暑期数学建模讲义 历届HIMCM试题翻译 复旦大学数学系 黄成晗
2003年
Problem A：价值是多少？
1945，诺亚森茨死于车祸，他的财产被当地法院处理。国家法律规定，1/3的资产分给妻子和2 / 3的资产分给四个孩子们。在接下来的四年中，四个孩子中的三个孩子把他们的财产卖给了母亲，每个人获得1300美元。原来的资产总额主要为75.43英亩的土地。本周，第四个孩子根据原来的遗嘱认证的裁决状告该地产属于其合法的继承权范围内。法官裁定第四儿子应得到货币补偿，法官挑选你们的团队作为陪审团来确定赔偿数额。
运用数学建模原理建立一个模型，使你能够确定补偿金额。此外，准备一个简短的一页总结信给法院，解释你的结果。假设现在日期是2003年11月10日。 （指数模型+简单分析）
Problem B: 大联盟棒球公园对球员有多公平？
考虑下列的大联盟棒球公园：亚特兰大勇士队，科罗拉多的落基山脉，纽约洋基队，加利福尼亚角，明尼苏达双胞胎，和佛罗里达马林鱼队。
每个场地在不同的位置，并具有不同的尺寸。这些公园都是“公平”的吗？确定每一个公园有多公平或不公平。确定大联盟棒球的最佳棒球”设置”。
(评估)
2004年
Problem A: 酒店清洁
旅馆和酒店每天晚上使用后雇人打扫房间。为清洁计划和使用的清洁资源制定一个数学模型。你的模型应该考虑到留宿、成本、房间的数量、每层楼的房间数量等等。写一封信给主旅馆或酒店的经理，向他们推荐你的模型来帮助他们管理他们的运作。 （规划）
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Problem B：美术馆安全系统
一个艺术画廊即将举办一场特别的小水彩画展览．展厅为一个长22米、宽20米的矩形房间，有２米宽的出口和入口．房间的角落里装了２台监视器．工作人员在监控室里通过这２台监视器进行监视．监视器的扫描范围是30°．如果它们在扫描范围内来回移动，每个来回需要20秒．这次展览共有50幅水彩画展出．每幅画占用大约１米的墙面．每相邻两幅画的间隔为１米，画都悬挂在离地面２米高处．出于安全考虑，必须把画挂在离出入口至少２米的地方．画廊内也需要增加可移动的屏风，屏风宽５米．水彩画可挂在屏风的两面．为保证给从中穿梭和驻足观赏的观众有足够的空间，并列的屏风必须离画廊的墙壁至少５米．为了有助于观赏，相连的屏风不能相交成锐角．图11和图12分别描述了画廊最近的两个展览．展览者希望更多地关注图12的展览的安全性，要求经理分析安全系统，重新安排可移动内墙，以达到最佳的展览安全性．设计一种办法，能测量对于不同屏风布局的展览的安全性．利用这些测量来比较先前图11和图12的展览哪个更安全．最后根据你的安全措施为水彩画展览设计一个最佳可移动屏风。
（评估）
2005年
Problem A: 建立海底地形模型
（１）背景知识．海洋勘测船利用声呐向海底发射声呐脉冲从而绘制海洋深度图．图13中Ｂ点表示船在海面的位置．船上的声呐装置与发射的声呐脉冲夹角在2°-30°之间，图13中用角ABC表示这个角，发射的声呐脉冲用虚线和实线BA，BC表示．当声呐脉冲发射到海底时，它就像桌上弹球那样反射回海面；即如图14所示，入射角α等于反射角β．由于声呐脉冲发射时船在移动，因此船接收到的声呐脉冲在图14所示中用F表示．而水的实际深度就是图13中BD的长度
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（２）有用的信息．海洋测绘船通常以２米／秒的速度前进，海军舰艇以20米／秒的速度前进．船上的声呐装置与发射的声呐脉冲夹角在2°-30°之间．声呐脉冲在水中的传播速度为1500米／秒．请为绘制海底地形图建立模型．写封信给你当地杂志社的科学编辑来总结你的结论． （物理题）
Problem B: 石油供应
经济报告显示世界石油处于供需短缺状况．任何风暴，尤其是卡特里娜大飓风，都会影响石油的生产．我们仅以美国大陆为例．在过去６年里，加拿大一直是美国主要的石油国外供应商，包括原油和成品油产品的供应．（石油供需月报表略，该表可从下列网址下载：http://www.comap.com/highschoolcontest/himcm/previous problems.html）
ａ．2004年开始加拿大连续６年又成为美国最大的石油国外供应商（自从1999年美国失去委内瑞拉以来，包括2004年）．
ｂ．2002年加拿大供应美国17％的原油和成品油，每天超过其他任何供应商190万桶． ｃ．美国中西部地区和洛基山脉各州主要进口加拿大西部原油．
ｄ．美国东海岸地区，包括墨西哥湾沿岸各州主要进口加拿大东部的近海石油．许多炼油厂正在购买足够的石油以满足驾驶者的需求，但还不足以库存．一旦库存告急，就会寻找更多卖主．据华盛顿邮报报道：“当他们对未来难以确定时，就会想占有更多石油．”（华盛顿邮报：随着战争美国原油进口减缓）
为石油的供应和消费建立一个较好的模型．因为在美国，无论是企业还是消费者，他们对石油的使用和消费都是同样的．写封信给总统的能源顾问，总结你的调查结果。 （数据建模+代数模型）
2006年
Problem A:降落伞的开伞膨胀 １．一顶降落伞由轻薄的面料、支撑带和悬线组成．悬线集中后通过布制成的环或通过连接在几条耐用长条材料尾端的金属连接器聚拢在一起．而长条材料由连接在套有载重物的绳索上．（１）开伞系统．自由下落过程中开伞由一顶称为导行伞的小降落伞从伞包中拉出来．降落伞离开飞机后的一种开伞方式即利用静止悬线．静止悬线的一端连接在飞机上，另一端连接在降落伞包的开伞系统上．（２）降落伞的种类．ａ．圆形降落伞．圆形降落伞用于军事、紧急情况和货物运输，它们是纯拖动装置（即它们没有像冲压空气降落伞那样有自动升降装置）．圆形降落伞有单层制成的大圆顶展蓬．一些跳伞者称它们为“水母槽”，因为它们看起
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来像圆顶的水母．现在跳伞者很少用圆形降落伞．最初的圆形降落伞简单、扁圆，也不稳定．因此大多数现代圆形降落伞像某种圆锥形或抛物线形．一些圆形降落伞也可以操纵，但不同于冲压空气降落伞．图１５中伞兵的伞盖就是可操纵圆形降落伞的一个例子．它并未撕裂而是具有Ｔ－Ｕ形的切口．这种切口允许空气从伞盖后方逃离以限制降落伞的前进速度，也使跳伞者有能力操纵降落伞，迎风缓慢降落．
ｂ．环形和伞顶降低式降落伞．圆形降落伞的一个变异就是拉下顶端降落伞，由法国人Le Moigne发明———在第一种样式之后，在某些地方也称它为“准指挥官篷”．它是圆形降落伞，但是它的悬线连接在蓬的顶端从而形成负荷，拉动顶篷使负荷加大，把顶篷变平或成透镜状．通常这些设计在篷的顶端开一个洞，使空气透过篷，使篷变成冠状．由于变得扁平，减小了水平方向的阻力，并结合后面的喷口，就可以使前进速度达到10英里／小时（15千米／小时）．
ｃ．带式和环式降落伞．带式和环式降落伞类似于环形设计．它们在被打开时速度可达到２马赫（两倍音速）．它们有环状顶篷，而且往往在中间有个大洞以释放压力．有时环式降落伞会剪断用绳索连接的带子以释放更多的空气，大量减低压力，以便伞打开时不会爆裂．通常高速度降落伞减少负荷后再打开低速度降落伞．依次打开降落伞的机械名称叫做“延迟释放”或“压力有定位释放”，取决于释放时是否依赖时间，或者减少压力降低负荷． ｄ．冲压空气降落伞．大多数现代降落伞有自动打开“冲压空气”的机翼，称为Para机翼．它可以控制速度和方向，类似于Para滑翔机．Para滑翔机有强大的升降装置，但降落伞没有．所有冲压空气的Para机翼有两层织物，由机翼形织物连接底部和顶部．两层织物中间从喷口充满高压空气，从而对着机翼的边缘．在负荷下，织物张开的形状和降落伞悬浮线长度的调整，就使球状织物膨胀成一个机翼一样.
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（３）副伞．跳伞运动员一般背两个伞，主伞和副伞．跳伞运动员在主伞无法正常打开的情况下使用副伞．副伞最早在第二次世界大战时被美国人使用，现在几乎全球通用．几乎只有紧急救援伞只携带单个降落伞，且基本是老式的圆形降落伞．现代降落伞都有庞大的易操作的冲压空气降落伞． （４）开伞．副伞一般有一套绳索开伞系统，不过跳伞运动员使用的现代主流降落伞是手动的．一个绳索系统通过一种钉子来弹放一个与弹簧连接的导伞，并打开装伞的容器．导伞被弹簧弹入气流中，接着它借过往空气产生的外力来拔出装有降落伞的伞包．降落伞的顶篷通过绳子连在伞包上．手动开启伞有很多种类，但上述的是最常见的．只有某些手动导伞会因开伞后管线减少了飞行中对顶篷的拉力自动崩溃．副伞无法在导伞打开后保留导伞，且两者的伞包不在一个副伞系统上，这种结构称为自由包结构，它的组成部分常常会在副伞打开时丢失．有时，一个导伞不能产生足够的力量来拉断钉子或拔出伞包，原因是周围有强气流，或钉子的环连得太紧，这种情况称为导伞迟缓．而且，如果这种效应未被消除的话，可能会导致开伞彻底失败，所以必须有副伞．主伞一般用静止的线打开．在这种结构中，伞包的打开被称为一个直接伞包系统，这种方式便捷，十分可靠．运用建模，建立数学模型，讨论降落伞的开伞．我们关心的是伞是如何膨胀打开的．用你的模型来解释降落伞的折叠几何形状对伞膨胀的影响，并讨论如何影响开伞的速度． （物理题）
Problem B: 南海诸岛度假胜地
南海诸岛决定把其中的一个岛屿建设成一个度假胜地．这个近似于圆形的小岛，直径大约为５千米．小岛上的一座大山盘踞着整座小岛，它差不多是圆锥形的，最高高度约１千米．整座山都覆盖着沙子，几乎寸草不生．负责人准备借来一些消防船只，尽可能在最短时间内冲垮这座山．建造一个可以冲垮大山的数学模型，并且根据你们的模型来解释一下问题： ａ．以什么角度来冲击这座山? 写出时间函数 ｂ．用单艘消防船，要多久完成任务？
ｃ．如果用２艘（３艘或４艘或更多的消防船）是否可以减少２倍（３倍或４倍或更多）的时间
ｄ．写一封推荐信给旅游景点委员会，告诉他们应该如何做． （物理题）
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2007年
Problem A:烟雾报警器
火灾是导致意外死亡的一个主要原因。这是很重要的，大家必须采取一切预防措施，做可能的防范，以随时准备应付火灾紧急状态。 ' I' I$ _0 b9 U6 u
所有致命火灾中的一半以上发生在下午10时到上午6时之间，这个时间段内通常大家都在家里睡着了。烟雾警报器可以在你睡眠的时候提醒你有火情。烟雾警报器能留出足够的时间，以便于安全疏散吗？
建立一个数学模型，确定烟雾警报器安装的数量和位置，以提供最大的疏散时间。还包括一个模型，以确定居家消防灭火器的安装数目和位置。建立一个整个家庭从一到两层的房子中撤离的数学模型。 0 {! J0 j( `/ m+ I9 \\' v+ ^
为您当地的消防部门准备一个向社区的通知，其中包括你的数学模型的主要成果。 ( Y! i%
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一层的房子
二层房子的底层
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二层房子的顶层
（图论）
Problem B：租车
有些人当他们将要做一个长途旅行的时候，他们会租一辆汽车。通常他们会选择节省金钱。即使他们不吝惜钱，他们也会认为\如果车在旅行中坏了，问题是出租公司的\，这一点使得租金是值得的。分析这种情况，并确定在什么条件下，租用一辆汽车是一个比较适当的选择。对自己拥有的汽车，确定里程限制，并确定对于司机和她的家人来说可接受的损益平衡点。 （规划）
2008年
问题A：国家债务和国家危机
数学建模涉及两个同样重要的步骤——基于真实的世界局势建立模型和解释这些模型所作出的预测。本问题是两方面并重。
我们正处于2008年美国总统选举的开始阶段，一个重要的辩论热点肯定会出在国家债务上。作为高中学生，你会对这个问题有一种特别的兴趣，因为你正是在将来要偿还，或者管理国家债务的人。国家债务的变化速度取决于联邦收入（主要是税收）和联邦政府支出之间的差额。你的第一个任务是建立一个模型，它可以用来帮助理解国家债务，并做出基于不同假设的预测。和通常情况一样，建模要在复杂和简单之间找到平衡，模型太复杂就可能非常棘手，模型太简单又可能脱离实际没有任何用处。在你的模型中，至少要考虑不同的税收政策和不同的支出政策。
通常情况下，纯数字不会携带太多的信息。这些数字必须放置在一定的背景下。例如，国家债务总额就不如全国人均债务额有实际意义。此外，你必须考虑通货膨胀的影响。许多分析家关心国家债务和国内生产总值（一个影响国家债务的主要指标）之间的比例。另一些人关心国家债务的服务费用。这笔费用是受国家的债务总额和政府必须支付的借款利息影响的。对于国家债务占国内生产总值的比例数字您可以参考维基百科文章http://en.wikipedia.org/wiki/Nat ... _presidential_terms
1、建立一个模型，可以用它来帮助理解国家债务，基于不同的假设进行预测。您必须提供模型中各种要素的解释，必须测试模型中各参数的灵敏性。
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2、使用您的模型比较至少两个替代计划年，如2009年─ 2017年。您的计划应基于不同的税收和支出政策，并且是合理的和政治上可行的。使用您的模型比较国家债务的影响和国家总体政策的影响。
3、给新总统写一封信，向他介绍你的模型。 （指数模型+简单分析）
Problem B:二氧化碳排放
美国可以解决本国的碳排放量过高（碳足迹问题）有两种方式：通过减少二氧化碳排放量，或是增加二氧化碳消耗量。碳足迹是指每个人、每个家庭或每家公司日常释放的温室气体数量（以二氧化碳的影响为单位），用以衡量人类活动对环境的影响。
假设美国的总二氧化碳排放量一直保持在2007年-2008年的水平。美国应该采取怎样的措施来增加二氧化碳的消耗，以实现碳中立国家的目标，以最小的经济和文化的影响为代价？实现中立真的可能吗？建立您的解决方案来展示可行性，有效性和成本。写一份简短的概要文件给美国国会，说服他们采纳你的计划。 （微分方程）
2009年
Problem A：水，到处的水
缺乏新鲜的水限制了美国很多地区发展。建立一个有效、可行且经济上合算的2010年国家水资源战略以满足美国2025年的计划需求。特别地，在你的战略中可能包括存量、运输、淡化和储藏。从经济、物质、文化和环境影响方面考虑问题。提供一份报告给美国国会，陈述你的方法、花销和为什么这是国家最好的选择。 （数据建模+图论+评估）
Problem B: 海啸
最近的事件使我们回想起远方地震和水下地震的可怕影响。设计一个模型以比较以下地区不同大小的地震及它们造成的海啸的破坏力：San Francisco, CA; Hilo, HI; New Orleans, LA; Charleston, SC; New York, NY; Boston, MA; 以及你所选择的其他城市。为当地新闻机构撰写一篇文章以解释你的模型的发现。 （数据建模）
2012年
问题A：美洲麋鹿
在欧洲殖民者来到北美大陆之前，美洲的生物远比21世纪的多样。在殖民者到来前，北美野牛、东美洲麋鹿、东美洲狮和狼都在北美大陆很常见。但是，欧洲殖民者破坏了这里的生态。250年间，这些物种都从美国东部消失，或者说灭绝了。上个世纪开始人们开始通
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过建立国家公园和保护区努力阻止北美生物群的消亡；20世纪后半叶，人们开始努力将生物群引回它们的自然栖息地。但是，在所有美国东部生物中，美洲麋鹿受到的关注最大。 在将美洲麋鹿引回美国东部的官方尝试之前，只有私人引进动物狩猎场的人做过这种尝试。但是，20世纪后半叶，人们关于将美洲麋鹿引回栖息地的后果做了充分的论证。关于引回计划的问题主要是以下几点：
? ? ?
把麋鹿引回哪个州； 此计划对农业的冲击如何；
麋鹿是否能适应人口更密集的美国东部。
但是，最重要的问题还是关于物种本身。美国东部原产的东美洲麋鹿在19世纪初就被捕杀灭绝了。东美洲麋鹿和与之相似的马尼托巴麋鹿并不是同种生物。马尼托巴麋鹿比作为另一亚种的东美洲麋鹿体型更小，并且适应了美国和加拿大西部的大草原的环境条件。所谓“适应的环境条件”包括抗病性、食物和气候特点。这些适应性是否会影响将马尼托巴麋鹿引入美国东部，或者具体说，引入大烟山国家公园？
建立数学模型来确定马尼托巴麋鹿会存活或是无法存活。不论是否能存活，提出一个能随时间推移提升种群数量的方法。除一页的摘要和完整论文外，准备一封一页的给野生动物部的官员的信，介绍你的结果。以下表格显示了研究过程中的种群及变化数量：
（表1：这是大烟山国家公园地区麋鹿数量的消长数据，以当前此地区的麋鹿数量结束。第一列翻译：年份；引入数；出生数；死亡数：被偷猎、生病、事故、被天敌所食、未知原因；麋鹿总数。）
（数据建模+微分方程）
2014年
Problem A:通勤列车的负载问题
在中央车站,经常有许多的联系从大城市到郊区的通勤列车“通勤”线到达。大多数火车很长(也许10个或更多的汽车长)。乘客走到出口的距离也很长，有整个火车区域。每个火车
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车厢只有两个出口,一个靠近终端,因此可以携带尽可能多的人。每个火车车厢有一个中心过道和过道两边的座椅，一边每排有两个座椅，另一边每排有三个座椅。走出这样一个典型车站,乘客必须先出火车车厢,然后走入楼梯再到下一个级别的出站口。通常情况下这些列车都非常拥挤,有大量的火车上的乘客试图挤向楼梯，而楼梯可以容纳两列人退出。大多数通勤列车站台有两个相邻的轨道平台。在最坏的情况下,如果两个满载的列车同时到达,所有的乘客可能需要很长时间才能到达主站台。建立一个数学模型来估计旅客退出这种复杂的状况到达出站口路上的时间。假设一列火车有n个汽车那么长,每个汽车的长度为d。站台的长度是p，每个楼梯间的楼梯数量是q。使用您的模型具体来优化(减少)前往主站台的时间，有如下要求:
要求1. 一个满载乘客的火车，所有乘客都要出火车。所有乘客都要出楼梯抵达出主站台。 要求2. 两个满载列车的乘客都要出车厢(所有乘客出到一个公用站台),所有乘客都要出楼梯抵达出主站台。
要求3. 如果你能重新设计楼梯沿着站台的位置，那么这些楼梯应放置在哪,以缩短一列或两列火车的乘客出站所用的时间?
要求4. 乘客到达出主站台的路上所用的时间跟构建楼梯的台阶数有怎样的关系? 要求5. 如果楼梯可以容纳K个人，那么时间会如何变化？（k是大于1的整数） （物理题[类比水流]）
Problem B:下一场瘟疫?
在2014年，世界看到了感染埃博拉病毒在西非蔓延。纵观人类历史，流行病来了又走，有些感染带到来然后杀死成千上万的人并且持续数百年，另外一些流行病导致少量的人员伤亡的。一些人认为，这些事件只是大自然控制物种的生长方式，而其他人则认为，这可能是一个阴谋，或者是故意行为造成伤害。这个问题很可能会归咎到如何花费（或不花费）稀缺资源（医生，防护设施，资金，科研，精华素等），以应对危机。 A部分：
一个常见的人道主义报道：在印度尼西亚的一个岛上的一个小村庄，那里的300名居民中几乎有一半都出现了类似的症状。在过去的一周，15个“传染者”已经死亡。这个村与附近的村庄和其他岛屿进行交易而出名。您的建模团队工作的疾病控制的一个主要中心是在贵国的首都（或者，如果你喜欢，可以说是国际世界卫生组织）。
要求1：建立一个数学模型执行以下功能:如何/何时最佳分配这些稀缺资源；确定和分类的疾病传播的类型和严重程度；确定疫情是否受控（爆发）；适当的措施（什么时候治疗，什么时候运送受害者，什么时候限制转移，什么时候让疾病听其自然，等等）去控制某种疾病。 注意：此时你可能要开始使用著名的“SIR”模型或该模型的部分，或者考虑别的修正后的SIR模型，多个模型，或者创建自己的模型。
要求2：根据所给出的信息、你的模型以及你的团队所做的假设，你的团队需要为你的国家疾病预防控制中心给出哪些初步建议？（3-5给出建议，理由）
附加态势信息：多国研究小组花7天聚集在村里被感染后的信息返回给你的国家首都。 要求3：你可以要求问他们3个问题，以改进你的模型。你需要问什么问题和原因？ 附加情境信息：多国研究小组得出结论一致认为，本病： -出现传播是通过与受感染者的体液接触 -如果感染，老人和儿童更容易感染 -附近的岛上开始出现类似感染的迹象 -一个研究者返回到贵国首都出现感染
要求4：如何根据以上的附加信息改版/修改模型？
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要求5：写下你的发现，为当地的非技术广播电台(或电视台)提供新闻稿。 （微分方程+差分方程）
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