高等数学A2(10-13)试题答案 下载本文

y?1?2x?x?1y?1z?2???2.曲线? 152在点(1,-1,-2)处的切线方程为

z??x1?2?5?22?3.设D:1?x2?y2?3,则

??dxdy?D2?

4.若(xy2?ay)dx?(x2y?bx)dy是某个二元函数的全微分,则常数a、b满足 a=b .

5、通解是y?ex(c1cos2x?c2sin2x)的微分方程是 y???2y??5y?0

三、解答题(每题6分,共30分)

1.求

?e1lnxdx.

e1e解:原式=xlnx??e1xdlnx …………3分

?e??1dx …………5分

1=1 …………6分

2.求幂级数?nxn?1?n?1的和函数.

解 收敛半径 R?lim

n??ann?lim?1 ……1分 an?1n??n?1又x??1时级数都发散,故该幂级数的收敛域为(?1,1).……2分

?x?(?1,1),设和函数为s(x),即

s(x)??nxn?1?n?1??(xn)? ………4分

n?1?

?(?xn)?

n?1? ………5分

x1?()?? ,x?(?1,1) ………6分 21?x(1?x)

3.求

?20dx?ex2y2?y2dy.

解: 交换积分次序

原式??dy?e?ydx…………2分

002??ye?ydy …………4分

022?12?1???e?y??(1?e?4) …………6分 ?2?024.判断级数

2?(?1)nn?1n?k?nn2?(k?0)的敛散性.

?k?n解 因为?(?1)?2nn?1由p?级数

?k(?1)2??nn?1n?(?1)n?1n1 , n?n?1???knk收敛,知级数绝对收敛; ………2分 (?1)?22nnn?1?1n1发散,知级数?(?1)条件收敛, ………4分

nnn?1由调和级数

?n?1所以

?(?1)nn?1?k?n收敛,且为条件收敛. ………6分 2n5.已知曲线L的方程为y?1?|x|(x?[?1,1]),起点(?1,0),终点(1,0),求曲线积分

2?Lxydx?xdy.

解:设L1为y?1?x(x?[?1,0]),L2为y?1?x(x?[0,1]),则L?L1?L2. ……1分 原式=?L1xydx?x02dy+?L2xydx?x2dy ……2分

1???1[x(1?x)?x2]dx??0[x(1?x)?x2]dx …… 4分

=0 …… 6分

四、解析题(每小题8分,本题满分16分) 1.计算I?2(z???x)dydz?zdxdy,其中?是旋转抛物面z??12(x?y2)介于平面2z?0及z?2之间的部分的下侧.

解:依题P?z?x,Q?0,R??z ……1分

2设?1是平面z?2取上侧,?和?1所围区域为?,由高斯公式得 …… 2分

2(z???x)dydz?zdxdy????(????1?P?Q?R??)dv????0dv?0 …… 4分 ?x?y?z??1所以

22(z?x)dydz?zdxdy??(z?????x)dydz?zdxdy ……6分 ??x2?y2?4??2dxdy?8?. …… 8分

2.设函数?(x)连续,且满足

?(x)?x??t?(t)dt?x??(t)dt,求?(x).

00xx解 方程两边关于自变量x求导两次,得 ?'(x)?1?所以有

?x0.....2分 ?(t)dt, ?''(x)???(x), .

??''(x)??(x)?0 ?. ......4分

?(0)?0,?'(0)?1?齐次方程的特征方程为

r?1?0,特征根为 r1?i,r2??i, ......5分

齐次通解为 ??C1cosx?C2sinx ......6分 代入初始条件,得 C1?0,C2?1. ......7分 所以得 ?(x)?sinx. ......8分

2五、证明题(本题满分8分) 设z?xy?xF(u),而u?y,F(u)为可导函数,证明:xx?z?z?y?z?xy.. ?x?y?z?uy?y?F(u)?xF?(u)??y?F(u)?F?(u), ………3分 ?x?xx证明

?z?u?x?xF?(u)??x?F?(u) ………6分 ?y?y则 x?z?z?y?2xy?xF(u)?z?xy. ?x?y故等式成立. ………8分

六、应用题(每小题8分,共16分)

1x2y21.求平面z?c(c?0)与椭圆抛物面z?(2?2)所围立体的体积.

2ab解法一 过点(0,0,z) (0?z?c),作垂直于z轴的平面,得到水平截线的方程为

x2y2??1, . ....2分 2a2z2b2z这是一个椭圆,其面积A(z)??2a2z?2b2z?2?abz, .....5分 于是所求体积为V??c0....8分 2?abzdz??abc2. .

解法二 利用三重积分,设所围立体为?,其体积为V,则

V?c0...3分 ???dv .

???dzcx2...5分 ??dxdy .

?y2?12a2z2b2z...8分 ??2?abzdz??abc2. .

02.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积为最大?

解法一 设矩形的一边为x,则另一边为p?x,假设矩形绕p?x旋转,则旋转所成的圆柱体的体积为

V??x2(p?x),(0?x?p) ……3分

dV2??x(2p?3x)?0,求得驻点为x?p. ……6分 dx3由于驻点唯一,由题意又知这种圆柱体的体积一定有最大值,所以当矩形的边长分别为

21p,p时,绕短边旋转所得的圆柱体的体积最大. ……8分 33解法二设矩形的边长分别为x,y,则x?y?p,矩形绕长为y的边旋转,则旋转所成的

圆柱体的体积为