初中数学竞赛名师辅导
ARPQDCB
解析 易知△ABC关于AD对称．
又设?QBC??QCB??，则?ABQ?2???RQB，故RQ?RB，于是由角平分线之性质，知ARARACABAP????，于是PR∥QB． BRRQCQBQPQ11．1．9★★梯形ABCD中，AD∥BC(AD?BC)，AC和BD交于M，过M作EF∥AD，交AB、CD于E、EC和FB交于N，CD于G、过N作GH∥AD，交AB、求证：F，H．
AD1212． ???ADBCEFGHEGNBMFHC
解析
EMAMDMBMEM111111，故，同理，故???1??1?????BCACDBDBADEMADBCFMADBC11?11?11?11??????，同理???，两式相加并整理即得结论． EF2?ADBC?GH2?EFBC?aa?b，求它的内角?A、?B． ?ba?b?cba?c． ?abACDC，且?C为?BCAC
11．1．10★设a、b、c分别是△ABC的三边的长，且
解析 由条件，得a2?ab?ac?ab?b2，即b2?a?a?c?，所以
如图，延长CB至D，使BD?AB，于是CD?a?c．因此在△ABC与△DAC，公共角，所以△ABC∽△DAC，?BAC??D．而?BAD??D，故?ABC??D??BAD?2?D?2?BAC．
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CbAcaBD
11．1．11★设凸四边形ABCD，对角线交于E，过E作直线与BC平行，交AB、CD及DA延长线于G、H、F．若GE?1，EH?2，求EF．
DAFGECHKB
解析 延长DF与CB延长线交于K，则有
FGKBFE． ??GEBCEHx．故EF?x?2． 211．1．12★★AP为等腰三角形ABC底边BC上的高，CD为?ACB的平分线，作DE?BC于E，又设EF?x，则FG?x?1，代人上式，便得x?1?作DF?DC与直线BC交于F，求证：PE?CF． 4PEADAC， ??BPABAC?BC解析 如图，设AB?AC?m，BC?n，则由角平分线性质知故PE?mn．
2?m?n?11又取FC中点G，连结DG，?F?90???C，DG?FG，故?FDG?90???C，?DGF??C，
22故DG∥AC，从而
DGBDBCmn，故DG?．于是FC?2FG?2DG?4PE． ??ACABAC?BCm?nADFBEGPC
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11.1.13★★足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?
解析 设运动员P在矩形球场ABCD内，如图(a)，过P作MPN∥BC，M在AB上，N在CD上，则AP2?BP2?AM2?BM2?DN2?CN2?PD2?PC2，或AP2?CP2?BP2?DP2．
AMPC图(a)DNB
又设灯高为H，运动员身高为h，点A处的灯造成的影子长为PA′，如图(b)，则
A?Ph?，得AA?HA?PhB?PC?PD?Ph，同理，故四个影子的关系是A?P2?C?P2?B?P2?D?P2． ????PAH?hPBPCPDH?hHhhlHA'P图(b)AA'A''PA图(c)
跳起来时，不妨设脚底离地l，此时点A处的灯造成的影子长度为A′A″，如图(c)，则
h?llPA，A?P?PA，于是
H?h?lH?lHhl??h?lPA， ?A?A??A?P?A?P???PA?(H?h?l)(H?l)?H?h?lH?l?HhB?B?C?C?D?D??同理，所以A′A?2+C?C?2=B?B?2?D?D?2仍旧成立． ??(H?h?l)(H?l)PBPCPDA?P?11．1.14★★求日高公式．
解析 如图所示，设太阳高度为RD?x，杆AB?A′B=h直立在地上，影子的长度分别为BC?a，
两杆距离为d．所谓日高公式就是用a、b、d、h表示x，这里假定大地为平面，且AB、B′C′?b，
A′B′与R在同一平面上．
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RxAhCBB'A'hD
CBABah?x??x?Da???1?；，代入得故B同理，由B??，B′D?b??1?．DB?′D?BB′
CDRDa?BDx?h??h??x??d??d，代入得(a?b)??1??d，由此解得x?h??1?．
?h??a?b?11.1.15★★设梯形ABCD，E、F分别在AB、CD上，且AD∥EF∥BC，若AD?3，BC?7，AB?5，CD?6，梯形AEFD和梯形EBCF的周长相等，求EF．
解析 如图，作平行四边形DABH，H在BC上，则DH?AB?5，CH?4．设DH与EF交于G． 易知
ADEGHF
易知梯形AEFD的周长为△DGF的周长加上6，梯形EBCF的周长为梯形FGHC的周长加6，故△DGF的周长=梯形GHCF的周长，也即DG?DF?△DHC周长的一半即
BC15． 2DGDH561545DF45303063．GF?CH?，EF?3???，故DF?????4??．
DFCD611211CD6611111111．1．16★★如图，已知△ABC中，AD、CE交于F，BF、ED交于G，过G作GMN∥BC，交CE于M，交AC于N，求证：GM?MN． 又
AEFPBGKMDNC
KNCDKM． ??PKBDGKPGCDGM?PK??1??KM???PG??PG?GM． 于是MN?KN?KM?KM?GKBDPG?GK?解析 设AD与GM交于K，AB与直线NG交于P，则