第二十六章 二次函数

教学目标：

1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．

2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

重点：解二次函数的有关概念

难点：解二次函数的有关概念的应用

26．1 二次函数

本节知识点

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． 教学过程

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]

例1． m取哪些值时，函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是以x为自变量的二次函数？

2分析 若函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是二次函数，须满足的条件是：m?m?0．

222222解 若函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是二次函数，则 m?m?0． 解得 m?0，且m?1．

因此，当m?0，且m?1时，函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是二次函数． 回顾与反思 形如y?ax?bx?c的函数只有在a?0的条件下才是二次函数．

探索 若函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

- 0 -

222222（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 S?6a(a?0)，其中S是a的二次函数；

2x2(x?0)，其中y是x的二次函数； （2）由题意，得 y?4?（3）由题意，得 y?10000?1.98%x?10000（x≥0且是正整数），

其中y是x的一次函数； （4）由题意，得 S?11x(26?x)??x2?13x(0?x?26)，其中S是x的二次函数． 22例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一

个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积． 解 （1）S?15?4x?225?4x(0?x?222215)； 2 （2）当x=3cm时，S?225?4?3?189（cm2）． [当堂课内练习]

1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y?x?0 （3）y?x?22（2）y?(x?2)(x?2)?(x?1)

21 （4）y?x2?2x?3 x22．当k为何值时，函数y?(k?1)xk2?k?1为二次函数？

3．已知正方形的面积为y(cm)，周长为x（cm）． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数． [本课课外作业]

A组

1． 已知函数y?(m?3)xm22?7是二次函数，求m的值．

2． 已知二次函数y?ax，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为

3，求此时的y．

4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这

个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

B组

- 1 -

5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A．y?(m?1)x B．y?(m?1)x C．y?(m?1)x D．y?(m?1)x 6．下列函数关系中，可以看作二次函数y?ax?bx?c（a?0）模型的是 （ ）

A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D． 圆的周长与圆的半径之间的关系

课堂小结：

教学反思：

22222222226.2 二次函数的图象与性质（1）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．

- 2 -

2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．

重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质

本节要点

会用描点法画出二次函数y?ax的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学过程：

我们已经知道，一次函数y?2x?1，反比例函数y? ，那么二次函数y?x的图象是什么呢？

（1）描点法画函数y?x的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

（2）观察函数y?x的图象，你能得出什么结论？

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有点？有何不同点？

（1）y?2x 解 列表 x … … -3 18 -18 -2 8 -8 -1 2 -2 0 0 0 1 2 -2 2 8 -8 3 18 -18 … … … 抛物线，

223的图象分别是 、 x222何共同

（2）y??2x

2y?2x2 y??2x2 … 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是如图26．2．1．

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：y?2x的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对

边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右

2称轴的左上升． 称轴的左

y??2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对

边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知y?(k?2)xk2?k?4是二次函数，且当x?0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴．

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