初中数学竞赛名师辅导
读诗者不妨一试．
11．1．35★★P为?XOY内一点，A、B在OX上，C、D在OY上，线段AD、BC交于P．若
1111，则OP平分?XOY，反之亦然． ???OAODOBOC解析 如图，作平行四边形PQOR，Q、R分别在OX、OY上．设QP?OR?a，OQ?PR?b． 此时易得
a?b1?a?b1?abab?1?1?b???b??，因此??1?????，于是ODODOAOCOCOBODOAOCOB????a?ba?b．但OD?OC，故a?b．所以平行四边形PQOR是菱形，OP为?XOY之平分线． ?ODOCXBAQOPYRCD
反之，可设所作平行四边形PQOR为菱形．设菱形边长为n，则
aPRRDa，即得???1?OAOAODOD111111??．同理，??，于是命题得证． OAODaOBOCa11．1．36★★已知△ABC，三边分别为a、b、c，AD是角平分线．求AD之长(用a、b，c表示) 解析 如图，延长AD至E，使?E??B，于是A、B、E、C共圆，又△ABD∽△AEC，故AB?AC=AD?AE?AD(AD?DE)=AD2?AD?DE?AD2?BD?CD．
ABEDC
a2bc(b?c)2?a2acab设AB?c，AC?b，则BD?，CD?，故AD?bc? ?bc(b?c)2(b?c)2b?cb?c1bc(b?c?a)(b?c?a)． b?c11．1．37★★在△ABC中，AD、AE三等分?BAC，且BD?2，DE?3，EC?6，求AB的长． ?解析 如图，设AB?x，AD?y，则由角平分线性质知AE?3x，AC?2y． 2初中数学竞赛名师辅导
ABDEC
39由于AB?AE?AD2?BD?DE，即x2?y2?6，同理2y2?x2?18，
24消去y，得AB?x?210．
11．1．38★★★已知平行四边形ABCD，点E是点B在AD上的垂足，点F在CD上，?AFB?90?，
EG∥AB，点G在BF上，点H是AF与BE的交点，又DH延长后与CB的延长线交于点I，求证：FI?GH．
解析 如图，作IK?HF．对△OKF与△HFG来说，KF?FG，IK?HF，而?HFG?90???IKF，如果能证明两三角形(顺向)相似，那么第三组对应边OF与HG就垂直了，于是只需证明
KFIK或?FGHFKFFG．事实上设AF、BC延长后交于点J，且设?J???，则易知KF?BOcos?，KI?IJsin?，?IKHF于是即得
KFBIDEFG于是FBtan??HF，代人上式，?cot??cot??cot?，又HB?BJ，故?HBF??，
IKIJADFBKFFG． ?KIHFJθDEθFKHGθCABI
§11.2相似三角形
11．2．1★已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且?ADB??EBC，?DAB??BCE，证明：?BDE??ADB．
解析 如图，易知?DBE??DBC??EBC??A??ADB??EBC??A． 又△ABD∽△BDE，故
BDADAD，于是△ADB∽△BDE，故?BDE??ADB． ??BEBCAB初中数学竞赛名师辅导
EDABC
11．2．2★已知???=?′+?′?180?，
sin?sin???，则???′，????． sin?sin??解析 如图，作△ABC与△A′B′C′，使?B??，?B′??′，?C??，?C′???，则由条件?A??A′，且
ABsin?sin??A?B?，故△ABC∽△A′B′C′，从而?B??B′，???ACsin?sin??A?C??C??C′．此即???′，???′．
AA'BCB'C'
评注 这个结果用途极广．
11．2．3★线段BE分△ABC为两个相似的三角形，相似系数等于3，求△ABC的各内角． 解析 如图，不妨设△BCE∽△ABE，△BCE比较“大”．
BAEC
由于?BEA>?EBC及?C，故只能有?BEA??CEB，于是BE?AC． ?ABE??CBE不可能(否则△ABE≌△BCE)，BE??C故?ABC?CBE??A，?ABC?90?，，?3，AB因此△ABC三内角为：30?、60?、90?．
BDAD211．2．4★★设△ABC中，D在BC在上，且，求证：△ABD∽△CBA． ?BCAC2初中数学竞赛名师辅导
AEBDC
BDEDEDAD，代入条件并整理，即得． ??BCACADAC又?EDA??DAC，于是?EDA∽△DAC，于是?BAD??C，故△ABD∽△CBA．
11．2．5★在锐角三角形ABC中，E是AD是一点，满足AE:ED?CD:DB，过D作DF?BE，F为垂足，证明：?AFC?90?．
解析 过D作DE∥AC，E是AB是一点．于是
AEFBDC
解析 由条件知△BED∽△DEF，且
AEEDEF??CDDBFD，又?AEF?90???EDF??FDC，故△AEF∽
△CDF，于是?AFC??AFE??EFC??EFC??CFD??EFC??EFD?90?．
11．2．6★已知正方形ABCD，点P和Q分别在上，且BP?BQ，BH与PC垂直于H，求?DHQ的 取值范围．
ADPHBQC
，故△HBQ∽
解析 易知△PBH∽△BCH，故有
BHBHCHCH???BQ??BPC??HCD．又?HBQBPBCDC△HCD，?DHQ??DHC??QHC??BHQ??QHC?90?．
11．2．7★在△ABC中，?ABC?60?，点P是△ABC内的一点，使得?APB??BPC??CPA，且?PA?8，PC?6，求PB．