学校代码：_ 11059___ 学 号：0907022036
Hefei University
毕业论文（设计）
BACHELOR DISSERTATION
论文题目：______ 复变函数在通信工程中的应用_______
学位类别：________________理学学士__________________ 学科专业：____________数学与应用数学_________________ 作者姓名：_______ 易顺__________________________ 导师姓名：___________ 王贵霞_________________________ 完成时间：________ 2013年4月12日_________________
复变函数在通信工程中的应用
中 文 摘 要
随着现代科学技术理论的发展，学科间的联系越来越密，通过相互协助，为了使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷地解决，因此本论文研究的目的是使物理学中（本文指通信工程）的问题得到简化并建立一定的模型和一整套思路.
复变函数作为处理信号与系统的处理工具，在通信工程中起着极大的作用，本文在对复变函数及通信工程的有关定理研究的基础之上，得出了复变函数中的Fourier变换和Laplace变换及其逆变换在对处理通讯信号的表现形式上的运用方法.使物理中复杂抽象的信号转变为可以精确描述的数学函数，从而大大弱化了人们从事物理研究的难度.
关键词：Fourier变换；Laplace变换；积分；信号
The Application of Complex Function in Communication
Engineering
ABSTRACT
With the development of modern scientific and technological theories, the relations among disciplines have become closer and closer. Mutual assistance can simplify the complex problems so as to solve them quickly and conveniently. Therefore, this paper here aims to simplify those problems in physics to build a certain model and construct a systematical way of thinking.
As a tool in dealing with signals and systems, complex function plays an exceedingly significant role in communication engineering. Based on the theorem research related to complex function and communication engineering, this paper has concluded the methods used in dealing with forms of communication signals through Fourier transformation，Laplace transformation and its inverse transformation in complex function. Thus, complicated and abstract signals in physics can be converted to precisely descriptive mathematical function, which will lower the difficulty in physical researches to a large extent.
KEY WORD:Fourier transformation;Laplace transformation;integration; signal
第一章 引 言 ............................................................................................................................... 1
1.1复变函数的应用以及发展史 ............................................................................................. 1
1.1.1 复变函数的简介 ..................................................................................................... 1 1.1.2复变函数的应用 ...................................................................................................... 1 1.2 复变函数在通信工程方面的研究现状 ........................................................................... 2
1.2.1函数的应用 .............................................................................................................. 2 1.2.2信号的分类 .............................................................................................................. 3 1.2.3信号的简单处理 ...................................................................................................... 3 1.2.4通信中常用的基本函数. ......................................................................................... 4 1.3 本文研究的主要内容和结构安排 ................................................................................... 5 第二章 Fourier积分和Fourier变换 ........................................................................................ 6
2.1 Fourier积分 .................................................................................................................... 6 2.2 Fourier变换 .................................................................................................................... 7 第三章 Fourier变换在信号分析中的应用 ................................................................................ 9
3.1确知信号的频域特征 ........................................................................................................ 9
3.1.1 周期信号的频谱分析 ............................................................................................. 9 3.1.2 非周期信号的频谱分析 ....................................................................................... 13 3.2 信号的能量谱 ................................................................................................................. 15 第四章 Laplace变换及其简单应用 ............................................................................................ 20
4.1 问题的提出 ..................................................................................................................... 20 4.2 问题的解答 ..................................................................................................................... 20 4.3 Laplace变换在信号系统中的简单应用 ...................................................................... 21 第五章 总结 ................................................................................................................................. 26 参考文献......................................................................................................................................... 27 致 谢........................................................................................................................................... 28
第一章 引 言
1.1复变函数的应用以及发展史
1.1.1 复变函数的简介
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况,它的一般形式是：a?bj，其中j是虚数单位.
多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别.因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移.它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域.
就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数论的全面发展是在十九世纪，这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的Laplace也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.
1.1.2复变函数的应用
近代有些函数论研究工作是考虑把具有某种性质的一族函数合在一起研究.
事实上，P·蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威力.从这种观点出发的研究有了很大发展.它与其他数学分支产生了较密切的联系. 复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析.但是多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具.
从柯西算起，复变函数论已有了150年的历史.它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中.它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程.复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用.[1]
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物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的发展很有影响.现如今.复变函数论中仍有不少尚待研究的课题，它将在更多数学家们的不懈努力下，继续向前发展，并将取得更多应用.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.
复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成部分.它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程.
1.2 复变函数在通信工程方面的研究现状
人类的生活离不开信息交流，尤其在信息化高度发达的今天，信息传输与人们的生产和生活更是密切相关.通信目前已成为学术界研究的热门课题，然而在对通信研究的同时，大家不能忽视一个重要的部分---数学在通信中的应用.数学推动着通信的发展，它将抽象的信息、信号等概念具体化，便于人类研究.信号是信息传输技术的工作对象，而信号主要是用函数表示，这使得信号的各种变换更加形象化.另外，数学中的极限、微积分（方程），数理逻辑，Fourier变换，Laplace变换，线性代数等知识以及数形结合、分类讨论等数学思想在通信中都起到了至关重要的作用，因此数学与通信息息相关.
复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广.可以解决一些复杂的计算问题.在物理领域的应用更是显而易见的，诸如流体力学、电磁学等领域.在通信工程中，复变函数目前更多地体现在信号与系统的学习过程中.连续时间信号的实频域分析和连续时间系统的实频域分析便是是运用Fourier级数及Fourier变换.而连续时间信号与连续时间系统的复频域分析便是运用到了Laplace变换的性质.作为复变函数中重要的Fourier变换和Laplace变换，我们足以看到复变函数在信号即通信中的实用性和研究深度. 1.2.1函数的应用
在信号传输系统中传输的主体是信号，系统所包含的各种电路、设备则是为实施这种传输的各种手段.信号是随着时间变化的物理量，一般可以表示为一个以时间为自变量的函数.所以在信号分析中，信号与函数二词常相通用.
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1.2.2信号的分类
信号可按照不同的函数形式进行分类：当信号是一确定的时间函数时，给定某一时间值，就可以确定一相应的函数值.这样的信号是确定信号，反之称为随机信号.如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除了若干不连续点外，该函数都能给出确定的函数值，这信号就称为连续信号.和连续信号相对应的是离散信号.离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值.用确定的时间函数表示的信号，又可分为周期信号和非周期信号. 1.2.3信号的简单处理
所谓对信号的处理，从数学意义来说，就是将信号经过一定的数学运算转变为另一信号.基本的处理有叠加、相乘、平移，反褶、尺度变换微分与积分等.用函数图形表示如下： (1) 相加与相乘
(2) 自变量的变换（波形变换） a、平移（时移或移位）
-1x(t) 1 1 x(t-t0) x(t+t0) 1 O 1 t -1+t0 O t01+t 0 t -1-t0 -t0 O1-t0tb、压缩与扩展
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(3) 微分与积分 微分
积分
1.2.4通信中常用的基本函数.
在通信中，基本的信号知识是分析信号与系统的基础.而基本信号大都可用
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数学的函数来表示，以下例举几个常见信号及其函数： （1）直流信号：f(t)?A(???t???) (2) 正弦信号：f(t)?Asin(?t??)
（3）有始信号：又称因果信号，指的是对某一时间点t0，当t?t0时，其值为零的信号.
（4）单位阶跃信号：?(t)??10t?0 t?0t?0,??(t)dt?1
??（5）单位冲激信号：?(t)?0（6）斜坡信号：r(t)??t0t?0 t?0（7）实指数信号：f(t)?Ae??t,(??0,t?0) （8）复指数信号：f(t)?Ae??t?j??t
?1?（9）矩形脉冲信号：g?(t)??0??（10）取样信号：Sa(t)?sint t????t???2? ????t???2?1.3 本文研究的主要内容和结构安排
本文通过将复变函数中的两个重要变换——Fourier变换和Laplace变换以及通信工程原理中的信号处理结合起来，探讨复变函数在通信工程中的应用.首先，引入Fourier积分和Fourier变换公式的来源，并结合数学函数实例体现其用法.然后再根据通信工程中的周期信号与非周期信号形式，将Fourier变换的用法体现在其实际应用中.除此之外，又由Fourier变换导出Laplace变换，并按照上述写作思路，继续描述Laplace在处理通讯信号中的应用.
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第二章 Fourier积分和Fourier变换
2.1 Fourier积分
在学习Fourier级数[2]的时候，我们已经知道，一个以为T周期的函数fT(t)TTTT如果在[?,]上满足Dirichlet条件（即函数在[?,]上满足：1，连续或只
2222TT有有限个第一类间断点；2，只有有限个极值点），那么在[?,]上就可以展成
22Fourier级数.在fT(t)的连续点处，级数的三角形式为
a0? fT(t)=+?(ancosn?t?bnsinn?t). (2.1）
2n?12T2?其中 ??，a0??2TfT(t)dt，
T?2T2Tan??2TfT(t)cosn?tdt (n?1,2,3,?)，
T?22Tbn??2TfT(t)sinn?tdt (n?1,2,3,?).
T?2而对于Fourier级数的复指数形式为
1??TfT(t)??[?2TfT(?)e?j?ntd?]ej?nt.
Tn????2事实上，利用欧拉公式
ej??e?j?ej??e?j?cos??，sin??，
22j此时，（2.1）式可写为
ejn?t?e?jn?tejn?t?e?jn?ta0?fT(t)=+?[an?bn]
22j2n?1a0?an?jbnjn?tan?jbn?jn?t =??[e?e]，
2n?122a01T如果令c0???2TfT(t)dt,
2T?2
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T1T ?[?2TfT(t)cosn?tdt?j?2TfT(t)sinn?tdt]
?T?221T ?[?2TfT(t)[cosn?tdt?jsinn?t]dt
T?21T?jn?t ??2TfT(t)edt (n?1,2,3,?)，
T?2an?jbn1Tc?n???2TfT(t)ejn?tdt (n?1,2,3,?)，
2T?2而它们可以合写成一个式子
1Tcn??2TfT(t)e?jn?tdt (n?0,?1,?2,?3,?).
T?2若令 ?0?n? (n?0,?1,?2,?3,?),则（2.1）式可写为
fT(t)?c0??[cnen?1?j?nt?c?ne?j?nt]?n????ce?jn??nt ，
也即
1??T fT(t)??[?2TfT(?)e?j?ntd?]ej?nt . (2.2)
Tn????2对于非周期函数的展开问题，将在后文在通信工程中的应用给出.
2.2 Fourier变换
Fourier积分定理[2] 若f(t)在(??,??)上满足下列条件： 1.f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件； 2.f(t)在无限区间(??,??)上绝对可积（即积分
f(t)?12??????|f(t)|dt收敛），则有
?????[?????f(?)e?j?td?]ej?td? （2.3）
成立，则左端的f(t)在它的间断点t处，应以的条件是充分的.
f(t?0)?f(t?0)来代替.这个定理
2我们已经知道，若函数f(t)满足Fourier积分定理中的条件，则在f(t)的连
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1续点处，便有（2.1)式，即f(t)?2??[?????????f(?)e?j?td?]ej?td?成立.
从（2.1）式出发，设
F(?)??则 f(t)?????f(t)e?j?tdt （2.4）
??12????F(?)ej?td? （2.5）
从上面两式可以看出，f(t)和F(?)通过指定的积分运算可以相互表达.（2.4）式叫做f(t)的Fourier变换式，可记为
F(?)?F[f(t)].
F(?)叫做f(t)的象函数.（2.5）式叫做F(?)的Fourier逆变换式，可记为
f(t)?F?1[F(?)] .
f(t)叫做F(?)的象函数.
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第三章 Fourier变换在信号分析中的应用
通信系统[3]中所用到的信号是信息的载体和表达形式，也是传输、处理的对象.根据信号参数的确知程度，可将其分为确知信号和随机信号两大类.确知信号的特征是:无论是过去、现在还是未来的任何时间，其取值总是唯一确定的，如一个正弦波形，当幅度，角频和初相均为确定值时，它就属于确知信号们就是一个完全确定的时间函数，其变换规律可以用确知的函数表达式进行描述.反之就是随机信号.
本章对常见确知信号及其变换进行介绍，将前述章节的数学理论运用于物理实践中.
3.1确知信号的频域特征
频域是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系.对任何一个事物的描述都需要从多个方面进行，每一方面的描述仅为我们认识这个事物提供部分的信息.例如，眼前有一辆汽车，我可以这样描述它方面1：颜色，长度，高度.方面2：排量，品牌，价格.而对于一个信号来说，它也有很多方面的特性.如信号强度随时间的变化规律（时域特性），信号是由哪些单一频率的信号合成的（频域特性）.
频域（频率域）——自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，也就是通常说的频谱图.频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系.
对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同.因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述.动态信号从时间域变换到频率域主要通过Fourier级数和Fourier变换实现.周期信号靠Fourier级数，非周期信号靠Fourier变换. 3.1.1 周期信号的频谱分析
在复变函数理论中，任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数
fT(t)当T???是转化而来的.为了说明这一点，我们作周期为T函数fT(t)，使
TTTT其在[?,)之内等于f(t)，而在[?,)之外按周期T延拓到整个数轴上,如图
22221所示，很明显，当T越大，fT(t)与f(t)相等的范围也越大，这表明当T???时，
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周期函数fT(t)便可转化为f(t)，即有limfT(t)?f(t)
T??f(t) 图1 t
这样，在(2.2)式中令T???时，结果就可以看成是f(t)的展开式，即
1??Tf(t)?lim?[?2TfT(?)e?j?ntd?]ej?nt
T???T?n???2当n取一切整数时，?n所对应的点便均匀地分布在整个数轴上.若相邻点的距离以??n表示，即??n??n??n?1,或T?上式又可以写为
2?,则当T???时，有??n?0,所以??n1 f(t)?lim??n?02?n????[???T2T?2 fT(?)e?j?ntd?]ej?nt??n. （3.1）
1T当t固定时，[?2TfT(?)e?j?n?d?]ej?nt是参数?n的函数，记为?T(?n)，即
2??21T?T(?n)?[?2TfT(?)e?j?n?d?]ej?nt
2??2利用?T(?n)可将（3.1）式写成
f(t)?lim??0?0n???????T(?n)??n
很明显，当??n?0，即T???时，?T(?n)??(?n)，这里
?(?n)?1??[?f(?)e?j?n?d?]ej?nt . 2???从而f(t)可以看做是?(?n)在(??,??)上的积分
f(t)???(?n)d?n.
????
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即 f(t)???(?)d?.
????1亦即 f(t)?2??[?????????f(?)e?j?t]ej?td?.
这个公式称为函数f(t)的Fourier积分公式.
对于在通信工程中，任何一个周期信号（周期为T），只要满足Dirichlet
条件，就可以展开为正交序列之和，即Fourier级数.周期信号的Fourier级数有三角形式和指数形式两种表达式，三角形式的Fourier级数表达式为
a0?（3.2） f(t)???(ancosn?1t?bnsinn?1t)
2n?1式中，?1?2?是信号基波分量的角频率，简称基频；an和bn称为Fourier系数；Ta0代表直流分量.由级数理论知，Fourier级数为
2T?a??0T?0f(t)dt?2T?a?f(t)cosn?1tdt n?1,2,?3, （3.3） ?n?0T?2T?b??nT?0f(t)sinn?1tdt?式（3.2）和式（3.3）表明任何满足Dirichlet条件的周期信号都可以分解为直流分量和一系列谐波分量的叠加，而各次谐波的分量的频率均为基频?1的整数倍.实际工程中遇到的周期函数大多满足Dirichlet条件.
指数形式的Fourier级数表达式为
f(t)?n????Fen??jn?1t
式中，复系数Fn为
1TFn??2Tf(t)e?jn?1tdt
T?2
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? -??t???A 22是n?1的函数，即F?F(n?).Fn实际上反映显然，f(t)??nn10 t为其他?? 了周期信号f(t)的Fourier级数表示式中频率为n?1的信号分量的幅度与相位，通常称之为频谱.其大小描述了幅度随时间变化的关系，称为幅度谱；其相位描述了相位随时间变化的关系，称为相位谱.指数形式的Fourier级数表明，任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数幅度（或相量）就是Fn.由于指数形式表达简洁，便于计算，且物理概念清楚，在通信中广泛应用[2].
例1已知一周期矩形信号f(t)，幅度为A，脉宽为?，周期为T，如图2所示.求f(t)的频谱Fn及其指数形式的Fourier级数.
f(t)
图2 t ? -? ?1T1?jn?tFn??2Tf(t)e1dt??2?Ae?jn?1tdt T?2T?2n??1sin()A??jn?jn?A?n??A12An??11122?Sa(1) ?(e?e2)?sin()?T(n??T2T?jn?1n?1T21)2??Sa(x)?式中， sinx称为取样函数.由此得周期矩形信号f(t)的指数Fourier级数x为 12 A?f(t)?Tn????Sa(??n??1)?ejn?1t 2据此可以画出Fn的双边频谱.显然，频谱的包络分布服从抽样函数分布规律，幅度呈衰减震荡且出现周期性的零点. 周期信号的频谱具有如下几个共同特性. （1）离散型.周期信号的频谱中各谱线是不连续的，所有频谱均由最小间隔为基频?1的谱线组成.由于谱线之间的最小间隔为基频?1，而?1?2?T,故信号的周期决定了谱线之间的最小间隔，信号周期T越大，基频就越小，谱线之间越密；反之，T越小，?1越大，谱线之间越疏.由于非周期信号可以看做是T??的周期信号，因此可以预见，非周期信号的频谱应该是连续谱. （2）谐波性.谱线只出现在基频整数倍的频率n?1位置上. （3）收敛性.即幅度衰减特性，实际上工程中遇到的绝大多数信号，其幅度谱线将随频率n?1的增加不断衰减，并最终趋于零. 3.1.2 非周期信号的频谱分析 由上文可知，令周期信号的重复周期T??，则可以将其视为非周期信号.为了描述非周期信号的频谱特性，引入了频谱密度的概念.非周期信号的频谱密度定义为F(?)?limFnT T??经推导有 F(?)??f(t)????? f(t)e?j?tdt （3.4） ??12????F(?)ej?td? （3.5） 式（3.4）和式（3.5）为一个Fourier变换对.式（3.4）称为f(t)的Fourier变换，即频谱密度函数，简称频谱.式（3.5）称为Fourier逆变换，已知频谱即可求出信号的时域表达式.时间信号f(t)与其Fourier逆变换F(?)是一一对应的关系，知其一可求另一，故简记为f(t)?F(?). 例2 已知一非周期矩形信号如图3所示，求其频谱. 13 f(t) 图3 t |t|??2?1 解：矩形脉冲信号又称门函数，表达式为G???.直接利用Fourier 0 |t|>?2?变换的定义式(4.4)求得矩形脉冲信号的频谱为 ??j?tF(?)??G?e????dt??2?1?e?2?j?tdt?e?j??2?e?j?j??22sin(???2)??Sa(??2?) 即 G?(t)??Sa(??2) 由以上得出的函数表达式即可绘出非周期矩形信号的频谱.并可知道非周期矩形信号的频谱是一个连续谱. Fourier变换是信号时域分析和频域分析的桥梁，在理论分析和工程实际中都有着广泛的应用. 例3 试求取样函数频谱密度. 解：取样函数的定义是： Sa(t)?sintt 采样函数Sa(t)的频谱密度为 F(?)?????? 1-???1??, sint?j?tedt?? 0, 其他t?可见，时域中的Sa(t)的Fourier变换是一个门脉冲函数.反之，时域中的门脉冲函数的Fourier变换一定是个Sa(?)函数.也即例2中的结果，其实这不是巧合，而是由于Fourier变换与频域的对称性而具有的结果.[4] 14 例4 正弦信号的频谱. 正弦信号可以用指数函数来表示，下面来研究指数信号Aej?0t(???t???)的傅氏变换.仿照前面的积分方法，可以求得它的傅氏变换为 F(?)?lim?Ae??????j?0t?e?j?tdt?lim?Ae?j(???0)tdt??????sin(???0)? ?lim2A??2A???(???0)???0??? 即 Aej?0t?2?A?(???0) 同样的方法可以得到 Ae?j?0t?2?A?(???0) 因为 Acos?0t?1j?0t1-j?0tAe+Ae 22根据傅氏变换的叠加性质得到 Acos?0t??A[?(???0)??(???0)] 所以，正弦信号的傅氏变换在频谱图上表示为在正负频率轴??0位置上的冲激函数[5]. 3.2 信号的能量谱 设有电流信号f(t)流经电阻R,在该电阻消耗的瞬时功率为f2(t)R.若f(t)为电压信号，则瞬时功率为f2(t)R.为了讨论方便，令R?1?.则f2(t)代表了电流或者是电压信号在1?电阻上消耗的瞬时功率.它在???t??的时间内消耗的能量为 E??f2(t)dt (3.6) ???式中E称作信号f(t)的归一化能量，简称为能量.当E??为有限值时，称f(t)为能量信号. 下面我们介绍Fourier变换的理论应用之一，即帕斯瓦定理[6]. 15 设能量信号f(t)的傅氏变换为F(?),即f(t)?F(?).则 E??????f2(t)dt???1??22|F(?)|d??|F(?)|df. (3.7) ??????2?这定理表明，信号的能量可以在时域计算也可以在频域计算. 其次，利用Fourier变换及其在通信工程理论中的应用，可描述能量在各个频率分量的分布情况，定义了能量频谱密度函数；对能量为E的能量信号f(t)，若频率函数E(?)满足 1E?2??????E(?)d???????E(?)df (3.8) 则称E(?)为f(t)的能量频谱密度函数，简称能量谱.比较式(3.7)和式(3.8)可以看出: E(?)?|F(?)|2 即，能量信号的能量谱等于信号傅氏变换的模平方.能量谱反映了信号的能量在频率轴上的分布情况.信号的能量谱只与信号的幅度谱有关,与其相位谱无关.因此不同的信号可能有相同的能量谱，但对于一个指定的信号，其能量谱是唯一的. 为了求解一个复杂信号作用于线性系统后的响应，可以先把这个复杂信号分解成许多组成此信号的分量.用来表示信号分量的函数集常用的是正交函数集.在实际生活中使用最多的正交函数集是Fourier级数.根据具体情况可化为三角Fourier级数或指数Fourier级数. Fourier变换形式详尽而确切地表达了信号分解的结果，但往往不够直观，不能一目了然.为了能既方便又确切地表示一个信号中包含有哪些分量，各分量所占的比重怎样，根据其Fourier变换形式作出其频谱图.这也是在对信号中研究用到的数形结合思想所在.任一周期信号必定可用Fourier级数表示.一般的，因为周期信号可表示为Fourier级数 f(t)?n????Fen?jn?1t，则Fourier变换F(?)?2?n????F?(??n?)，即周期信号的频 n1?谱函数是以2?F(n)为强度的冲激谱线组成. 例5 已知f(t)为周期信号，求F(?) 16 f(t)4...02...141t 图4 解：利用周期信号的Fourier变换 Fn?1?jn?tf(t)edt ??TT?12?jn?t[4Gdt?1(t)?2G1(t?1)]e??1222322sinn?n?4[2?(?1)n] ??2???，故F(?)??Tn???4sinnn?4[2?(?1)n]?(??n?). 在一定条件下，非周期信号可以看成周期信号在周期趋向无穷大时的极限.由上已知周期信号的Fourier变换式，当周期趋于无穷大时，可得非周期信号的Fourier变换式为 例6 （哈尔滨工业大学）半波余弦脉冲f(t)?Ecos换. ??t?t?j?t解：F(?)??2?Ecosedt??2?Ecoscos?tdt ????22??t?? ?2E?2coscos?tdt?E?2[cos(??)t?cos(??)t]dt 00?????t?G(t)的Fourier变???sin(??)? ?E????sin(??)??2?E?2 ????????cos ?E[??2?cos????2?2E??2]?E?2 ???1?(??)2??()2??2??2?cos??cos?????前述Fourier变换式给出了信号的时域特性与频域特性的一般关系.但还可 17 以根据Fourier的性质得出两者间的若干特定关系.这些关系揭示了信号的时域特性和频域特性之间某些方面的重要联系.其常用的性质有 线性特性：若f1(t)?F2(j?),f2(t)?F2(j?)，则 a1f1(t)?a2f2(t)?a1F1(j?)?a2F2(j?) 延时特性：若f(t)?F(j?)， 则f(t?t0)?F(i?)e?j?t0. 移频特性：若f(t)?F(j?)，则f(t)e?j?ct?F(j??j?c) 尺度变换特性：若f(t)?F(j?)，则f(at)?1???F?j? a?a? 奇偶特性：若f(t)为t的偶函数，其频谱函数仅有实部，是?的实偶函数.即 F(j?)?R(?)??f(t)cos?tdt?2?f(t)sin?tdt. ??0??若f(t)为t的奇函数，其频谱函数仅有虚部，是?的虚奇函数.即 F(j?)??jX(?)??j?f(t)sin?tdt??j2?f(t)sin?tdt. ??0??对称特性：若f(t)?F(j?)则F(jt)?2??f(??) 如果f(t)为t的偶函数，其频谱函数是?的实偶函数即f(t)?F(j?)?R(?). ()?2?f()?或若f(??)?f(?)，则Rt1R(t)?f(?)；?jX(t)??2?f(?) 2?或j1X(t)?f(?). 2?微分特性：若f(t)?F(j?)， 则 df(t)?j?F(j?); dtt??积分特性：若f(t)?F(j?)，则 ?f(?)d???F(0)?(?)?域的微分与积分特性：若f(t)?F(j?)，则 ?jtf(t)?1F(j?); j?dF(j?)及 d??f(0)?(t)?j?f(t)??F(j?)d?; ??t卷积定理：若f1(t)?F1(j?) ，f2(t)?F2(j?)，则 18 f1(t)f2(t)?1?F1(j?)*F2(j?)?; 2?信号通过系统的频域分析法主要研究信号频谱通过系统后产生的变化.因为系统对不同频率的等幅正弦信号呈现的特性不同，因而对信号中各个频率分量的相对大小将产生不同的影响，同时各个频率分量也将产生不同的相移，使得各频率分量在时间轴上相对位置产生变化.叠加所得的信号波形也就不同于输入信号的波形，从而达到对信号的处理目的. 19 第四章 Laplace变换及其简单应用 4.1 问题的提出 在上一章我们讲过，一个函数当它除了满足Dirichlet条件以外，还在 (??,??)内满足绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的函数都不 满足这个条件；其次，可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t作为自变量的函数往往在 t?0时是无意义的或者是不需要考虑的，像这样的函数都不能取Fourier变换.由此可见，Fourier变换的应用范围受到相当大的限制.那要怎么处理才能解决这个问题呢? 4.2 问题的解答 对于任意一个函数?(t)，能否经过适当地改造使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点呢？这就使我们想到了两个函数:单位阶跃函数u(t)和指数衰减函数e??t(??0)所具有的特点.用前者乘?(t)可以使积分区间由(??,??)换成 [0,??)，用后者乘?(t)就可能使其变得绝对可积，因此，为了克服Fourier变换 上述的两个缺点，我们自然会想到用u(t)e??t(??0)来乘?(t)，即 ?(t)u(t)e??t (??0) 结果发现，只要?选得适当，一般来说，这个函数的Fourier变换总是存在的.对函数?(t)进行先乘以u(t)e??t(??0)，再取Fourier变换的运算，就产生了Laplace变换. 对函数?(t)u(t)e??t(??0)取Fourier变换，可得 G?(?)???(t)u(t)e??te?j?tdt???? =?其中 ??0f(t)e?(??j?)tdt???? 0f(t)edt?sts???j?， f(t)??(t)u(t) . 若再设 20 F(s)?G?(s??) .. j则得 F(s)????0f(t)e?stdt . 由此式所确定的函数F(s)，实际上是由f(t)通过一种新的变换得来的，这种变换我们称为Laplace变换. 4.3 Laplace变换在信号系统中的简单应用 设函数f(t)当t?0时有定义，而且积分 ???0f(t)e?stdt （s是一个复参量） 在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为 F(s)????0f(t)e?stdt . （4.1） 我们称（4.1）式为函数f(t)的Laplace变换式.记为 F(s)?L[f(t)] F(s)称为f(t)的Laplace变换（或称为象函数）. 若F(s)是f(t)的Laplace变换，则称f(t)为F(s)的Laplace逆变换（或称为象原函数），记为 f(t)=L-1[F(s)]. 由（4.1）式可以看出，f(t)(t?0)的Laplace变换，实际上就是f(t)u(t)e??t的Fourier变换. 下面我们通过一个例题简单展示一下Laplace变换在周期信号中的应用. 0?t?b?t 例7 求周期三角波f(t)??且f(t?2b)?f(t)的Laplace变 b?t?2b ?2b?t 换. 21 f(t) b b 2b t 图5 解：根据Fourier变换的思路及形式，以及结合前述章节关于Laplace变换在信号处理中的理论有: L[f(t)]????02bf(t)e?stdtf(t)edt??2(k?1)b ?? =?st4b02bf(t)edt???st6b4bf(t)edt?????st2(k?1)b 2kbf(t)edt???st??k?0??2kbf(t)e?stdt 令t???2kb,则 ?而 2(k?1)b2kbf(t)edt???st2b0f(??2kb)e?s(??2kb)d?=e?2kb?2b0f(?)e?s?d?， ?所以 2b0f(t)edt??tedt??(2b?t)e?stdt?0b?stb?st2b1(1?e?bs)2 2sL[f(t)]??ek?0???2kbs?2b0f(t)edt=??st2b0f(t)edt?(?e?2kbs)?stk?0?? 由于当Re(s)?0时， |e?2bs|?e?2?b?1， 所以 ?(e?2kbs)?k?0??1， ?2bs1?e 22 从而 1L[f(t)]?1?e?2bs ?2b0f(t)e?stdt=1?bs21(1?e)21?e?2bss 1(1?e?bs)21(1?e?bs) =2=s(1?e?bs)(1?e?bs)s2(1?e?bs) 一般地，以T为周期的函数f(t)，即f(t?T)?f(t)(t?0)，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则有 L[f(t)]?11?e?sT?T0f(t)e?stdt (Re(s)?0) 成立.这就是求周期函数的Laplace变换公式. Laplace变换可看成是Fourier变换在复变数域中的推广.与Fourier变换类似，对于Laplace变换式中每一对正、负?的指数分量决定一项变幅度的“正弦振荡”，其幅度也是一无穷小量，且按指数规律随时间变化.与Fourier变换中一样，这些振荡的频率是连续的，并且分布及于无穷.通常称s为复频率，并把 F(s)看成是信号的复频谱. 例8 因果信号f1(t)?e?tu(t)，求其Laplace变换. 解：FB1(s)???0e?(s??)t1?t?steedt??[1?lime?(???)te?j?t] t???(s??)0s??? ?1,Re[s]?????s??? ????????? ?? 可见，对于因果信号，仅当Re[s]????时，其拉氏变换存在.收敛域如图所示. 图6 23 Laplace变换建立了信号在时域和复频域之间的对应关系，为今后更方便对系统进行分析，在此了解其一些基本性质 线性性质：设L?f1(t)??F1(s),L?f2(t)??F2(s),a1，a2为任意常数，则 L?a1f1(t)?a2f2(t)??a1F2(s)?a2F2(s). 尺度变换：设 L?f(t)??F(s)，则当a?0时有L?f(at)??时间平移：设L?f(t)??F(s)，则 L?f(t?t0)??F(s)e?st0 频率平移：设L?f(t)??F(s)，则 L?f(t)es0t??F(s?s0) 时域微分：设L?f(t)??F(s)，则 ?dnf(t)?nn?1?n?2?(n?1)L?(0?). ??sF(s)?sf(0)?sf?(0)?L?fn?dt?1?s?F?? a?a?如果函数为有始函数，上式可简化为 ?df(t)? L???sF(s),?dt??dnf(t)?nL???sF(s). n?dt?时域积分：设L?f(t)??F(s)，则 L??t0f(?)d???F(s). s复频域微分与积分：设L?f(t)??F(s)，则 L?tf(t)???F(s)，2s??f(t)?L????sF(s)ds. ?t?对参变量微分与积分：设L?f(t,a)??F(s,a),a为参数,则 ??f(t,a)??F(s,a)及LL????a??a???a1a2f(t,a)da??F(s,a)da. a2?a1初值定理：设函数f(t)及导数f?(t)存在，并有Laplace变换，则f(t)的初 f(t)?limsF(s). 值为 f(0?)?lim?t?0t??终值定理：设函数f(t)及导数f?(t)存在，并有Laplace变换，且F(s)的所 24 有极点都位于s左半平面内，则f?t?的终值为 f????limf?t??limsF?s?. t??s?0 实频域卷积定理（实卷积定理）设L?f1(t)??F1(s),L?f2(t)??F2(s)则 L?f1(t)*f2(t)??F1(s)*F2(s)或L?1?F1(s)*F2(s)??f1(t)*f2(t). 复频域卷积定理（复卷积定理）设L?f1(t)??F1(s),L?f2(t)??F2(s),则 L?f1(t)*f2(t)??12?j?F1(s)*F2(s)?. 通过变换将时域中的积分微分方程变成复频域中的代数方程，在复频域中进行代数运算后则可得到系统响应的复频域解，将此解再经反变换则得到最终的时域解.在这种变换过程中，反应系统储能的初始条件可自动引入，运算较为简单，所得的响应为系统全响应.从信号分解的角度看Laplace变换（s域模型的建立）,在Laplace变换中激励被分解为无穷多个具有est形式的指数分量之和.如果能求得系统对每一指数分量所产生的响应，叠加后再变换到时域，同样可以求得零状态响应.对于具体的电路系统，不需列写电路的微分方程也可以求解.方法是建立电路的s域模型（即所有电量用其Laplace变换表示，元件的约束用其运算阻抗表示，储能元件的初始储能用等效源的Laplace变换表示）.这样由基尔霍夫定律的运算形式，可以由s域电路模型直接列写出s域的方程来求解. 25 第五章 总结 本文的目的是在掌握复变函数相关理论的基础之上，将其应用于物理实践上的研究，使物理学中（本文指通信工程）的问题得到简化并建立一定的模型和一整套思路.总结出动态信号从时间域变换到频率域主要通过Fourier级数和Fourier变换实现.周期信号靠Fourier级数，非周期信号靠Fourier变换等一系列结论.研究意义在于有助于我们从数学的角度审视实际问题，拓宽我们的思维并且为社会提供更有力的帮助! 26 参考文献 [1]沈惠川,Dirac-pauli表象的复变函数理论及其在流体力学中的应用（1）[J]应用数学和力学,1986, No.4. [2]张元林.积分变换[M]. 北京:高等教育出版社,2003. [3]罗纳德·N·布雷斯韦尔.Fourier变换及其应用[M].西安：西安交通大学出版社,2005. [4]粟向军,赵娟.通信原理[M].北京:清华大学出版社,2011. [5]王素珍,贺英,汪春梅,王涛,李改梅.通信原理[M].北京:北京邮电大学出版社,2010. [6]李宗豪.基本通信原理[M]. 北京:北京邮电大学出版社,2006. 27 致 谢 本论文是在导师王贵霞教授的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严于律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！ 2013 易顺 年5月于合肥学院28