2018年全国各地中考数学试题《平行四边形》解答题试题汇编(含答案解析) 下载本文

∴∠CAG=∠FGA, ∴AC∥FG, ∵DE⊥AC, ∴FG⊥DE, ∵FG⊥BC, ∴DE∥BC, ∴AC⊥BC,

∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED, ∵F是AD的中点,FG∥AE, ∴H是ED的中点,

∴FG是线段ED的垂直平分线, ∴GE=GD,∠GDE=∠GED, ∴∠CGE=∠GDE, ∴△ECG≌△GHD;

(2)证明:过点G作GP⊥AB于P, ∴GC=GP,而AG=AG, ∴△CAG≌△PAG, ∴AC=AP,

由(1)可得EG=DG, ∴Rt△ECG≌Rt△GPD, ∴EC=PD,

∴AD=AP+PD=AC+EC; (3)四边形AEGF是菱形, 证明:∵∠B=30°, ∴∠ADE=30°, ∴AE=AD, ∴AE=AF=FG, 由(1)得AE∥FG,

∴四边形AECF是平行四边形,

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∴四边形AEGF是菱形.

【点评】本题属于四边形综合题,主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用,利用全等三角形的对应边相等,对应角相等是解决问题的关键.

5.(2018?重庆)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.

(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积; (2)若∠ACB=45°,求证:DF=

CG.

【分析】(1)利用勾股定理即可得出BH的长,进而运用公式得出△ABE的面积; (2)过A作AM⊥BC于M,交BG于K,过G作GN⊥BC于N,判定△AME≌△BNG(AAS),可得ME=NG,进而得出BE=可得AF=CE,即可得到DF=BE=

CG.

GC,再判定△AFO≌△CEO(AAS),

【解答】解:(1)∵AH=3,HE=1, ∴AB=AE=4,

又∵Rt△ABH中,BH=∴S△ABE=AE×BH=×4×

==

, ;

(2)如图,过A作AM⊥BC于M,交BG于K,过G作GN⊥BC于N,则∠AMB=∠AME=∠BNG=90°,

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∵∠ACB=45°,

∴∠MAC=∠NGC=45°, ∵AB=AE,

∴BM=EM=BE,∠BAM=∠EAM, 又∵AE⊥BG,

∴∠AHK=90°=∠BMK,而∠AKH=∠BKM, ∴∠MAE=∠NBG,

设∠BAM=∠MAE=∠NBG=α,则∠BAG=∠45°+α,∠∴AB=BG, ∴AE=BG,

在△AME和△BNG中,

∴△AME≌△BNG(AAS), ∴ME=NG,

在等腰Rt△CNG中,NG=NC, ∴GC=NG=ME=

BE,

∴BE=

GC,

∵O是AC的中点, ∴OA=OC,

∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,

∴∠OAF=∠OCE,∠AFO=∠CEO, ∴△AFO≌△CEO(AAS), ∴AF=CE,

∴AD﹣AF=BC﹣EC,即DF=BE, ∴DF=BE=

CG.

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BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α,

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形,利用全等三角形的对应边相等得出结论.

6.(2018?北京)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH. (1)求证:GF=GC;

(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.

【分析】(1)如图1,连接DF,根据对称得:△ADE≌△FDE,再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG,可得结论;

(2)证法一:如图2,作辅助线,构建AM=AE,先证明∠EDG=45°,得DE=EH,证明△DME≌△EBH,则EM=BH,根据等腰直角△AEM得:EM=

AE,得结论;

证法二:如图3,作辅助线,构建全等三角形,证明△DAE≌△ENH,得AE=HN,AD=EN,再说明△BNH是等腰直角三角形,可得结论. 【解答】证明:(1)如图1,连接DF, ∵四边形ABCD是正方形, ∴DA=DC,∠A=∠C=90°,

∵点A关于直线DE的对称点为F, ∴△ADE≌△FDE,

∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,

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