个旋量场.
在空间坐标的转动变换下，矢量r作变换 r??Rr 而标量场??r?的作变换：
?(R)?(r?) ??(r?)?P0?(R)是与变换R相联系的标量场的转动算符. 由于??r?在转动其中P0?变换下保持不变, 所以有
?(R)?(r?)=P?(R)?(Rr)??(r)??(R?1r?) ??(r?)?P00或
??R???r????R?1r? P0 （4）
上式说明，转动后函数??r?在Rr处的值与转动前在r处的值是相等的.
对于旋量场??r?(mm??11,)，在空间坐标作旋转R?SO?3?时，除22了其自变量r要作如(4)式所示的变换外，?m?r?的各分量亦要按(2)式作变换，所以对于旋量场，其变换形式应为：
1
????R???r?P?1???2?m?m???212D2?R?mm??m??Rr?,
?11
11???m,m??,?. ?22?? （5）
对于矢量场Am?r??m??1,0,1?，其变换形式为：
?RAr???P?1?????m1?m???1D?1??R?mm?Am??Rr?,
?11 （6） ?m,m???1,0?,.
一般情况下，如果场?m有2l?1个分量， 即m??l, ?l?1, ??, l，则在坐标转动变换下其变换形式为:
??R?????P?l?m
l?m???lD?l? (m,m???l, ?l?1, ??, l). (7) ?R?mm??m??R?1r?，13
通常称?m?r?为l阶旋量场. 按照这种定义，标量场为零阶旋量场，二分量旋量场为阶旋量场，矢量场为1阶旋量场.
21??R?[R?SO(3)]的表达式. 先求P?R?, 为??R?与P下面，我们来求P1002此考虑绕z轴的旋转.
?cos?? Rz????sin???0?而?cos???1 Rz?????sin???0?sin?cos?00??0.?1???sin?cos?00??0 ?1??
则由(4)式知：
??R???r????R?1r?P0zz ???xcos??ysin?,?xsin??ycos?,z? ????,?,? （8）
?其中
??xcos??ysin?，???xsin??ycos?，??z (9)
在(8)式两边对?求导得：
??R???x,y,z??????,?,?P0z??????
???????????????????,?,????????????????????????????,?,????????
?
??R??y??x????x,y,z?. P0z???x?y???(R)?(x,y,z)??(?,?,?) P0z由于?(x,y,z)是任意的，所以由上式可得：
14
其中
?(R)?P0z???(R)(?iL?) ?P0zz
???i(x??y?) Lz?y?x为轨道角动量的z分量算符，于是得：
P?(R)?e?i?L?z0z. (10)
这就是与Rz(?)对应的函数变换算符. 由(8)式知：
?(R?1zr)?e?i?L?z?(r). (11)
一般情况下，若坐标系作旋转R(?,?,?)，则由于
R(?,?,?)=Rz(?)Ry(?)Rz(?)，
则与其相应的函数变换算符为：
P?(R)?e?i?L?ze?i?L?y?i?L?z0e. (12)
下面再来求旋量场的函数变换算符P?1?R?. 2在R?SO(3)的坐标旋转变换下，旋量场的变换按(5)式变换，即??????1?1?r?11?Rr??
P?2?(2)?2?1?R????D?R??? （13）
2??r?1???????11?Rr??2???2?设R是绕z轴作转角为?的转动，则由(11)式知
????i?Lz???R11zr??e??1?r? ?22? （14）
???1?R?1zr?i?Lz????e?2?1?r?2这样(13)式变为
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??1?r??1?()?2??i?Lz2P1?Rz????D?Rz?e?r2??1????2????1?r???2????1?r?????2?
而由§5.4节(6)式知：
i???2()?e?D2??,0,0????0?1D(12)?Rz??0???i?e2??k?k?i?????1?2???k!?0k0???1?k
这样
因此
??k?i?i????z????z?2??e2k!
??1?r????1?r????1??i??L??zz???2??22??P1?Rz???e??? ?r?r2??1?????1????2??2????R??e?i?J?zP1z2.
其中
??L??1?Jzzz2为总角动量（轨道＋自旋角动量）算符的第三分量.
在一般情况下，相应于转动R??,?,??，旋量场的变换算符为
???,?,?P12??e?i?J?ze??i?Jye??i?Jz,
其中J?y是总角动量算符的第二分量.
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