高等数学A2(10-13)试题答案 下载本文

解法二 柱面坐标,如图

I???dxdy?2Dxy1x?y2(x2?y2)dz ………3分

11x?rcos?,y?rsin???2?0d??rdr?2r2dz ………6分

0r?2??r3(1?r2)dr?01?6 ………8分

五、(本题满分10分)

已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2?y2?2x到点(2,0),再沿圆周x2?y2?4到点(利用格林公式计算) (0,2)的曲线段,计算曲线积分I??3x2ydx?(x3?x?2y)dy.

L解 如图,

P?3x2y,Q?x3?x?2y,且

?P?Q?3x2,?3x2?1.则 ?y?x I??LPdx?Qdy???(D?Q?P?)dxdy ?x?y ?11?22 1dxdy???2???1???422D六、(本题满分8分)

设f(u,v)具有连续的偏导数, w?f(xy,yz),证明: x?w?w?w?z?y. ?x?z?y证明

?w?w?w?yf1',?xf1'?zf2',?yf2', ………6分 ?x?y?z所以 等式左边 ?x?w?w?w?z?xyf1'?yzfz',等式右边y?xyf1'?yzfz'. ?x?z?y故等式成立. ………8分

七、(本题满分14分)

(1)已知三个正数之和为a,试问这三个正数分别为何值时,它们的倒数之积最小.

解 (1)设三个正数分别为x,y,z,则目标函数 f(x,y,z)? 方法一 化为无条件极值

1,约束条件x?y?z?a. xyzg(x,y)?11,x?0,y?0,x?y?a ?xy(a?x?y)axy?x2y?xy2ay?2xy?y2ax?2xy?x2则 gx??,gy??, ………4分

[xy(a?x?y)]2[xy(a?x?y)]2aa,y?. ………6分 33aaa由实际问题的意义知,x?,y?时,g(x,y)取最小值,此时z?.

333a即三个正数分别为x?y?z?时,它们的倒数之积最小. ………7分

3方法二 问题等价于求目标函数w?xyz在约束条件x?y?z?a下的最大值

令gx?0,gy?0得驻点x?化为无条件极值

g(x,y)?xy(a?x?y)?axy?x2y?xy2,x?0,y?0,x?y?a

则 gx?ay?2xy?y2,gy?ax?2xy?x, ………4分

2aa,y?. ………6分 33aaa由实际问题的意义知,x?,y?时,g(x,y)取最小值,此时z?.

333a即三个正数分别为x?y?z?时,它们的倒数之积最小. ………7分

3令gx?0,gy?0得驻点x?方法三 条件极值,拉格朗日函数

L(x,y,z)?1??(x?y?z?a),x?0,y?0,z?0, 则 xyz1?L?????0,(1)?xx2yz?1?L?????0,(2)?yxy2z ? ………4分

?1?Lz?????0,(3)2xyz??x?y?z?a,(4)?由(1) , (2), (3) 联立可得 x?y?z

a代入(4)得驻点x?y?z?. ………6分

3由实际问题的意义知,x?aaa,y?时,g(x,y)取最小值,此时z?. 333a即三个正数分别为x?y?z?时,它们的倒数之积最小. ………7分

3(2)判断级数

n的敛散性,若收敛,求级数的和. ?n3n?1?解 利用比值判别法

?3n?1?nn

nun?1n?131 lim ………4分 ?lim???,所以级数收敛.1n??un??3n?1n3nan?1nn?1n?13n1构造幂级数?nx,先求幂级数的收敛半径 ??lim||?limn?1??,

n??n??3ann3n?13?所以收敛半径为R?3,故在(?3,3)内幂级数绝对收敛.

?nnn?1令其和函数S(x)??nx(|x|?3),故 S(1)??n.

n?13n?13?x??nxn?11x3, S(x)?[?n?xdx]'?[?nxn]'?[3]'?[]'?20x3?x(3?x)n?13n?131?3故 S(1)?

n3?. ………7分 ?n34n?1?郑州轻工业学院

2012-2013学年第二学期期末考试 高等数学IB 试卷A

试卷号:A20130621

本题得分

一、单项选择题(每题3分,共15分)

1.函数y?3e2x是方程y???4y?0的 ( B )

(A)通解;(B)特解;(C)解,但既非通解也非特解;(D)以上都不对.

d12lntdt=( D ) 2.

dx?x(A)2lnx; (B)lnt; (C) lnx; (D)?lnx. 3.已知

222?f>0,则( A ) ?x(A)f(x,y)关于x为单调递增; (B)f(x,y)?0;

?2f(C)2>0;

?x (D)f(x,y)?x(y2?1).

4.设f(x,y)是连续函数,则(A)

?40dx?2x0f(x,y)dy?( B )

44y2??40dy?1f(x,y)dx ; (B)?dy?1401f(x,y)dx;

4(C)

40dy?12y4?yf(x,y)dx ; (D)?dy?140yy2f(x,y)dx.

45.下列级数中发散的是( C )

?1n1(A)?(?1) ; (B)?(?1); 2n(n?1)nn?1n?1n?nn?11 (C)?(?1); (D)?(?1). n?1nn?1n?1n??二、填空题(每题3分,共15分) 1.幂级数

?axnn?0?n在x??3时条件收敛,则

?axnn?0?n的收敛半径R? __3____ .