最新上海市南洋模范中学2008-2019年初升高自主招生考试

数学模拟精品试卷第一套

注意：

(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.

一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )

(A) 直线y = –x上 (B) 抛物线 y =x2上 (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上

2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是 ( )

(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20

13．若－1＜a＜0，则a,a3,3a,一定是 ( )

a1a11 (C) 最小，a最大 (D) 最小， 3a最大

aa(A) 最小，a3最大 (B) 3a最小，a最大

4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）

(A) AE⊥AF （B）EF：AF =2：1 (C) AF= FH·FE （D）FB ：FC = HB ：EC

2

第4题

5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ）

(A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44

6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）

1

（A）30 （B）35 （C）56 （D） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）

7．若4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则tanA = ___ ___ . 8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小

时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.

9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 . 10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.

11．物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/

(第11题)

(第9题)

秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .

12．设C1,C2,C3,… … 为一群圆, 其作法如下：C1是半径为a的圆, 在C1的圆内作四个相等的圆C2(如图), 每个圆C2和圆C1都内切, 且相邻的两个圆C2均外切, 再在每一个圆C2中, 用同样的方法作四个相等的圆C3, 依此类推作出C4,C5,C6,…… , 则

第12题

(1) 圆C2的半径长等于 (用a表示)；

(2) 圆Ck的半径为 不必证明)

( k为正整数，用a表示，

2

三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，

且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB. (1) 求证AD = AE；

(2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积.

（1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上， ∴∠ACD = 90?，即AC⊥DE.

又∵OC∥AE，O为AD中点 ∴AD = AE.

第13题

证2 ∵O为AD中点，OC∥AE， ∴2OC = AE， 又∵AD是圆O的直径，

∴ 2OC = AD， ∴AD = AE. （2）由条件得ABCO是平行四边形， ∴BC∥AD，

又C为中点，∴AB =BE = 4， ∵AD = AE，∴BC = BE = 4，

连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE= 90?，∴CE = BC= 4， 即BE = BC = CE= 4，

∴ 所求面积为43. 4分

14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M， (1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；

(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.

解：(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,

∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分

(2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0),

3

则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2,

∴|AB| = 2(p?1)2?1. 5分

又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .

当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM = |AB||b|取最小值1 . 5分

15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：

胜一场 积分 奖励（元/每人） 当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分。 (1) 试判断A队胜、平、负各几场?

(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.

解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场， 得?分

依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数，

?19?3x?07∴??2x?7?0 解得：2?x?0??x?y?z?12?y?19?3x，可得：? 4

3x?y?19z?2x?7??12平一场 1 700 负一场 0 0 3 1500 ≤x≤

19 ，∴ x可取4、5、6 43分

∴ A队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1；

4

当x=5时，y= 4,z = 3 ； 当4分

（2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300

当x = 4时，W最大，W最大值= – 60×4+19300=16900（元） 答4分

16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =x－1经过这两个顶点中的一个.

（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2＋bx＋c的顶点是P点.

① 若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；

② 过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =明理由.

3x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说232x=6时，y=1,z= 5.

略.

解：(1)如图，建立平面直有坐标系，

∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，

设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2);

33若C点过y =x－1；则2=(m＋3)－1,

22

5

m = －1与m＞0不合； ∴C点不过y=若点D过y=∴5分

A

3x－1； 233x－1，则2=m－1, m=2, 22(2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)；

（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)， 由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，

?0?4a?2b?c?b??7a∴? ∴? 2

0?25a?5b?cc?10a??分

∴y = ax2－7ax＋10a

( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a ) ∴y = a(x－

72979)－a； ∴抛物线顶点P(, －a) 2424948923∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部, ∴ 3分

② 设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；

∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在Rt?DCF中， ∵DF2＋DC2=CF2；

2

2

2

32＜－a ＜ 2,∴－＜a＜–.

99∴3＋(2－n)=(n＋2), ∴n=, ∴F(2, )

889991∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴－a =，∴a = －;

848217∴抛物线的解析式为：y= －x2＋x－5

223分

3抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），又直线y =x－1与y轴交点（ 0，

2－1）；

∴3分

Q

在

直

线

y=

32x－1下方.

6