??=-1+??,
2
由{(t为参数),可得直线的普通方程为x+y-2=0.
√2??=3-??
2√2所以圆心C(1,0)到直线x+y-2=0的距离d=√22
|1+0-2|√1+1=2.
√2所以|AB|=2√1-(2)=√2. 所以S△ABC=·|AB|·d=×√2×
12
12
√22
=.
2
2
12
7.(2016·全国1·文T15)设直线y=x+2a与圆C:x+y-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为 . 【答案】4π
【解析】圆C的方程可化为x+(y-a)=2+a,直线方程为x-y+2a=0, 所以圆心坐标为(0,a),半径r=a+2,圆心到直线的距离d=为π(2+a)=4π.
8.(2016·上海·理T3)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离是 . 【答案】5 【解析】d=|C1-C2|√A2+B22
2
22
2
2
2|??|2??22
.由已知(√3)+=a+2,解得a=2,故圆C的面积
2√22√5=
|-1-1|√22+12=5.
22
2
2√59.(2016·浙江·文T10)已知a∈R,方程ax+(a+2)y+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .
【答案】(-2,-4) 5
【解析】由题意,可得a=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x+y+4x+8y-5=0,即(x+2)+(y+4)=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x+4y+4x+8y+10=0,(x+2)+(y+1)=-4不表示圆.
10.(2016·天津·文T12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为5,则圆C的方程为 . 【答案】(x-2)+y=9
【解析】设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),则r=√22+5=3. 故圆C的方程为(x-2)+y=9.
11.(2016·全国3·理T16文T15)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x+y=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
2
5
4√5|2a|√5=
4√5?a=2.又点5M(0,√5)在圆C上,则圆C的半径
【答案】4
【解析】因为|AB|=2√3,且圆的半径R=2√3,
|????|
所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-√3=0的距离为√??2-()=3.
2
2由|3??-√3|√??2+1=3,解得m=-.
3
√3√3将其代入直线l的方程,得y=3x+2√3,即直线l的倾斜角为30°. 由平面几何知识知在梯形ABDC中, |CD|=
|????|
=4. ??????30°12.(2015·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】(x-1)+y=2
【解析】(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P的直线系方程.
当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大.
22
此时,半径为|AP|=√(2-1)+(-1-0)=√2.
2
2
故所求圆的标准方程为(x-1)+y=2.
(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=当m<0时,1+??2+1<1,故1+??2+1无最大值; 当m=0时,r=1;
当m>0时,m+1≥2m(当且仅当m=1时取等号). 所以r≤√1+1=√2,即rmax=√2, 故半径最大的圆的方程为(x-1)+y=2. 13.(2015·全国1·理
x2y2
T14)一个圆经过椭圆+=1164
2
2
2
22
=√??2+1√1+??2|??+1|??2+2??+1
=√1+??2+1,
2??
2??2??
的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准
方程为___________. 【答案】(x-2)+y=4
【解析】由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),
所以√(a-0)+(0-2)=4-a,解得a=2,故圆心为(2,0),此时半径r=4-2=2,因此该圆的标准方程是
2
2
32
2
25
3335
32225(x-2)+y=4.
14.(2014·重庆·理T13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)+(y-a)=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= . 【答案】4±√15
【解析】由△ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为√3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=即a-8a+1=0,可求得a=4±√15.
15.(2014·陕西·理T12)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 .
【答案】x+(y-1)=1
【解析】因为(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),所以圆C是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x+(y-1)=1.
16.(2011·浙江·文T12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= . 【答案】1
【解析】由题意知1×2+(-2)·m=0,即m=1.
17.(2010·全国·理T15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 . 【答案】(x-3)+y=2
【解析】由题意知A,B两点在圆C上, ∴线段AB的垂直平分线x=3过圆心C. 又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1), ∴kBC=-1.
∴直线BC的方程为y-1=-(x-2), 即y=-x+3.
y=-x+3与x=3联立得圆心C的坐标为(3,0),
22
∴r=|BC|=√(3-2)+(0-1)=√2.
2
2
2
22
2
2
22
|??+??-2|√1+??2=√3,∴圆C的方程为(x-3)+y=2.
18.(2010·全国·文T13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 . 【答案】x+y=2
【解析】圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离R=|-2|√12+122
2
22
=√2.∴圆的方程为x+y=2.
22
三、计算题
1.(2015·全国1·文T20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)+(y-3)=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围;
?????? ·?????????? =12,其中O为坐标原点,求|MN|. (2)若????
【解析】(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1. 因为l与C交于两点, 所以|2??-3+1|√1+??22
2
<1.解得3 4-√74+√7所以k的取值范围为( (2)设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=kx+1代入方程(x-2)+(y-3)=1, 整理得(1+k)x-4(1+k)x+7=0. 所以x1+x2= 4(1+??)1+?? 22 2 2 2 ,x1x2= 7 1+?? 2. ?????? ·?????????? =x1x2+y1y2 ???? =(1+k)x1x2+k(x1+x2)+1=由题设可得 4??(1+??)1+?? 22 4??(1+??)1+?? 2+8. +8=12,解得k=1, 所以l的方程为y=x+1. 故圆心C在l上,所以|MN|=2. 2.(2015·广东·理T20)已知过原点的动直线l与圆C1:x+y-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由x+y-6x+5=0,得(x-3)+y=4, 从而可知圆C1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB的中点M(x,y), 由弦的性质可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM. 故点M的轨迹是以OC1为直径的圆, 该圆的圆心为C(2,0),半径r=2|OC1|=2×3=2,其方程为(??-2)+y=(2), 3 1 1 3 32 2 2 2 2 2 2 2 32