2019年
第一部分 专题五 第一讲 空间几何体的三视图、表面积及体积
A组
1．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是( C )
[解析] 由直观图和俯视图知，正视图中点D1的射影是B1，所以正视图是选项C中的图形，A中少了虚线，故不正确．
2．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( C )
A．20π C．28π
B．24π D．32π
[解析] 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝2＋2316π＋8π＝28π，故选C．
3．(文)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )
2
2
12
＝4，圆柱的高h＝4，所以该几何体的表面积S表＝πr＋ch＋cl＝4π＋
2
A．12－π
B．12－2π
2019年
C．6－π D．4－π
[解析] 由三视图知，该几何体是一个组合体，由一个长方体挖去一个圆柱构成，长方体的长、宽高为4,3,1，圆柱底半径1，高为1，∴体积V＝4×3×1－π×1×1＝12－π.
(理)若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于( B )
2
A．10 cm C．30 cm
33
B．20 cm D．40 cm
3
3
[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABC－A1B1C1沿平面AB1C1截去一个三棱锥A－A1B1C1
余下的部分．
1113∴VA－BCC1B1＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝×4×3×5－×(×4×3)×5＝20cm.
2324．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( B )
A．18＋2π π
C．20＋ 2
B．20＋π D．16＋π
1
[解析] 由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的
41
圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S＝4×5＋
41
2×2π×1×1×＝20＋π.
4
故选B．
5．(2018·双鸭山一模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接
2019年
球的表面积为( A )
16πA．
3C．43
8πB．
3D．23π
[解析] 由已知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体有一个侧面PAC垂直于底面，高为3，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．
则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心， 223这个几何体的外接球的半径R＝PD＝.
33
23216π2
则这个几何体的外接球的表面积为S＝4πR＝4π×()＝.
33
1
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为.
6
[解析] 利用三棱锥的体积公式直接求解．
VD1－EDF＝VF－DD1E＝SD1DE·AB＝××1×1×1＝.
7．已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC＝2AB＝2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A－FEC外接球的体积为3π. 213113216
[解析] 如图，平面ABEF⊥平面EFDC，AF⊥EF，
2019年
所以AF⊥平面ECDF，将三棱锥A－FEC补成正方体ABC′D′－FECD． 依题意，其棱长为1，外接球的半径R＝
3， 2
434333
所以外接球的体积V＝πR＝π·()＝π.
3322
8．(文)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积． [解析] (1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B． 因为CA＝CB，所以OC⊥AB．
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB． 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C． 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C．
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3. 又A1C＝6，则A1C＝OC＋OA1，故OA1⊥OC．
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又△ABC的面积S△ABC＝3.故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.
1
(理)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝
290°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P－ABCD的体
2
2
2
积．