大学物理学——振动和波
振 动
内容提要
班级 学号 姓名 成绩
1、简谐振动的三个判据
（1）；（2）；（3）
2、描述简谐振动的特征量： A、T、?；??1T，??2??2??T
3、简谐振动的描述：（1）公式法 4、简谐振动的速度和加速度：v；（2）图像法；（3）旋转矢量法
?dx????Asin(?t??0)?vmcos(?t??0?)； dt2d2xa= ?-?2Acos（?t??0）?a（m?t??0??）2dt5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例
弹簧振子：，
单摆小角度振动：，
Jd2?mgh????0复摆：,T=2
mghJdt27、简谐振动的能量：E
121kA?m?2A2 22112222系统的动能为：EK?mv?m?Asin（?t??）；
2212122系统的势能为：EP?kx?kAcos(?t??）
22?8、两个简谐振动的合成
（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成
合振动方程为：x ?Acos（?t??）其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成
拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：???2-?1
＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成
合振动方程：
x2y22xy2??cos(?2??1)?sin（?2-?1），为椭圆方程。 22A1A2A1A2
练习一
一、 填空题
1．一劲度系数为k的轻弹簧，下端挂一质量为m的物体，系统的振动周期为T1。若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐的三个特征量为：A＝ ；
振动
?? ;?? 。
3．如图，一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J＝为 。
4．试在下图中画出谐振子的动能、振动势能和机械能随时间而变化的三条曲线（设t＝0时物体经过平衡位置）。
5．图中所示为两个简谐振动曲线。若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为 。
已
ml2/3，此摆作微小振动的周期
二、计算题
1、水面上浮沉的木块是在作简谐振动吗？如果是，其周期是多少？假设木块的边长为L，平衡时浸入水中的高度为h。
2、弹簧振子的运动方程为x?0.40cos(0.7t?0.30)(SI),写出此谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相。
3、一个弹簧振子沿x轴作简谐振动，已知弹簧的劲度系数为k?15.0N/m，物体质量为m=0.1kg，在t=0时物体对平衡位置的位移x0
4、一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时刻质点向x正向运动。求： (1)简谐振动的运动方程；
(2)t=T/4时，质点的位移、速度、加速度。
5、有一个质点参与两个简谐振动，其中第一个分振动为x1求第二个分振动。
?0.05m，速度v0??0.82m/s。写出此简谐振动的表达式。
?0.3cos?t，合振动为x?0.4sin?t，
6、一弹簧振子，弹簧的劲度系数k＝25N·m ，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，求： （1）振幅
（2）位移是多大时，势能和动能相等？ （3）位移是振幅的一半时，势能是多大？
－1
大学物理学——振动和波
波 动
班级 学号 姓名 成绩
内容提要
1、波动的描述
（1）波的几何描述：波线、波面、波前；在各项同性介质中，波线总垂直于波面。 （2）描述波动的物理量波长?、波的周期T、波速u，三者的关系为： 2、波线上两点之间的波程l，两点振动的相位差为:
3、平面简谐波的波动方程（式中负号对应于正行波，正号对应于反行波）
；
4、波的能量和能流
；
xw?wk?wp??A2?2(?V)sin2?（t-）u （1）波的能量： 体积元的总机械能为：
??（2）平均能量密度：
?w122??A??v2
I?(3)平均能流密度：5、波的干涉
P1??u?A2?2?u?S2
（1）波的干涉条件：两列波的振动方向相同、频率相同和相位差恒定。 （2）干涉加强、减弱条件：
为干涉极大点；
若
6、驻波和半波损失：
为干涉极小点。
（1）驻波方程：
y?y1?y2?2Acos2??xcos?t
cos（2）波腹
2??x?1，
2???k?，
x?k?2，?2，，k=0，?1
cos波节
2??x=0，
2?（2k?1）?=2??（2k?1），k?0，?1，?24，x
?（3半波损失：波从波疏介质入射到波密介质，在分界面处反射时，反射点有半波损失，即有相位π的突变，出现波节；波从波密介质入射到波疏介质，反射点没有半波损失，出现波腹。
＊7、多普勒效应：若波源、观察者或两者同时相对介质运动时，观察者所接收到的频率不同于波源的频
率。若波源的频率为：
?0?vsu?，则观察者接收到的频率为：
为波源相对介质的速度。
?R?u?vR?0u-vsv。其中，u为波速，R为
观察者相对介质的速度；
练习二
一、选择题
1．一平面简谐波表达式为y??0.05sin?(t?2x)(SI)，则该波的频率?（Hz）、波速u(m/s)及波
线上各点的振幅A（m〉依次为（ ）。
（A） 1，1，－0.05 （B） 1, 1,-0.05 (C) 1,1,0.05 (D) 2,2,0.05
22222
2． 把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端，维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐运动，则（ ）。
（A）振动频率越高，波长越长 （B）振动频率越低，波长越长 (C)振动频率越高，波速越大 （D）振动频率越低，波速越大
3．一平面简谐波沿Ox正方向传播，波动方程为y?0.10cos[2?(?)?的波形图是（ ）。
t2x4?2](SI)，该波在t＝0.5s时刻
4.
一平面谐波在弹性介质中传播，在介质元从最大位移处返回平衡位置的过程中（ ） （A）它的势能转换为动能 （B）它的动能转换为势能
（C）它从相邻一段介质元中获得能量，其能量逐渐增加。 （D）它把自己的能量传给相邻的一段介质元，其能量逐渐减少。
二、填空题
1．已知14℃时空气中的声速为340 m／s，人可以听到频率为20～20 00OHz范围内的声波，可以引起听觉的声波在空气中波长的范围约为 。
2．在简谐波的一条射线上，相距0.2 m的两点的振动相位差为?为 ；波速为 。
3．一平面简谐波沿Ox轴传播，波动方程为
/6，又知振动周期为
0.4s，则波长
y?Acos[2?(?t?x/?)??]，则x1?L处介质质点振
动的初相位是 ；与x1处质点振动状态相同的其他质点的位置是 ；与x1处质点速度大小相同，但方向相反的其他各质点的位置是 。
4．—球面波在各向同性均匀介质中传播，已知波源的功率为100 W，若介质不吸收能量，则距波源10m处的波的平均能流密度为 。
5．机械波在介质中传播，当某一质元振动动能相位是?
6．一驻波中相邻两波节的距离为d=5.00cm，质元的振动频率为?个相干行波的传播速度u 和波长? 。
三、计算题
1、有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为λ，见下图。如果x轴上坐标为x0处质点的振动方程为
2 时，它的弹性势能的相位是 。
?1.0?103HZ，则形成该驻波的两
yx0?Acos(?t??0)，试求：(1)波动方程；(2)坐标原点处质点的振动方程；(3)原点处质点的速度
和加速度。
2、一简谐波逆着x轴传播，波速u=8.0m/s。设t=0时的波形曲线如图所示。求：(1)原点处质点的振动方程；(2)简谐波的波动方程(3)t=
3T4时的波形曲线。
3、用聚焦超声波的方法，可以在液体中产生强度达120kW/cm的超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，水的密度为103kg/m，声速为1500m/s，求这时液体质点的位移振幅、速度振幅和加速度振幅。
4、在x轴上有两个波源，S1的位置在x1=0处，S2的位置在x2=5处，它们的振幅均为a，S1的相位比S2超前π/2。假设每个波源都向x轴的正方向和负方向发出简谐波，每列波都可以传播到无穷远处，波长为λ=4。
(1)求x<0区间的合成波的振幅；(2)求x>5区间合成波的振幅。
3
2
5、速度vs?20m?s?1的火车和速度vr?15m?s?1的火车B相向行驶，火车A以频率??500HZ鸣
?1汽笛，就下列情况求火车B中乘客听到的声音频率。（设声速为340m?s（1）A、B相遇之前（2）A、B相遇之后
）
大学物理学——振动和波
振动、波动自测题
班级 学号 姓名 成绩
一、选择题（共30分）
1、一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T1和T2．将它们拿到月球上去，相应的周期分别为T1?和T2?．则有 (A) T1??T1且T2? (C) T1??T1且T2?
2、一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m的重物，其自由振动的周期为T．今已知振子离开平衡位置为x时，其振动速度为v，加速度为a．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： (A) k (C) k
3、一质点作简谐振动．其运动速度与时间的曲线如图所示．若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) ?(D)
4、一质点在x轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm，周期T = 2 s，其平衡位置取作坐标原点．若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm处的时刻为 (A) 1 s． (B) (2/3) s．
(C) (4/3) s． (D) 2 s． ［ ］
5、图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x，速度v，和加速度a．下列说法中哪一个是正确的？ (A) 曲线3，1，2分别表示x，v，a曲线； (B) 曲线2，1，3分别表示x，v，a曲线； x, v, a2 (C) 曲线1，3，2分别表示x，v，a曲线； 3 (D) 曲线2，3，1分别表示x，v，a曲线； O (E) 曲线1，2，3分别表示x，v，a曲线． ［ ］
2?mv2max/xmax． (B) k?mg/x．
?T2． (B) T1??T1且T2??T2．
?T2． (D) T1??T1 且T2??T2． ［ ］
?4π2m/T2． (D) k?ma/x． ［ ］
/6 ． (B) 5?/6． (C) ?5?/6． vm 1??/6 ． (E) 2vm O v (m/s) t (s) ?2?/3． ［ ］
1t
6、在下面几种说法中，正确的说法是： ［ ］
(A) 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的． (B) 波源振动的速度与波速相同．
(C) 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后(按差值不大于?计)．
7、一简谐横波沿Ox轴传播．若Ox轴上P1和P2两点相距?/8（其中?为该波的波长），则在波的传播过程中，这两点振动速度的
(A) 方向总是相同． (B) 方向总是相反．
(C) 方向有时相同，有时相反． (D) 大小总是不相等． ［ ］
8、下列函数f (x, t)可表示弹性介质中的一维波动，式中A、a和b是正的常量．其中哪个函数表示沿x轴负向传播的行波？ (A) (C)
9、图中画出一平面简谐波在t = 2 s时刻的波形图，则平衡位置在P点的质点的振动方程是 (A)
(D) 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前．(按差值不大于?计)
f(x,t)?Acos(ax?bt)． (B) f(x,t)?Acos(ax?bt)．
f(x,t)?Acosax?cosbt． (D) f(x,t)?Asinax?sinbt． ［ ］
y (m)0.010.005OP100u =200 m/s1yP?0.01cos[π(t?2)?π]
31yP?0.01cos[π(t?2)?π]
3(SI)． (B)
x (m)
(SI)．
1yP?0.01cos[2π(t?2)?π] (SI)．
31 (D) yP?0.01cos[2π(t?2)?π](SI)． ［ ］
3 (C)
10、如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为??的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知 S1PS1P
?2?，S2P?2.2?，两列波在P点发生相消干涉．若
S2S1的振动方程为 y1?Acos(2?t?1?)，则S2的振动方程为
21y2?Acos(2?t??)． (B) y2?Acos(2?t??)．
21(C) y2?Acos(2?t??)． (D) y2?2Acos(2?t?0.1?)． ［ ］
2(A)
二、填空题（共30分）
(1) 振子在负的最大位移处，则初相为______________________；
1、一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T，其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时，
(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为________________； (3) 振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相为______．
2、图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动．旋转矢量的长度为0.04 m，旋速度? = 4?rad/s．此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x =__________________________(SI)．
3、一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示．当振子处在位速度为-?A、加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应于________点．当振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加-?A和弹性力为-kA的状态时，应对应于曲线上的____________点．
4、一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能
是总能量的______________．（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长?l，这一振动系统的周期为________________________．
5、一平面简谐波的表达式为
2 O (t = 0) x 转角
?? A O x a d b c f e t 移为零、曲线上的速度为
-A y?Acos?(t?x/u)?Acos(?t??x/u) 其中x / u
表示_____________________________；??x/u表示________________________； y表示______________________________．
6、一列波由波疏介质向波密介质传播，在两介质的分界面上反射，则反射波的相位将________________________________，这个现象称为________________________________。
7、设沿弦线传播的一入射波的表达式为 y
y1?Acos[2?(tx?)??]T?，
B O L x 波在x = L处（B点）发生反射，反射点为固定端（如图）．设波在传播和反射过程中振幅不变，则反射波的表达式为 y2 = ________________________________．
8、如图所示，一列平面波入射到两种介质的分界面上．AB为 t时刻的波前．波从B点传播到C点需用时间?．已知波在 介质1中的速度u1大于波在介质2中的速度u2．试根据惠原理定性地画出t + ?时刻波在介质2中的波前．
9、一个波源位于O点，以O为圆心作两个同心球面，它们的半径分别为R1和R2，在两个球面上分别取相等的面积?s1和??s2，则通过它们的平均能流之比P1/P2介质1 介质2 B C A 更斯
?___________________.
10、多普勒效应指的是________________________________________________________________。
三、计算题（共40分）
1、水面上浮沉的木块是在作简谐振动吗？如果是，其周期是多少？假设木块的边长为L，平衡时浸入水中的高度为h。
2、质量为m的质点沿y轴运动，其振动方程为y＝0.06cos(5t（1）质点在起始位置时所受的力； （2）t?)m。试求：
2???s时的位移、速度和加速度；
（3）质点运动到什么位置时，动能和势能相等？
（4）质点从平衡位置移动到动能和势能相等位置处所需要的最短时间？
3、一简谐波，振动周期T?1s，波长?= 10 m，振幅A = 0.1 m．当 t = 0时，波源振动的位移恰好2为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox轴正方向传播，求： (1) 此波的表达式； (2) t1 = T /4时刻，x1 = ?/4处质点的位移； (3) t2 = T /2时刻，x1 = ?/4处质点的振动速度．
4、如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为
y?3?10?2cos4πt (SI)．
(1) 以A点为坐标原点写出波的表达式；
(2) 以距A点5 m处的B点为坐标原点，写出波的表达式． B
uAx
振 动
一、填空题： 1、
T12l??； 2、A?10cm;??rad?s?1；??； 3、2?
3g2634、（略）； 5、x?x1?x2?0.04cos(?t??2)（SI）
二、计算题： 1、 解：是；
假设木块的边长为L，平衡时浸入水中的高度为h， 平衡时: mg?F浮＝?水glh 在任一位置时：
22?F?mg?F?＝?浮222glh??g(h?x)l??l?水gx 水水令 K＝l?水g 则
?F＝－Kx，K是一个常数，表明木块所作的运动是简谐振动。
d2x由?F?m2，可得木块运动的微分方程为：
dtd2x2?glx/m?0 ＋水2dt令???水gl/m，可得其振动周期为：T?
2、解：与简谐振动方程的标准形式x?Acos(?t??）比较可知： 振幅：A=0.40m
角频率：??0.70(rad?s)，故周期 T?频率：???1222???2?m/?水gl2
2???2??8.97(s) 0.7??0.111(HZ) 2?初位相：???0.30(rad)
3、解：
设 简谐振动的表达式为：x?Acos(?t??）
角速度：??k?m15?12.2(s?1) 0.1A、?由初始条件决定，再由
A?x0?2v02?2(?0.82)2?2?0.05??8.38?10(m)212.22??arctg(?v0?0.82)?arctg(?)?arctg1.34?0.93,?2.21rad ?x012.2?0.05由于x0?Acos??0.05m?0,故??0.93rad
于是，以平衡位置为原点所求简谐振动的表达式应为
m
?t??）, 4、解：(1) 取平衡位置为坐标原点。设位移表达式为：x?Acos(其中 A=0.12m，??2?/T??S?1，
用矢量图来求初相φ。
由初始条件，t=0时x0=0.06m=A/2，质点向x正向运动，可画出如图(a)所示的旋转矢量的初始位置（图中略去了参考圆），从而得出
。于是此简谐振动的运动方程为
(2) 此简谐振动的速度为
加速度为 将x=0.104m 速度为: 加速度为:
代入谐振方程、速度和加速度的表达式可分别得质点在t=0.5s时的位移为:
此时刻旋转矢量的位置如图(b)所示。
5、解：由旋转矢量法解。
x?0.4cos(?t?)2 把合振动改写为 ：
?t=0时振动合成的矢量图（如右上）。由于图中的直角三角形OPQ正好满足“勾三股四弦五”的条件，于是可直接由勾股定理得到第二个分振动的振幅，即它的旋转矢量A2的长度A2=0.5。亦可直接得到第二个分振动的初相位，即旋转矢量A2与x轴的夹角
，故第二个分振动为
6、解：（1）由机械能守恒定律：
E?EK0?EP0?1KA22，
2(EK0?EP0)?K得振幅为：A=
（2）由题意：EEP?2(0.2?0.6)?0.253(m)25
12EK0?EP0 kx?220.2?0.6?0.179(m) 25x?EP0?EK0?K（3）当x?A/2时， 势能EP?
一、 选择题：
1、C 2、B 3、B 4、c
二、 填空题：
1、17~1.7?10m 2、2.4m；6.0m/s 3、??21A111K()2?KA2?(EK0?EP0)?(0.2?0.6)?0.2（J） 22844波 动
2?L???； L?K?(K?1,2,3)； L?(2K?1)?2
4、I?5、?I0100?2?2??7.96?10(w?m) 224?r4??102
6、波长：?=2d=0.1m 速度：u????100m/s
三、计算题： 1、解：
(1)设考察点为x轴上任意一点，坐标为x。从x0 到x的波程为x- x0，按相位落后的关系，x处质点的振动相位比x0质点落后
，故x轴上任意一点的振动方程，即波动方程为
(1)
(2)把x=0带入(1)式，即得原点处质点的振动方程
(3)原点处质点的速度为
加速度为
2、解(1)由波形曲线图可看出，波的振幅A=0.02m，波长λ=2.0，故波的频率为
，角频率为。从图中还可以看出，t=0时原点处质点的位
移为零，速度为正值，可知原点振动的初相为-π/2，故原点的振动方程为
(2)设x轴上任意一点的坐标为x，从该点到原点的波程为x，按相位落后与距离的关系，
x处质点振动的时间比原点处质点超前
方程为
，故x轴上任意一点的振动方程，即波动
(3)经过3T/4后的波形曲线应比图中的波形曲线向左平移3λ/4，也相当于向右平移λ/4，（图略）
3、解因波强，所以
4、解：(1)在x<0区间，如图所示，两个波源S1和S2发出的反行波相互干涉形成反行
波，设考察点P的坐标为任意x，S1和S2到P点的波程差为极值公式，在P点干涉的相位差是
与x无关。按干涉
与P点的位置无关。则该区间的合振幅应为极小值，即两列波振幅之差。由于两列波的振幅相等，故和振幅 A=0，即在x<0区间，两列波因干涉而完全抵消。
(2)在x>5区间，如图所示，两波源发出的正行波干涉形成正行波，设考察点Q的坐标为任意的x，S1和S2到Q点的波程差
，干涉的相位差
按干涉极值公式，该区间的合振幅为极大，即两列波振幅之和 A=2a
5、解：（1）A、B相遇以前，二车相向运动,B中乘客听到汽笛的频率为
vs?u?u340?15vs??500?555(HZ) u?vs340?20（2）A、B相遇之后，二车相背运动，B中乘客听到A汽笛的频率为
??r?u?ur340?(?15)vs??500?451(HZ) u?vs340?(?20)
振动和波动自测题
一、 选择题：
1、D 2、B 3、C 4、B 5、E； 6、C 7、C 8、A 9、C 10、D ?
二、填空题?
?、? -?? /2 ???． 2、0.04cos(4?t?1?)
23、b，f ； a，e 4、3/4 ； 2??l/g
5、波从坐标原点传至x处所需时间； x处质点比原点处质点滞后的振动相位 ； t时刻x处质点的振动位移
6、有?的相跃变，半波损失。 7、Acos[2?(tx2Ltx2L?)?(????2?)] 或Acos[2?(?)?(????2?)] T??T??
8、DC为 t + ???时刻波在介质2中的波前
9、R2/R1?
22B介质1介质2Au2?Du1?C
10、接收器接收到的频率有赖于波源或观察者运动的现象
三、计算题
1、解：取如图x坐标，平衡位置为原点O，向下为正，m在平衡位置
N时弹簧已伸长x0
mg?kx0 ① T2?k(x?x0) ②
T2MgT1T1设m在x位置，分析受力, 这时弹簧伸长x?x0 由牛顿第二定律和转动定律列方程： mgmx0xO
mg?T1?ma ③
T1R?T2R?J? ④ a?R? ⑤
联立解得 a??kx(J/R2)?m
由于
x
系数为一负常数，故物体做简谐振动，??kkR2(J/R2)?m?J?mR2
2、 解：由振动方程y?0.06cos(5t??2)，可得：
速度方程：v??0.30sin(5t??2) 加速度方程：a??1.5cos(5t??2) （1）F?ma??1.5mcos(5t??2)
t?0,F??1.5mcos(0??2)?0
（2）t??s,
y?0.06cos(5???2)?0(m/s)
v??0.30sin(5???2)??0.30(m/s)
a??1.5cos(5???2)?0
（3）E?12k?EP4KA,
即 12122ky?4k(0.06) 得 y?0.04?m)?
（4）用旋转矢量法解。 3、解：(1) y?0.1cos(4?t?210?x)?0.1cos4?(t?120x) (SI) (2)
t1 = T /4 = (1 /8) s，x1 = ? /4 = (10 /4) m处质点的位移
y1?0.1cos4?(T/4??/80)
?0.1cos4?(1/8?18)?0.1m
其角频率为
(3) 振速 v? t2??y??0.4?sin4?(t?x/20)． ?t1T?(1/4) s，在 x1 = ? /4 = (10 /4) m 处质点的振速 21 v2??0.4?sin(???)??1.26 m/s
2
4、解：(1) 坐标为x点的振动相位为
?t???4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/20)] 波的表达式为 y?3?10cos4?[t?(x/20)] (SI) (2) 以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为
?2 ?t????4?[t?x?5] (SI) 20x波的表达式为 y?3?10?2cos[4?(t?)??] (SI)
20