（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第十一章 概率、随机变量
及其分布 11.4 二项分布及其应用教师用书
1．相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． 2．二项分布
(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验．
(2)一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnp(1－p)
kkn－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，
记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．( √ ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( × )
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( × )
23
1．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加
34
n工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) 1511A. B. C. D. 21246答案 B
解析 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品； 事件B：乙实习生加工的零件为一等品， 23则P(A)＝，P(B)＝，
34
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为
P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
23235
＝×(1－)＋(1－)×＝. 343412
1
2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得
3通过的概率是( ) 4242A. B. C. D. 992727答案 A
1113－141
解析 所求概率P＝C3·()·(1－)＝. 339
11
3．(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的
34行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 1
答案 2
解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(A B)111
＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－)(1－)＝，
342
“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所11
求概率为1－P(A B)＝1－＝.
22
4．(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________． 答案
50 9
444
解析 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有一次出
669
455
现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B(10，)，E(X)
999550
＝10×＝.
99
题型一 相互独立事件的概率
例1 (2016·青岛模拟)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：
乘坐里程x(单位：km) 票价(单位：元)
现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概1111
率分别为，，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.求甲、乙两人所
4323付乘车费用不相同的概率．
11
解 由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，，
43则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率
0 12 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝. 33思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需 要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) 1A. 2 3B. 5 14111132341133 2C. 3答案 D 3D. 4 解析 设Ai (i＝1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜；B事件表示甲队获得冠军，则B＝ A1＋A1A2， 1113 ∴P(B)＝P(A1)＋P(A1A2)＝＋×＝. 2224题型二 独立重复试验 例2 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第12 五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独 23立．分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率． 2228 解 设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P(A)＝××＝， 33327 2 P(B)＝C2， 3??×?1－?×＝3322P(C)＝C2. 4??×?1－?×＝ 33 ?2????2??? ???? 2?2?32?827 ? 12427 思维升华 在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮 投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648 C．0.36 答案 A 解析 所求概率为C3×0.6×0.4＋0.6＝0.648. 题型三 二项分布的均值、方差 例3 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 1 和p. 10 2 2 3 B．0.432 D．0.312 49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值； 50 (2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．