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但当k1?0,c1?0时，则首次近似方程有实部为零的根，出现临界情况。其中

K(x1)?k1x?kfx?kffx，对K(x1)求导，得刚度特性为；

k(x)?dK(x1)dx?k1?2kfx?3kffx223 （3-7）

因为 k1?0 所以 k(0)?dK(x1)dx?k1?2kfx?3kffx3 （3-8）

上式说明，在设计高度位置空气弹簧悬架车辆系统会出现刚度为零的情况，这对铁道车辆悬架而言是不可能的或不现实的。对车辆系统悬架来说，设计高度位置就是其平衡位置，平衡位置是其一个工作点，在此工作点上，空气弹簧悬架承受一定的载荷处于静平衡位置，而刚度为零则意味着当它受到任何力的作用时，变形将无穷大，即平衡点对应变形无穷大位置，这对一个实际的系统来说是不可能实现的。空气弹簧悬架由于其材料和形状特性，刚度特性在任何位置都不会为零，实际的空气弹簧悬架的刚度应该总是在大于零的某一范围变化。对阻尼进行讨论也会得到相同的结果，对于车辆系统而言，刚度和阻尼是客观存在的特性，由于其材料非线性、几何非线性和接触非线性而呈现出很强的非线性特性，但不会因为系统状态的变化而变为零，因此车辆悬架系统不可能出现临界情况。

3.2 空气弹簧中参数对稳定性的影响

根据空气弹簧悬架车辆系统的行驶平顺性的分析模型，写出自由运动方程；

??cx??k1x?kfx?kffx?0 （3-9） M?x??cx??k1x??k1x??k2x?0 M?x2323 （3-10）

式中；?,?是表征非线性程度强弱的常数。其中； ??kfk1,??kffk1

这里仅考虑同实际情况一致的 μ≧0，ν≧0的情况。将式程的形式写成状态方程的形式。

?1?x2x??ckx2 ??2??xx1?11(1??x1??x1)?mm? （3-11）

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分析系统的奇点情况，讨论1??x1??x12?0的解，可以有三种情况； （1）当?2?4??0时，方程有唯一解，对应系统有唯一稳定焦点(0，0)；

（2）当?2?4??0时，方程有两个解x1 =0和x1=-μ/2v，对应系统有两个奇奇点1:稳定焦点Ⅰ(0，0)，奇点Ⅱ(-μ/2v，0);

（3）当??4??0时，方程有三个解；x1?0,x1?2?????4?2?2,x1??????4?2?2?????2?4???,0?，奇点Ⅲ对应系统有三个奇点，奇点Ⅰ:稳定焦点(0，0)，奇点Ⅱ??2????????2?4???,0?。 ??2???3.3 在单频激励情况下空气弹簧悬架车辆系统的解析解 3.3.1 车辆系统力学模型和振动方程

在车辆的行驶平顺性分析中，常常被看成复杂的多质量、多自由度的振动系统，装有空气弹簧的车辆悬架系统一般由空气弹簧、减振器和导向机构组成。为便于振动分析，需要对其进行简化，首先研究1/4车辆，若只考虑其弹簧和减振器，也就是只考虑车辆的垂向运动，其力学模型如下图3-1所示。其中为M簧上质量，根据第二章的分析，空气弹簧刚度K?k1?kfx?kffx2，c为空气弹簧阻尼。

图3.1 1/4车空气弹簧悬架简化模型

我们首先研究1/4车在单频正弦激励情况下的主共振。x0?F1sin?t,然后在此基础上可以再研究其他更复杂的路况。

系统的运动方程为；

??c(x??x?0)?k1(x?x0)?kf(x?x0)2?kff(x?x0)3?0 （3-12） M?x17

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设y?x?x0则方程（3-9）变为；

??cy??k1y?kfy2?kffy3?0 （3-13） M?y对式（3-10）无量纲化，得到下式；

???k2z?k3z?A1sin?1?)?0 z??z??(c1z23 （3-14）

cM,k2?kfF1TM,k3?kffF1TM2式中z?yF1,T?Mk1,??tT,?1??T,??T,c1?,A1??1T2。

小参数主要与质量M和线性刚度k1有关。以下分析主要针对(3-14)式进行。

3.3.2 车辆系统主共振的解析解与分岔情况

下面用多尺度法求解方程，多尺度把微分方程的解不只看做单一自变量z的函数，而把z,?z,?2t??都看作独立自变量或时间的尺度，把解看作这些独立自变量或时间尺度的函数。

讨论系统接近共振的受迫振动，取?12?1???，则式(3-11)可以化为；

???k2z?k3z?A1sinz??z??(?z?c1z?1?)

23 （3-15）

设z?z0(T0,T)??z1(T0,T) （3-16） 将式（3-16）代入式（3-15） 得到；

2?D0z0?z0?0?223Dz?z??2DDz?cDz?kz?kz?A1sin?1t10101002030?01 （3-17）

式（3-17）的通解是；

z0?A(T0,T1)eiT0?A(T0,T1)e?iT0 （3-18）

将式（3-16）代入式（3-15）得；

D0z1?z1??i(2D1A?c1A)?3k3AAe2?2?iT0?2k2AA?k2Ae22iT0?k3Ae23iT0?A12k2ei(T0??T1)?cc

（3-19） 式中 :cc表示其左边各项的共扼复数 此解中凡含有T0eiT的项都是永年项

0式 (3-19)不出现永年项的条件为

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i(2D1A?c1A)?3k3AA?2A12ei?T1?0 （3-20）

将式A?12aei?代入上式得到；

a?1c1?A12sin(?T1??)???a123A3a????k3a?1cos(?T1??)82 （3-21）

方程可变为一个自治系统，设???T1??，则；

???a12ac1?A12sin? （3-22）

（3-23）

???a?3ka3?A1cos?a?382一次近似解为；

z?acos(t??)?O(?)

（3-24）

其中由a,?由式(3-22)和式(3-23)得出

?????0，则； 稳态运动a12ac1?38A123sin? （3-25）

A12cos??a?k3a?? （3-26）

将式（3-25）和式（3-26）中的γ消去，得到主共振情况下的幅频关系式；

a1c1422?(?a?38k3a)?32A142??14T42 （3-27）

对式（3-27）进行计算得到?关于a的表达式

??38k3a?(2?12424Ta?c1214)2 （3-28）

分析上式可知，式中第一项决定了幅频曲线的骨架曲线，可以看出非线性振动受迫振动有与线性系统类似的幅频特性曲线，但支撑曲线的骨架不是直线，而是朝频率增大方向弯曲，从而使整个曲线族朝一侧倾斜，可以知道其骨架曲线是响应幅值的二次函数，但响应幅值部分的负的部分将被略去。式中第二项也就是平方根式中的参数决定了幅频

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