初中数学竞赛名师辅导
ADFBEC
?C得ECP?AB?BC，解析 如图，延长AE、DC，设交于P，则BEFP?FC?CP?FC?BC?AF．于是?BAE??P??FAP，即?BAF?2?BAE．
10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方 和的取值范围．
ADPMOBNCl
解析 如图，设O是正方形ABCD的中心，l通过O，AM、DN分别与l垂直于M、N． 由于?MAO?90???AOM??DON，AO?OD，故△AMO≌△OND，
1． 2对B、C的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数1． AM2?DN2?AM2?MO2?AO2?10.2.3★正方形ABCD的对角线交于O，?BAC的平分线交BD于G，交BC于F，求证：OG?解析 如图，作OE∥FC，交AF于E，OE为△ACF中位线，CF?2EO． 问题变为证明EO?GO．
因为么?GEO?45???OAF??FAF?45???OGE，于是结论成立．
ADCF． 2EGBFOC
10.2.4★设M、N分别为正方形ABCD的边AD、CD的中点，且CM与BN交于P，求证：PA?AB．
??PC9B?0，?故解析 如图，由MD?CN知△BNC≌△CMD，故?PBC??PCB??NCMCM?BN．延长CM、BA，设交于Q，则QA?CD?AD，A为直角三角形QPB斜边BQ之中点，于
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是AP?AB．
QAMDNPB题10.2.4C
10.2.5★已知两个正方形ABCD、AKLM(顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和BM、DK的中点组成一个正方形．
KLRSAMDPCB题10.2.5Q
解析 如图，设DB、BM、MK、KD的中点分别为P、Q、R、S．
?DAM?90???BAM??BAK，由于DA?AB，AK?AM，于是△DAM≌△BAK，由此得KB与DM11垂直且相等．由于SR∥DM∥PQ，SP∥KB∥RQ，故四边形PQRS为正方形．
22AB210.2.6★★M是正方形ABCD内一点，若MA?MB?，?CMB?90?，求?MCD．
222?AB22222,?AN?BN?AM?BM?解析 如图，作MN?AB于N，则?2
?AN?BN?AB,?初中数学竞赛名师辅导
ADMNBLC
31AB，BN?AB． 44不妨设AN?3，BN?3，MN?x，则 解得AN?DM2?AN2??AD?MN??9?(4?x)2， CM2?BN2?(CM?MN)2?1??4?x?，
由条件?CMD?90?，知DM2?CM2?CD2，即10?2?4?x??16，解得x?4?3． 又作ML?BC于L，于是LC?4?x?3，ML?NB?1，故?MCD??LMC?60?．
10.2.7★O是正方形ABCD的两对角线的交点，P是BD上异于O的任一点，PE?AD于E，PF?AB于F，G是EO的延长线和BC的交点，求?OFG．
AFOED222PBGC
?FAO?45???EDO，解析 如图，易知AF?EP?ED，AO?DO，于是△AFO≌△DEO≌△BGO，
于是OF?OG，?AOB?90???FOG，故△OFG为等腰直角三角形，?OFG?45?．
10.2.8★★K是正方形ABCD的边AB的中点，点L分对角线AC的比为AL:LC?3，证明：?KLD?90?．
解析 连结BL，由正方形关于AC对称，知BL?DL． 又作LJ?AB于J，由AL?3LC，易知JB?11AB?KB，故J为KB中点，JL垂直平分KB，于是42LK?LB，?LKB??LBK??ADL，或?AKL??ADL?180?,故?KLD?90?．
AFOEDPBGC
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10.2.9★已知△ABC，向外作正方形ABEF和ACGH．直线AK垂直BC于K，反向延长交FH于M，求证：M是FH的中点．
解析 如图，作FQ、HP分别与直线KA垂直，垂足为Q、P．
PMFQAGEBKCH
易见，?QFA?90???QAF??BAK，又?FQA?90???AKB，FA?AB，故有△AQF≌△BKA，FQ?AK，同理PH?AK，于是FQ?PH，FM?MH．
10.2.10★已知：正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，AG?EF于G．若?EAF?45?，求证： AG?AB．反之，若AG?AB，则?EAF?45?．
解析 如图，延长CB至H，使BH?DF，连结AH，则△AHB≌△AFD，?HAF??BAD?90?，?HAE?90??45??45???EAF，又AH?AF，AE?AE，故△AHE≌△AFE，AB、AG为其对应 边上的高，于是AG?AB．
ADFG
反之，若AG?AB，则Rt△ABE≌Rt△AGE，?EAG??BAE，同理，?FAG??DAF，于是
HBEC1?EAF??BAD?45?．
210.2.11★★在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，?D?90?，BC?CD?12，E在边CD上，?ABE?45?，若AE?10，求CE的长．
解析 延长DA至M，使BM?BE过B作BG?AM，G为垂足．易知四边形BCDG为正方形，所以BC?BG．又?CBE??GBM，Rt△BEC≌Rt△BMG，故BM?BE． 又?ABE??ABM?45?，故△ABE≌△ABM，AM?AE?10． 设CE?x，则AG?10?x，AD?12??10?x??2?x，DE?12?x．
在Rt△ADE中，AE2?AD2?DE2，故100??x?2???12?x?，即x2?10x?24?0，解之，得x1?4，x2?6．故CE的长为4或6．
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