仍然不变。水的温度也不变。
025C不变。 〖解〗：（1）水温保持
5?2ν?1molV?0.3m?Sp?5?10N?mHeHe（2）设初态氦气的状态参量为：；；He00（ 说明：式中‘m’为长度的单位，下面同样如此表示 ）。
5?2V?0.5m?S。 p?1?10N?mνNe初态氖气的状态参量为：Ne；；Ne'''pVνHe?1molHeH末态氦气的状态参量为：；；e?lm?S。
?e?(0.8?l)m?Sν'?νNe；p'Ne?p'He；VN末态氖气的状态参量为：Ne。
其中l为静止时活塞距气缸左边的距离。由于物质的量和温度都不变，所以有：
pNe?VNepHe?VHe?p'He?lm?S，
?p'Ne?(0.8?l)m?S?p'He?(0.8?l)m?S
这样就可以得到
l?0.6m νNe?(1/3)mo l即活塞静止在距气缸左边 0.6m 处。
（3）整个气体的熵变等于氦气的熵变和氖气的熵变之和。注意温度始终不变。利用理想气体熵变公式，则
?S??SHe??SNe??
0.25νRνHeRNedV??dV0.3S0.5SVV
-1?Rln2?(1/3)Rln(2/5)??3.22J?K
0.6S?1?101kg4.18kJ?kg?K0C的水与一个373K 5.3.3 水的比热容是 。 (1)、
的大热源相接触，当水的温度到达 373K 时，水的熵改变多少? (2) 如果先将水与一个 323K 的大热源接触，然后再让它与一个 373K 的大热源接触，求整个系统的熵变。 (3) 说明怎样才可使水从 273K 变到 373K 而整个系统的熵不变。
〖分析〗： 本题是计算在热传递过程中的熵变问题。由于本题“（1）”和“（2）”都是在其温度差不满足 ?T/T??1 条件下的热传递，因而是不可逆的。应该设想水所经历的是另一个其初、末态都和它的初、末态相同的可逆过程。例如：水在等压条件下依次和一系列的温度从 逐步上升到 T2 的热源相接触，相邻两热源之间的温度差满足
?T/T??1 条件。只有水达到新的平衡态以后，才脱开原来的热源，再和下一个温度的热源相接触，使达到下一热源的温度?。如此使得水的温度也逐步从 T1 上升到 T2。
这样就可以认为水在任何时刻的温度都几乎是处处相等的，它始终满足热学平衡条件，因而是可逆的。由于这两个可逆和不可逆过程的初、末态相同，因而熵变相同。
cT〖解〗： （1）设水的初温以 T1 表示，水的终温为 3 ，水的比热容为 p。
则水的熵变为
?S?mcpln(T3/T1)?1.30?103kJ?K?1
（2）整个系统的总熵变应为水的两次熵变与热源的两次熵变之和。设水的初温为 T1，
323K 热源的温度以T2表示，373K 热源的温度以 T3 表示。由于 323K 热源和 373K 热源都处于恒温下，它们放的热量分别为
Q2??mcp(T2?T1)Q3??mcp(T3?T2)，
（1）
两个热源的熵变分别为：
?S2热?Q2/T2，?S3热?Q2/T3 （2）
水在两次传热过程中的熵变分别为
?S2水?mcpln(T2/T1)整个系统的总熵变为：
，
?S3水?mcpln（T3/T2) （3）
?S??S2热??S3热??S2水??S3水?96J?K-1 （4）
（3）我们看到，在“（1）”中，水和热源的总熵变为
?S?mcpln(T3/T1)?mcp(T3?T1)/T1?184J?K?1
（5）
注意到（5）式的总熵变小于（4）式的总熵变，可知增加一个中间温度（323K）的热源以后，水和热源合在一起（ 它们是绝热系统 ）的总熵变减小了。可以估计到，中间温度的热源数越多，水和热源合在一起的总熵变就越小。显然，若要使水和热源合在一起的熵不变，应该使水所经历的是可逆过程。即按照“分析”中所描述的那样，使水与一系列温度相差无穷小的热源相接触，使得水所经历的是可逆过程。按照熵增加原理，绝热可逆过程
总熵不变。
5.3.4 一直立的气缸被活塞封闭有1mol理想气体，活塞上装有重物，活塞及重
C物的质量为 M，活塞面积为 A ，重力加速度为 g，气体的摩尔热容V,m为常数。
活塞与气缸的热容及活塞与气缸间摩擦均可忽略，整个系统都是绝热的。初始时活塞位置固定，气体体积为
V0，温度为 T0。活塞被放松后将振动起来，最后活塞静止于具有较大
体积的新的平衡位置，不考虑活塞外的环境压强。试问：（1）气体的温度是升高、降低，还是保持不变？（2）气体的熵是增加，减少还是保持不变？（3）计算气体的末态温度 T。
〖分析〗： 从活塞被放松以后振动起来可以知道，活塞被放松以前气缸内气体的压强
p0应该大于活塞加上重物所产生的压强p（即 p0?p?Mg/A ，因为不考虑活塞外
的环境压强，末态时气缸内气体的压强完全由活塞及重物的重量产生 ）。活塞被放松后破坏了气体的力学平衡条件，因而这是一个不可逆过程。最后达到平衡态的压强就是 p。
〖解〗： （1） 按照热力学第一定律，dU??pdV?dQ ， 因为 dV?0，气体对外做功，又整个系统都是绝热的 dQ?0，所以 dU?0。又因为理想气体内能仅为温度的函数，故气体温度降低。
（2）此过程为一不可逆绝热过程，气体的熵增加。
（3）设末态气体的体积为 V，活塞被放松以后达到新的平衡位置的过程中，气体把活塞及重物抬高了一定高度, 气体对重物 （也就是外界）做的功为
W'?(Mg/A)?(V?V0)??W
其中 W 为外界对系统做的功。考虑到气缸内气体为 1mol，设末态气体的温度为 T,根据理想气体方程，在末态有
(Mg/A)V?RT
系统是绝热的，Q?0，由热力学第一定律得到 对于 1mol 理想气体 由以上的式子得到
?U?W
?U?CV,m(T?T0)
(CV,m?R)T?Cp,mT?(Mg/A)V0?CV,mT0两边分别除以
CV,m, 最后得到气体的末态温度
1MgT?[T0?V0]γACV,m
6. 3. 2 在深为2.0 m的水池底部产生许多直径为 5.0×10
-5
m 的气泡，当
它们等温地上升到水面上时，这些气泡的直径是多大? 设水的表面张力系数为
0.073N?m-1。
〖分析〗：气泡的合并过程满足理想气体定律和等温条件。由于弯曲液面存在附加压强, 气泡内的压强要比气泡外大 4σ/r（ 请见习题6. 3. 4 ）。
〖解〗：在深为2.0 m 的水池底部的半径为 r1 的气泡内气体的压强为
p1?p0?ρgh?4σr1 （1）
设它们上升到水面上时的半径为 r2，气泡中气体的压强为
p2?p0?4σr2 （2）
按照玻意耳定律 p1V1?p2V2，有
?8??13?8??13????p??gh???d?p???d0102??d1?d2???6??6 （3）
其中d1?2r1,d2?2r2都是气泡的直径。由（3）式得到
?1?(ρgh?8σ/d1)/p0?d2?p0?ρgh?8σ/d1??????????d1?p?8σ/d1?8σ/dp0220???? （4）
注意到（4）式中的未知数 d2在三次根式内，无法精确解出它，必须用近似方法。我们可
n(ρgh?8σ/d)/p??1(1?x)?1?nx，所以 x??110以近似认为 , 而当 时
[1?(ρgh?8σ/d1)/p0]1/3?1?(1/3)(ρgh?8σ/d1)/p0 （5）
1/31/3(1?8σ/d2p0)?1/3?1?(1/3)(8σ/d2p0) （6）
将（5）式、（6）式代入（4）式得到
d2?d1?[1?(1/3)(ρgh?8σ/d1)/p0]?[1?(1/3)?8σ/d2p0]
?d1?{1?ρgh/3p0?(8σ/3p0)[(d2?d1)/d1d2]} （7）
下面使用数学上的所谓迭代法。既首先假定（7）式右边的 d2?d1，求出（7）式左边的
'd2 称为 d2
'd2?d1?(1?ρgh/3p0)?5.3?10?5m
'd将 2 代入（7）式的右边，所求出的
d2?5.3?10?5m
和 d2 几乎一样。
6. 3. 3 将一充满水银的气压计下端浸在一个广阔的盛水银的容器中，其读数为
'p?0.950?105N?m-2。(1) 求水银柱的高度 h。(2) 考虑到毛细现象后，真正的大
?3气压强 p0 多大? 已知毛细管的直径 d?2.0?10m，接触角θ?π，水银的表面
-1σ?0.49N?m张力系数 。(3) 若允许误差 0.1 ％，试求毛细管直径所能允许的最
小值。
〖解〗： （1）气压计可以简单地用右图表示。由于在毛细管中凸液面上面的压强为零, 所以在不考虑弯曲液面附加压强情况下 p?ρgh。毛细管中液面高度
h?p/ρg?71.3cm
（2）实际上毛细管有附加压强存在, 设毛细管的半径为r, 则附加压强为 p附?2σ/r, 也就是说紧贴毛细管中凸液面水银一侧的压强为
2σ/r, 显然
?3p?2σ/r?2?0.49/1.0?10?980Pa 附
而水银容器的平液面处的压强应该是和毛细管中其水银柱高度为零处的压强相等, 它等于
2σ/r 和 ρgh 之和, 而它也等于大气压强 p0。所以
p0?ρgh?2σ/r?p?2σ/r?(9.5?104?980)Pa?9.6?104Pa
（3）这气压计由于表面张力所产生的绝对误差是 4σ/d, 其相对误差为
0100C时，单位质量水的熵为6. 4. 5 已经知道在标准大气压和温度为
sl?1.30?103J?kg-1?K-1，而在相同条件下单位质量水蒸气的熵是sg?7.36?103J?kg-1?K-1。试问在此温度下的汽化热是多少?
4σ/d4σ?ρgh?4σ/dρghd
〖解〗：汽化是在可逆等温条件下进行的，所以单位质量的汽化热是
l?T?sg?sl??373?7.36?103?1.30?103?2.26?106(J?kg-1)
-1-1
下水蒸气的 cp,2 也是常数，它等于 1 985 J﹒kg﹒K；又知水蒸气的潜热是
3 -1-1
6. 4. 6 假设水的 cp,1 是常数，它等于 4.18×10J﹒kg﹒K。在0.1MPa
??
2.26×106 J﹒kg-1。试问将1 kg 水在 0.1MPa 下从 273 K加热到 433 K
时所发生的焓变和熵变分别是多少?
〖解〗：将 1 kg 水在 0.101MPa 下从 273 K 加热到 433 K 时所发生焓变或者熵变, 分别等于将 1 kg 水在 0.101MPa 下从 T1 = 273 K 加热到T2 = 373 K 发生的焓变和熵变，它从 T2 = 373 K 的水变化为 373
K 的水蒸气的焓变或者熵变, 以及它从 T2 = 373 K 的水蒸气变为 T3 = 433 K 的水蒸气的焓变或者熵变的连续相加。
由于相变是在等压条件下进行的, 它吸收的潜热就是焓变。又设水的质量为 蒸气的潜热为 l，则总的焓变为
m，水
?H?cp,1m(T2?T1)?lm?cP,2m(T3?T2)?2.80?106J ?S1??mcp,1dT/T?mcp,1ln(T2/T1)?1.3?103J?K-1T1T2?S??S1??S2??S3
?S2??Q/T2?ml/T2?6.1?103J?K-1 T3?S3??mcp,2dT/T?mcp,2ln(T3/T2)?0.3?103J?K-1T2
?S??S1??S2??S3?7.7?103J?K-1
6. 4. 7 假定在 100C 和 0.101MPa 下水蒸气的潜热是 l = 2.26×106 J﹒kg-1，水蒸气的比容（单位质量的体积）是 vg = 1 650×10-3 m3﹒kg-1，试计算在汽化过程中所提供的能量用于作机械功的百分比。1 kg水在正常沸点下汽化时，其焓、内能、熵的变化分别是多少?
〖解〗：水蒸气的潜热（也就是汽化热）是相同质量的水蒸气和相同质量的水的焓的差
0值。设 100C 和 0.101MPa下水蒸气和水的比焓（ 单位质量的焓 ）分别为 hg0和 hl，又在该温度和压强下单位质量的潜热为 l，考虑 到h?u?p0v, 其中 汽共存的水的物理量。则
u 是
单位质量的内能，v 为比容，并且以下标“g”表示蒸汽的物理量，下标“l”表示和蒸
l?hg?hl?(ug?p0vg)?(ul?p0vl)
?(ug?ul)?p0(vg?vl)
上式中的 p0(vg?vl) 就是水在汽化过程中, 由于体积扩大而作的等压功。等压功在汽化热中所占百分比为
p0(vg?vl)ll
0.101?106?1.65??7.4%2.26?106
v??vg 而在等式左边分子中忽略了 vl。 在上式中考虑到 l?p0vg1 kg 水在正常沸点下汽化时其焓的变化和内能的变化分别是
hg?hl?l?2.26?106J
ug?ul?l?p0(vg?vl)?l?p0vg?2.1?106J 1 kg 水在正常沸点下汽化时熵的变化为
?S?l/T?6.06?106J?K-1