即x+y-3x=0.

又因为点M为线段AB的中点,所以点M在圆C1内,所以√(??-3)+??2<2. 又x+y-3x=0,所以可得x>.

易知x≤3,所以3

532√552√5),F(,-).

333????33

C(2,0)为圆心,2为半径的圆弧?(如图所示,不包括两个

2

2

22

2

535

22

5

又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0), 当直线L与圆C相切时,由2√5|??(-4)-0|√??2+1

32=2,得k=±4. 33

又kDE=-kDF=-

0-(-3)54-3=7,结合上图可知当k∈{-4,4}∪[-7,7]时,直线

2√5332√52√5L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.

3.(2014·全国1·文T20)已知点P(2,2),圆C:x+y-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程;

(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积. ?????? =(x,y-4),?????? =(2-x,2-y). 【解析】设M(x,y),则?????????????? ·?????????? =0, 由题设知????

故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)+(y-3)=2. 由于点P在圆C的内部,

所以M的轨迹方程是(x-1)+(y-3)=2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.

由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-3,故l的方程为y=-3x+3. 又|OM|=|OP|=2√2,O到l的距离为5,|PM|=5,所以△POM的面积为5. 4.(2013·江苏·T17)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在

4√104√1016

1

1

8

2

2

2

2

2

2

l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

【解析】(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3, 由题意,|3k+1|√k2+1

=1,解得k=0或k=-, 34故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.

(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)+[y-2(a-2)]=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO,

222

所以√x2+(y-3)=2√x2+y2,化简得x+y+2y-3=0,即

2

2

x+(y+1)=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.

由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,

2

即1≤√a2+(2a-3)≤3.

22

由5a-12a+8≥0,得a∈R; 由5a-12a≤0,得0≤a≤.

所以点C的横坐标a的取值范围为[0,5].

12

2

2

125