初中数学竞赛名师辅导
APCB
解析 由条件易知?APB??BPC??CPA?120?，又
?PAB?180??120???PBA?60???PBA??PBC，故△PAB∽△PBC．
PAPB． ?PBPC因此，PB?PA?PC?6?8?43．
11．2．8★如图，在直角三角形ABC中，斜边AB的长为35，有一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC，求△ABC的周长．
AFECDB
解析 设BC?a，AC?b，则a2?b2?352?1225．又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以，
FEAF，即?CBAC12b?122，故12?a?b??ab．所以，?a?b??a2?b2?2ab?1225?24(a?b)，解得a?b?49(另一?ab个解-25舍去)．所以三角形的周长为84．
11．2．9★★K是正方形ABCD的边AB的中点，点L分对角线AC的比为AL:LC?3，证明：?KLD?90?．
解析 如图，连结BD、KD，BD交AC于O，则CL?1111而AAC?OC，OL?LC?OD，K?AD，
4222AD?AB，OD?OC，故△ADK∽△ODL，这是顺相似，所以△AOD∽△KLD，?KLD??AOD?90?．
ADOKLBC
11．2．10★★如图，AC?AF，BC?BE，BD?BF，BM与BN分别是△BCD与△BEF的高， 点H1与H2分别为△BCD与△BEF的垂心，求证：H1H2被AB平分．
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AENH2FDMCH1B
AMBH2?．很容易ANBH1解析 本题即是证明S△AH1B?S△AH2B，这可以转化为求证AM?BH1?AN?BH2或看出△BCD∽△BEF，故结论成立．
BH2BN?．由于四边形AMBN是矩形，有AM?BN，AN?BM，于是BH1BM11．2．11★★已知△ABC，向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若BC∥PM，求证：AB?AC． 解析 如图，不妨设PM与AB、AC分别交于E、F，于是减去90?，得?ABC??ACB，于是AB?AC．
QANPBBACACM，???BEBECFFC?EBP?90???FCM，△EBP∽△FCM，?PBC?180???EPB?180???FMC??MCB，两边同时
PEFCMB
评注 本题也可通过P、M向直线BC作垂线，并通过全等三角形来证明．PM与AB或AC不相交是不可能的，这样P、M将在直线BC的异侧．
AC的取值范围． BC解析 如图，设△ABC三对应边分别为a、b、c，延长CA至D，使AD?AB，于是?CBA??D，11．2．12★★△ABC中，BC?1，?A?2?B，求
△ABC∽△BDC，故BC2?CA?CD，即a2?b(b?c)，从而
ACbb??．接下去考虑三角形不BCab?c等式，a?c?b显然，a?c?a也显然，a?b?c，即b(b?c)?c?b，或3b?c，故a2?b(b?c)?b2，故
b1
?．又a2
bAC?1?
的取值范围是?,1?． ?1．因此，
aBC?2?
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CBA
11．2．13★★已知正三角形ABC，D在BC上，CD?2BD，E在AD上，求证：?EBD??DAB． 解析 如图，不妨设BD?1，CD?2，AB?AC?3，则AD?AB2?BD?CD?7．又设AE?x，DE?y，则x?y?7，x2?y2?AC2?CD2?5，解得y?△ABD，故有?EBD??DAB．
AD7．于是BD2?1?ED?AD，△BED∽7EBDC
11．2．14★★已知锐角△ABC，AD是高，AB?3，BD?1，M是AB中点，作CP与MD延长线垂直且交于P，若P在BC的中垂线上，求AC．
解析 如图，设BC中点为N，由于?MDB??CDP??B，故△DNP∽△DPC∽△BDA，所以
DNDPBD1???，CD?9DN．设DN?x，则由BN?CN，得CN?x?1，CD?2x?1，所以DPCDAB32x?1?9x，x?47319，CD?，AC?AD2?CD2?．
777AMBNDPC
11．2．15★★如图，直角三角形ABC中，?C?90?，BD是角平分线，CE?BD于E，则
AC2CE；?ABBDBCBE2?ED2． ?ABBD2初中数学竞赛名师辅导
AFDEG
解析 延长CE与AB交于F，易知2CE?CF．由于?ACF??DBC??ABD，故△ABD∽△ACF，
BCBE2?ED2BGACCF2CE于是．又作D关于E之对称点G，则．由于△ABD∽△CBG，故???2ABBDBDBDBDBCBGBE2?ED2． ??ABBDBD211．2．16★★能否把任意两个直角三角形各划分成两个三角形，使它们分别对应相似? 解析 如图，设?B??E?90?．若两三角形相似，结论显然成立．否则可不妨设?D??A，则?C??F于是可在AB上取一点M，使?MCA??F；在EF上取一点N，使?NDF??A．易知△AMC∽△DNF，△MBC∽△MED．
ADM
11．2．17★★设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M．过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆心，OM为半径的圆上一点．求证：?OPF??OEP．
GBCENFODMFCPAEB
解析 延长AD、BO交于点G．由OM∥GA得
OFCOOMOFGD，即．同理，得???GDCGGAOMGAOMBOOEOMGDOFOMOFOP，即．所以．由条件得OP?OM，所以，因此可得?????GDBGGAOEGAOMOEOPOE△OPF∽△OEP，则有?OPF??OEP．
11．2．18★证明：三角形的一条高线的垂足和它在另外两条高线上的射影组成的三角形，与原三角形