习题八
8-1 根据点电荷场强公式E?q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r
→0)时，则场强E→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
?解: E?q4π?0r2?r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电
荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-2 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=
q24??0d2,又有人
qq2说，因为f=qE,E?，所以f=．试问这两种说法对吗?为什么?
?0S?0Sf到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处的场强?0Sq2?0S，另一板受它的作用
也是不对的．正确解答应为一个板的电场为E?q2力f?q，这是两板间相互作用的电场力． ?2?0S2?0Sq8-3 一个点电荷q放在球形高斯面的中心，试问在下列情况下，穿过这高斯面的E通量是否改变？高斯面上各点的场强E是否改变？
(1) 另放一点电荷在高斯球面外附近. (2) 另放一点电荷在高斯球面内某处.
(3) 将原来的点电荷q移离高斯面的球心，但仍在高斯面内. (4) 将原来的点电荷q移到高斯面外.
答：根据高斯定理，穿过高斯面的电通量仅取决于面内电量的代数和，而与面内电荷的分布情况及面外电荷无关，但各点的场强E与空间所有分布电荷有关，故：
(1) 电通量不变， ?1＝q1 / ?0，高斯面上各点的场强E改变 (2) 电通量改变，由?1变为?2＝(q1＋q2 ) /??0，高斯面上各点的场强E也变
(3) 电通量不变，仍为?1．但高斯面上的场强E会变 。 (4) 电通量变为0，高斯面上的场强E会变.
8-4 以下各种说法是否正确，并说明理由.
(1) 场强为零的地方，电势一定为零；电势为零的地方，场强也一定为零.
(2) 在电势不变的空间内，场强一定为零.
(3) 电势较高的地方，场强一定较大；场强较小的地方，电势也一定较低.
(4) 场强大小相等的地方，电势相同；电势相同的地方，场强大小也一定相等.
(5) 带正电的带电体，电势一定为正；带负电的带电体，电势一定为负. (6) 不带电的物体，电势一定为零；电势为零的物体，一定不带电.
?答：场强与电势的微分关系是, E???U.场强的大小为电势沿等势面法线
方向的变化率，方向为电势降落的方向。场强与电势的积分关系，
UP??参考零点p??E?dl
因此,
(1) 说法不正确. (2) 说法正确. (3) 说法不正确. (4) 说法不正确 (5) 说法不正确 (6) 说法不正确.
－
8-5 如图所示，在直角三角形ABC的A点处，有点电荷q1＝1.8×109 C，B
－
点处有点电荷q2＝－4.8×109 C，试求C点处的场强. y 解：如图建立坐标
q2?1q1?i?j 224??0r24??0r1???E?27000i?18000j
1大小: E=3.24×10V﹒m,
4
-1
?E?x
习题8-5图
方向: tan??2??,?=-33.70 Ex3Ey
－－
8-6 均匀带电细棒，棒长L＝20 cm，电荷线密度λ＝3×108 C·m1.求：(1)棒的延长线上与棒的近端相距d1＝8 cm处的场强；(2)棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2＝8 cm处的场强.
解： 如图所示
(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为
dE y Q dEP?1?dx 24π?0(a?x)A d20 dx B a d1P x EP??dEP???4π?0?L2L?2dx 2(a?x)?11?L[?]?4π?0a?La?Lπ?0(4a2?L2)223?10?8?0.2? 3.14?8.65?10?12(4?0.182?0.22)=0.24654×10N.C,方向水平向右 (2)同理
dEQ?4
-1
1?dx 方向如图所示 224π?0x?d2由于对称性dEQx?0，即EQ只有y分量，
l??∵ dEQy?1?dx24π?0x2?d2d2x?d222
EQy??dEQyld??24π?2?L2L?2d2?xdxL/2?|?L/2 223/22224π?2d2(x?d2)(x?d2)??x?LL/2 |??L/222224π?2d2x?d22π?2d2L?4d23?10?8?0.22?3.14?8.85?10?12?0.08?0.22?4?0.082方向沿y轴正向
=0.526×10N.C
4
-1
?
－
8-7 用均匀带电q＝3.12×109 C的绝缘细棒弯成半径R＝50 cm的圆弧，两端间隙d＝2.0 cm，求圆心处场强的大小和方向.
解： 取一圆弧，对称建一坐标如图示。在圆弧上取dl=Rd?, dq??dl?R?d? 在O点产生场强大小为
y dE??Rd? 方向沿半径方向
4π?0R2?2 ? ?1 x 则 dEx??dEcos???cos?d?
4π?0R?sin?d?
4π?0RdE dEy??dEsin???积分 Ey????21?dEy???2?1???sin?d??(cos?2?cos?1)
4π?0R2π?0R根据圆对称性，圆心处场强只需计算密度相同的异号间隙弧长电场。
??l2?q????,????0.04rad, ?1??,?2??,
2πR?0.02R502222?q????q?Ey?[cos(?)?cos(?)]?sin2π?0R(2?R?0.02)22222π?0R(?R?0.01)2
3.12?10?9Ey??0.02=0.7720N.C-1 ?122?3.14?8.85?10(3.14?0.50?0.01)方向指向间隙中心。
8-8 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少? 解: (1)由高斯定理E?dS?s???q?0
立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量?e?q． 6?0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的
立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?e?q 6?0q， 24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?如果它包含q所在顶点则?e?0．
如题8-8(a)图所示．题8-8(3)图
题8-8(a)图 题8-8(b)图 题8-8(c)图
8-9 如图所示，电荷面密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，求通过此半球面的电通量. 解：均匀无限大带电平面的电场
?，方向：垂直平面 2?0?2?R2 电通量：??E?R?2?0大小： E?习题8-9图
－
8-10 有证据表明，地球表面以上存在电场，其平均值约为130 V·m1，且指向地球表面，试由此推算整个地球表面所带的负电荷.(地球平均半径R＝6.4×106 m)
解：若地球看成导体球，则 E?q4??0R2
q?E?4??0R2?134?4?3.14?8.85?10?12?(6.4?106)2= 6.10095×
10C,
8-11 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10C·m
?5-3
5
求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理E?dS?s????q,E4πr?02q? ??0?当r?5cm时，?q?0,E?0
r?8cm时，?q?p4π33(r ?r内) 3?∴ E?4π32r?r内3?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． 24π?0r??r?12cm时,?q??4π33(r外?r内 ）3?∴ E?4π33r外?r内3?4.10?104 N?C?1 沿半径向外. 24π?0r??8-12 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．
???q解: 高斯定理?E?dS?
s?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl 则 E?dS?E2πrl
S???对(1) r?R1
?q?0,E?0
?q?l?
(2) R1?r?R2 ∴ E?? 沿径向向外
2π?0r(3) r?R2
?q?0
∴ E?0
ρ0.其r22
[1＋()]
a
中，r是到轴线的距离，ρ0是轴线上的电荷体密度，a为常数，求圆柱体内的电场分布.
解：根据场源是轴对称性的,取一圆柱形的高斯面 8-13 设气体放电形成的等离子体圆柱内电荷体密度为ρ(r)＝
???E?dS?S?q?0
i
????s上??E?ds??r?s下????E?ds??E?ds
?s侧???E?2?r?l
r 1?q?0?
i?1?0??(r)dV?0?0?r?0(1?(r/a))2202?rldr
2?l?0a2?0?r0?l?0a2r2r dr?(a2?r2)2?0a2?r2???0a2r E?222?0a?r
-6
8-14 一电偶极子由q=1.0×10Cd=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×10N·C
5
-1
??解: ∵ 电偶极子p在外场E中受力矩
M?p?E ∴ Mmax?pE?qlE代入数字
???Mmax?1.0?10?6?2?10?3?1.0?105?2.0?10?4N?m
8-15 两点电荷q1=1.5×10C，q2=3.0×10C，相距r1=42cm，要把它们之
-8
-8
间的距离变为r2=25cm，需作多少功?
解: A??r2r1??r2qqdrqq11F?dr??122?12(?)
r24π?r4π?0r1r20??6.55?10?6J
外力需作的功 A???A??6.55?10 J
?6
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，
AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，
解: 如题8-16图示
UO?1qq(?)?0 4π?0RRUO?1qqq (?)??4π?03RR6π?0Rqoq
6π?0R∴ A?q0(UO?UC)?
8-17 电荷q均匀分布在半径为R的球体内，试证明离球心r(r＜R)处的电势
22
Q(3R－r)为U＝
8πε0R3证: 场的分布具有球对称性, 取同心球面为高斯面
???E?dS?S2r ??q431q??r?E??r, 14?R3/33?04??0R3r>R: E2?4?r?2q?0r, ?E2??dr q4??0r3??r U???r??RE?dr??q4??0R3?rdr???q4??0r2RqR2?r2q(3R2?r2)?∴ U? ??334??0R4??0R28??0Rq 8-18 电量q均匀分布在长2l的细直线上.试求：(1)带电直线延长线上离中点为r处的电势；(2)带电直线中垂线上离中点为r处的电势. 解： 如图所示 y (1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq dU Q 在P点产生电势为 dUP?1qdx 4π?02lr?xA r 0 dx B r P x qUP??dUP?8π?0l (2)同理 dUP??l?ldxqr?l?lnr?x8π?0lr?l1q4π?02ldxr?x22 qUQ??dUQ?l8π?0l?l?ldxql?l2?r2 ?ln221/2(x?r)4π?0lr 8-19 如题8-19图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd? 则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向 ? 题8-19图 E??dEy??2???Rd?cos? ?4π?R202????［sin(?)?sin］ 4π?0R22?? 2π?0R?(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0 U1??AB2R?dx?dx????ln2 R4π?0x4π?0x4π?0同理CD产生 U2??ln2 4π?0半圆环产生 U3?πR??? 4π?0R4?0∴ UO?U1?U2?U3???ln2? 2π?04?0 8-20 两半径分别为R1和R2(R2＞R1)，带等值导号电荷的无限长同轴圆柱面，电荷线密度为±λ，求两圆柱面间的电势差. 解：在两圆柱面间的电场强度, 根据高斯定理 ???E?dS?S?q?0i R2 R1 ?? ????s上??E?ds???s下????E?ds??E?ds ?s侧?l?E?2?r?l??0?得：E?? ??r 2??0r2??R2E?dr???R1两导体的电势差，由定义 得：U??R2R1R??dr??ln2 2??0r2??0R1第九章 9-1 若一带电导体表面上某点电荷面密度为σ，则该点外侧附近场强为σ/ε0， 如果将另一带电体移近，该点场强是否改变？公式Ε＝σ/ε0是否仍成立？ 答：场强改变。公式Ε＝σ/ε0仍然成立。σ是导体表面附近的电荷密度，受导体电荷分布的影响，但仍然用高斯定理可得出Ε＝σ/ε0形式不变。 9-2 将一个带正电的导体Α移近一个接地导体Β时，导体Β是否维持零电势？其上是否带电？ 答：接地导体Β始终是零电势。但当带正电的导体Α移近时，其上会感应出异号电荷。 9-3用电源将平行板电容器充电后与电源断开，(1)若使电容器两极板间距减小，两板上电荷、两板间场强、电势差、电容器的电容以及电容器储能如何变化？(2)若电容器充电后仍与电源连接，再回答上述问题. 答：(1) 电容器两极板间距减小时：电荷不变，场强不变，电势差变小，电容变大，电容器储能减少。 (2) 电荷增加，场强变大，电势差不变，电容变大，电容器储能增加。 9-4 电容分别为C1，C2的两个电容器，将它们并联后用电压U充电与将它们串联后用电压2U充电的两种情况下，哪一种电容器组合储存的电量多？哪一种储存的电能大？ 答：并联：C＝C1+C2 W1?111cU12?C1U2?C2U2 22211C1C22C1C2W?cU?4U2 串联：C? 2222C1?C2C1?C2W1C1?C2(C1?C2)24C1C2 ????1 4CCW24C1C24C1C212C1?C2W1≥W2 9-5 真空中均匀带电的球体与球面，若它们的半径和所带的电量都相等，它们的电场能量是否相等？若不等，哪一种情况电场能量大？ 答：在两球半径相同、总电荷相等的条件下，带电球体的电场能量大． 因为，带电球面和带电球体两者在球外的场强是相同的，而带电球面内场强为零．带电球体内场强不为零．故带电球体的电场能量要比带电球面多出一部分． 9-6 在一个平行板电容器的两极板间，先后分别放入一块电介质板与一块金属板，设两板厚度均为两极板间距离的一半，问它们对电容的影响是否相同？ 解：平行插入则 dd厚的金属板，相当于原来电容器极板间距由d减小为 ，22SS?2?0?2C0 dd21 插入同样厚度的介质板，相当于一个极板间距为d的空气平行板电容 2d器与另一个极板间距为，充满介电常量为?0??r的的电介质的电容器串联， 2 C???0则 1??r11111????? ????CC?rC2C02?rC02?rC02?rC0 1??r C??? 9-7 如题9-7图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为?r的电介质．试分析充电后在有电介质和无电介质的两部分极板上的自由电荷面密度是否相同？如不相同它们的比值等于多少？ 解: 如题9-7图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度分别为?2与?1 ??由?D?dS??q0得 ??D1??1，D2??2 而 D1??0E1,D2??0?rE2 E1?E2?∴ U d?2D2???r ?1D1 题9-7图 9-8 点电荷＋q处于导体球壳的中心，壳的内、外半径分别为R1和R2，试求电场强度和电势分布. 解：球壳内表面将出现负的感生电荷-q，外表面为正的感生电荷+q． 由高斯定理求场强 ???E?ds ?s?q?02i内 r ?q?r R2 4??0r3?r R1 O r +q R2 : U1???r??E?dr??E1dr??E2dr??E3drrR1R2R2?R1R2?4??0rq11qU1?(?)? 4??0rR14??0R2??R2?R2??R1 q4??0r2rrR2rR2dr 4??0R2?????R2 q4??0r2rdr U3? q4??0r － 9-9 半径为R1＝1.0 cm的导体球带电量为q＝1.0×1010 C，球外有一个内、外半径分别为R2＝3.0 cm和R3＝4.0 cm的同心导体球壳，壳上带有电量Q＝ －10 11×10 C.试求：(1)两球的电势；(2)若用导线把两球连接起来时两球的电势；(3)若外球接地时，两球的电势各为多少？ 解：球壳内表面将出现负的感生电荷-q，外表面为的感生电荷Q+q． (1) 按电势叠加原理求电 导体球的电势为 U1?Q?q 4π?0R14π?0R24π?0R31qqQ?qU1?(??) 4π?0R1R2R3??qqO R2 R1 10?101112?(??) 4?π?8.85?10?120.010.030.04 ＝3.297×10 V 导体球壳的电势为 2 R3 +q 10?1012Q?q2 U2???＝2.698×10 V ?124π?0R34?π?8.85?100.04(2) 两球连接起来时，球壳外表面的电荷Q+q． 10?1012Q?q2 U3???＝2.698×10 V ?124π?0R34?π?8.85?100.04(3) 外球接地时，球壳内表面将出现负的感生电荷-q，外表面的电荷为0． 导体球的电势为 10?1011U4???(?)＝59.9V ?124π?0R14π?0R24?π?8.85?100.010.03qq球壳的电势为0 9-10 一无限长圆柱形导体，半径为a，单位长度上带有电量λ1，其外有一共轴的无限长导体圆筒，内、外半径分别为b和c，单位长度带有电量λ2，试求各区域的场强分布. 解：根据对称性,取一高为l的圆柱形的高斯面, c ??qi由高斯定理 E?dS? Sb ???a ?r a 0???????s上??E?ds???s下????E?ds??E?ds ?s侧r ????1l?E2?2?r?l??0?得：E2?? ?1?r 2??0r2?b c ????s上??E?ds???s下????E?ds??E?ds ?s侧?1??2?E4?2?r?l?l ?0????2?E4??1r 2??0r2 9-11 如图所示，三块面积为200 cm2的平行薄金属板，其中A板带电Q＝ － 3.0×107C，B，C板均接地，A，B板相距4 mm，A，C两板相距2 mm.(1)计算B，C板上感应电荷及A板的电势；(2)若在A，B两板间充满相对介电常量εr＝5的均匀电介质，求B，C板上的感应电荷及A板的电势. 解：忽略边缘效应 (1) A板上电荷守恒，且为等势体 习题9-11图 EACdAC?EABdAB ?C?dAC?BdAB ?0?0?CdAC??BdAB （1） ?CS??BS??Q （2） dd?CS??CACS?QC(1?AC)??Q dABdAB QC??QdAB4－7 ??3.0?10?7＝－2.0×10C dAB?dAC4?2－7 QB＝－1.0×10C UA?EACdAC?3 ??C?0dAC2?10?7?3＝2.26×??2?10?4?12200?10?8.85?1010V (2) 当A，B两板间充满相对介电常量εr时 D??0?rE ?C?dAC?BdAB ?0?0?r?C?rdAC??BdAB （1） ?CS??BS??Q （2） QC??QdABdAB4－7 ??3.0?10?7＝0.86×10C ??rdAC4?2?5－7 QB＝－2.14×10C UA?EACdAC?10V 2 ??C?0dAC0.86?10?7?3＝9.7×??2?10?4?12200?10?8.85?10QC??QdAB4－7 ??3.0?10?7＝－2.0×10C dAB?dAC4?2－7 QB＝－1.0×10C UA?EACdAC?3 ??C?0dAC2?10?7?3＝2.26×??2?10?4?12200?10?8.85?1010V 9-12 证明：两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A和B相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反；相背的两面上电荷面密度大小相等，符 － 号相同.如果两金属板的面积同为100 cm2，带电量分别为QA＝6×108 C和 QB＝4×108 C，略去边缘效应，求两板的四个表面上的电荷面密度. 解: 取圆柱形高斯面,如图 － ?S???2?S??3?SE?ds? ?0?1 ?2 ?3 ?4 ∴ ?2 + ?3 = 0 (1) ?2 = - ?3 △S 电荷守恒： ?△S 1S+ ?2S= QA (2) ?3S+ ?4 S= QB (3) E4 在A导体内任取一点 EE1 ?E2 ? E3 E1 3 ? E4= 0 ?E2 1?2?2???3??4?0 02?02?02?0QA d QB ?1 ??2 ? ?3 ? ?4= 0 (4) 由(1)和(4)可得 ?1 =?4 由(2)+(3)可得 ?1 = ?4 =( QA+QB ) /2S=5×10-6 C 由(2)-(3)可得 ?2 =- ?3 = ( QA-QB ) /2S= -1×10-6 C 注：在不知道电荷性质时,电场强度方向可任意设，但必须保证A,B导体内E=0 9-13 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为 d?3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量． 解: 如题9-13图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势UO?0 9-13图 由电势叠加原理有： Uq'qO?4π??π??0 0R403R得 q???q3 9-14 在半径为R的金属球之外包有一层外半径为R'的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为?r，金属球带电Q．试求： S (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． ??解: 利用有介质时的高斯定理?D?dS??q S(1)介质内(R?r?R)场强 '???Qr?QrD?,E内?; 4πr34π?0?rr3介质外(r?R)场强 '??Qr?QrD?,E外? 334πr4π?0r (2)介质外(r?R)电势 ???U??E外?dr?r'Q 4π?0r介质内(R?r?R)电势 'U?? ?r?????E内?dr??E外?drr ?11Q(?')? '4π?0?rrR4π?0RQ1??1(?r') 4π?0?rrR?q? (3)金属球的电势 U??E内?dr??'E外?dr RRR'??R'R?QdrQdr? 4π?0?rr2?R'4π?0r2?Q1??1(?r') 4π?0?rRR 9-15 计算两个半径均为a的导体球组成的电容器的电容.已知两导体球球心相距L(L>>a)，若导体球带电，可认为球面上电荷均匀分布). 解：两球相距很远，近似孤立，两球电势差为： L QQU1?，U2?? a 4??0a4??0a系统电容 C?a Q＝2??0a U1?U2 9-16 一半径为R，带电量为Q的金属球，球外有一层均匀电介质组成的同心球壳，其内、外半径分别为a，b，相对介电常量为εr.求：(1)电介质内、外空间的电位移和场强；(2)离球心O为r处的电势分布；(3)如果在电介质外罩一半径为b的导体薄球壳，该球壳与导体球构成一电容器，这电容器的电容多大. ??解：(1) D,E分布 取同心球面为高斯面 εr. 由高斯定理 D?ds?s??导体球内：(r 介质与导体球之间: (R ????q ir b a R ??2?SD?ds?D?4πr＝Q ??Q?Q?E?r ， D2?r2334??0r4?r介质内：(a ??QQ?E?r D3?， r3334??0?rr4?r介质外：(r>b) ?Q?Q?E?r D4?r，44??0r34?r3(2)电势分布 r U1?Q?11?Q????4??0?Ra?4??0?rQ?11??????ab?4??0b?Q4??0(1(?r?1)(b?a)?) R?rab： R U2?Q?11?Q????4??0?ra?4??0?rQ?11??????ab?4??0b?1(??1)(b?a)(?r) 4??0r?rabQQQ1?r?1?11????(?) ??4??0?r?rb?4??0b4??0?rrbQa (3)该球壳与导体球构成电容器的电容: ?U?U1?Q4??0(1(?r?1)(b?a)?) R?rabC?4??0?rabRQ?) ?UR(b?a)??rb(a?R) 9-17 如图所示，极板面积S＝40 cm2的平行板电容器内有两层均匀电介质，其相对介电常量分别为εr1＝4和εr2＝2，电介质层厚度分别为d1＝2 mm和d2＝3 mm，两极板间电势差为200 V.试计算：(1)每层电介质中各点的能量体密度；(2)每层电介质中电场的能量；(3)电容器的总能量. 解：(1) 在电介质中D1=D2=? ?, ?0?r1?E2? ?0?r2?2???d1d2??U12??E?dl?E1d1?E2d2??? ??1?0??r1?r2?E1?习题9-17图 ???0?r1?r2U d1?r2?d2?r111?21?r2U1U2222w1??0?r1E1??0?r1()??0?r1()??0?r1?r222?0?r12d1?r2?d2?r12(d1?r2?d2?r1)212002－2-3 ?122＝1.11×10J.mw1??8.85?10?4?2?2((2?2?3?4)?10?3)21U2－3-32同理w2??0?r2?r1＝2.21×10J.m 22(d1?r2?d2?r1)(2) W1= w1△V1 = 1.11×10×40×10×2×10=8.88×10J －2-4-3-7 W2= w2△V2= 2.21×10×40×10×3×10=2.65×10J -7 (3) W=W1+W2=3.54×10J 9-18 半径为R1=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2=4.0cm和R3=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0×10-8C(1)整个电场储存的能量； (2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值． 解: 如图，内球带电Q，外球壳内表面带电?Q，外表面带电Q －2 -4 -3 -8 题9-18图 (1)在r?R1和R2?r?R3区域 ?E?0 ?在R1?r?R2时 E1??r?R3时 E2??Qr 34π?0r?Qr 4π?0r3∴在R1?r?R2区域 W1??R2R11Q?0()24πr2dr 224π?0r??在r?R3区域 R2R1Q2drQ211?(?) 8π?0r28π?0R1R21QQ2122 W2???0()4πrdr?2R328π?0R34π?0r?Q2111∴ 总能量 W?W1?W2?(??) 8π?0R1R2R3?1.82?10?4J ?(2)导体壳接地时，只有R1?r?R2时E??Qr,W2?0 34π?0rQ211∴ W?W1?(?)?1.01?10?4 J 8π?0R1R2(3)电容器电容 C?2W11?4π?/(?) 02R1R2Q?4.49?10?12F 9-19 平行板电容器的极板面积S＝300 cm2，两极板相距d1＝3 mm，在两极板间有一平行金属板，其面积与极板相同，厚度为d2＝1 mm，当电容器被充电到U＝600 V后，拆去电源，然后抽出金属板.问：(1)电容器两极板间电场强度多大，是否发生变化？(2)抽出此板需做多少功？ 解：(1)极板间有金属板时，相当电容器的极板距离缩小为d1-d2 其电容为 C1??0Sd1?d2 电场强度 E?电场强度不变 U600??3?105V.m-1 ?3d1?d22?10(2) 抽出金属板后电容为 C2??0Sd1 Q?C1U??0SUd1?d21Q21Q21?0SU2111UA?W2?W1???()(?)?()2?0Sd22C22C12d1?d2C2C12d1?d2 16002A??8.85?10?12?300?10?4?10?3=1.19×10-5J ?322(2?10) 9-20 有一均匀带电Q的球体，半径为R，试求其电场所储存的能量. 解：由高斯定理可求得 E1?Qr4??0R3(r?R)， E2?RQ4??0r2(r?R) ? W?1?02?EdV ?0?22V?0E12?4?r2dr??02?R2E2?4?r2dr Q2Q23Q2 ? ??40??0R8??0R20??0R第十章 μ0I 10-1 无限长直线电流的磁感应强度公式为B＝，当场点无限接近于导线 2πa时(即a→0)，磁感应强度B→∞，这个结论正确吗？如何解释？ 答：结论不正确。公式B??0I只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当2?aa→0， 导线的尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。 10-2 如图所示，过一个圆形电流I附近的P点，作一个同心共面圆形环路L，由于电流分布的轴对称，L上各点的B大小相等，应用安培环路定理，可得∮LB·dl＝0，是否可由此得出结论，L上各点的B均为零？为什么？ 答：L上各点的B不为零. 由安培环路定理 习题10-2图 ?? ?B?dl??0?Ii ??得 ?B?dl?0，说明圆形环路L内的电流代数和为零，并不是说圆形环路 L上B一定为零。 10-3 设题10-3图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论： (1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等? (2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么? i????解： ?B?dl?8?0 a?ba??B?dl?8?0 c??B??dl?0 ?(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等． ???(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0． 题10-3图 10-4 图示为相互垂直的两个电流元，它们之间的相互作用力是否等值、反向？由此可得出什么结论？ 答：两个垂直的电流元之间相互作用力不是等值、反向的。 ????0Idl?r???dF?Idl?B dB? 4?r2r12 r21 习题10-4图 ?????Idl?r???21)?Idl?(I2dl2?r dF12?I1dl1?022221?01124?r214?r21?????Idl?r???12)?Idl?(I1dl1?r dF12?I2dl2?011212?02224?r124?r12???????12)dl2?(dl1?r?12)?IIdl?(dl2?rdF12?dF21?012(?1?) 224?r12r12????????????IIdl(r?dl)?dl(r?dl)?IIr?(dl1?dl2)dF12?dF21?012(112222121)?0121224?r124?r12 一般情况下 dF12?dF21?0 由此可得出两电流元（运动电荷）之间相互作用力一般不满足牛顿第三定律。 10-5 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？ 答：弹簧会作机械振动。 当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行的，而同向平行电流会互相吸引，因此弹簧被压缩，下端会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动。 习题10-5图 10-6 如图所示为两根垂直于xy平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I但方向相反的电流.求：(1)x轴上任意一点的磁感应强度；(2)x为何值时，B值最大，并给出最大值Bmax. y 解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P点产生的磁感 强度的大小为： ??B1??0I2?r??0I1 221/22?(d?x)?习题10-6图 y 1 d r x P B1 2导线在P点产生的磁感强度的大小为： ?I?I1B2?0?0?2 21/22?(d?x)2?r??B1、B2的方向如图所示． P 点总场 Bx?B1x?B2x?B1cos??B2cos? By?B1y?B2y?0 B(x)??0Id?(d?x)22，B(x)???0Id?(d?x)22?i ? ? B2 x o 2 d d2B(x)dB(x)??0时，B(x)最大． (2) 当 ?0，2dxdx由此可得：x = 0处，B有最大值． 10-7 如图所示被折成钝角的长直载流导线中，通有电流I＝20 A，θ＝120°，a＝2.0 mm，求A点的磁感应强度. 解：载流直导线的磁场 B??0I(sin?2?sin?1) 4?d(sin900?sin(900??))) 20(1?0.5)=1.73?10-3T A点的磁感应强度 d B?0??0I4?asin?B?10?7?习题10-7图 2.0?10?3?3/2方向垂直纸面向外。 10-8 一根无限长直导线弯成如图所示形状，通以电流I，求O点的磁感应强度. 解：图所示形状，为圆弧电流和两半无限长直载流导线的磁场叠加。 圆电流的中心的 B??0I? 2R2?半无限长直载流导线的磁场 B??0I 4?a?I3?0I?I+＝B?0(8?3?) B?02R82?R16?R方向垂直纸面向外。 习题10-8图 10-9 如图所示，宽度为a的薄长金属板中通有电流I，电流沿薄板宽度方向均匀分布.求在薄板所在平面内距板的边缘为x的P点处的磁感应强度. 解：取离P点为y宽度为dy的无限长载流细条 di?Idy ay 长载流细条在P点产生的磁感应强度 dB??0di2?y??0Idy2??y 习题10-9图 所有载流长条在P点产生的磁感强度的方向都相同，方向垂直纸面向外. 所以 B?dB???0I2???a?xxdy?0Ia?x ?lny2?ax方向垂直纸面向外. 10-10 如图所示，半径为R的圆盘上均匀分布着电荷，面密度为＋σ，当这圆盘以角速度ω绕中心垂轴旋转时，求轴线上距圆盘中心O为x处的P点的磁感应强度. 解：在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的环带，此环带所带电荷 dq???2?rdr． 此环带转动相当于一圆电流，其电流大小为 dI??dq/2? 它在x处产生的磁感强度为 dB??0r2dI2(r2?x2)3/2??0??2r3?2dr (r?x2)3/2习题10-10图 故P点处总的磁感强度大小为： B??0??R2?0??R2?2x2r3(2?2x) dr?21/2223/2?2(R?x)(r?x)0方向沿x轴方向. 10-11 半径为R的均匀带电细圆环，单位长度上所带电量为λ，以每秒n转绕通过环心，并与环面垂直的转轴匀速转动.求：(1)轴上任一点处的磁感应强度值；(2)圆环的磁矩值. 解：(1) I?2?R?n y B?By??0??nR3(R2?y2)3/2 O R ?B的方向为y轴正向 ???223(2) pm??RIj?2?n?Rj -2 10-12 已知磁感应强度B?2.0Wb·m ?? x轴正方向， 如题10-12图所示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量． 解： 如题10-12图所示 题10-12图 (1)通过abcd面积S1的磁通是 ???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb (2)通过befc面积S2的磁通量 ???2?B?S2?0 (3)通过aefd面积S3的磁通量 ?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb (或曰 ?0.24Wb) 10-13 两平行长直导线，相距0.4 m，每根导线载有电流I1＝I2＝20 A，如图所示，试计算通过图中斜线部分面积的磁通量. 解：如图取面微元 ldx=0.20dx ??d d?m?B?dS?Bldx ??45B??0I1?0I2? 2?x2?(d?x)0.30方向垂直纸面向外. x dx ?m??d?m???0I1?0I2?)ldx 0.102?x2?(d?x)?Il0.30?0I2l0.40?0.10 ?01ln?ln2?0.102?0.40?0.30(=2.26?10-6Wb 习题10-13图 10-14长直同轴电缆由一根圆柱形导线外套同轴圆筒形导体组成，尺寸如图所示.电缆中的电流从中心导线流出，由外面导体圆筒流回.设电流均匀分布，内圆柱与外圆筒之间可作真空处理，求磁感应强度的分布. 解： ?L??B?dl??0?I Ir2(1)r?a B2?r??02 RB?(2) a?r?b B2?r??0I ?0Ir 22?RB??0I 2?rr2?b2??0I (3)b?r?c B2?r???0I22c?b?0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)r?c B2?r?0 B?0 题10-14图 习题10-15图 10-15 如图所示，一截面为长方形的闭合绕线环，通有电流I＝1.7 A，总匝数N＝1000 匝，外直径与内直径之比为η＝1.6，高h＝5.0 cm.求：(1)绕线环内的磁感应强度分布；(2)通过截面的磁通量. 解：(1) 环内取一同心积分回路 ???B?dl??Bdl?2?rB??0NI B??0NI 2?r方向为右螺旋 (2) 取面微元 hdr ??d?m?B?dS?Bhdr ??R2?NI0通过截面的磁通量. ?m??B?dS??hdr R12?r?NIhR2?0NIh?m?0ln?ln?=8.0?10-6Wb 2?R12? 10-16 一根m＝1.0 kg的铜棒静止在两根相距为l＝1.0 m的水平导轨上，棒载有电流I＝50 A，如图所示.(1)如果导轨光滑，均匀磁场的磁感应强度B垂直回路平面向上，且B＝0.5 T，欲保持其静止，须加怎样的力(大小与方向)？(2)如果导轨与铜棒间静摩擦系数0.6，求能使棒滑动的最小磁感应强度B. 解：(1) 导线ab中流过电流I，受安培力 B F1?IlB 方向水平向右,如图所示 ?F2 欲保持导线静止，则必须加力F2， a F1 l I ??F2方向与F1相反，即水平向左， b F2?F1?IlB?20?10?0.5 =25N (2) F1-?mg=ma F1-?mg?0 习题10-16图 0.12T F2?F1 B? ?mg0.6?1.0?9.8Il= 50?1.010-17 如题10-17图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈且CD，已CDEF中通有电流I2=10 A，AB与线圈共面，EF都与AB平行．知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm (1)导线AB(2) ?F 解：(1)CD方向垂直CD向左，大小 FCD?I2b?0I1?8.0?10?4 N 2?d?同理FFE方向垂直FE向右，大小 FFE?I2b?0I12?(d?a)?8.0?10?5 N ?FCF方向垂直CF向上，大小为 FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln?9.2?10?5 N 2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为 FED?FCF?9.2?10?5?????N (2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为 F?7.2?10?4N ???合力矩M?Pm?B ∵ 线圈与导线共面 ∴ Pm//B ???M?0． 题10-17图 题10-18图 10-18 边长为l=0.1mB=1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题10-18图所示，使线圈通以电流I=10A，求： (1) 线圈每边所受的安培力； (2) 对OO?轴的磁力矩大小； (3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功． ???解： (1) Fbc?Il?B?0 ???Fab?Il?B 方向?纸面向外，大小为 Fab?IlBsin120??0.866 N ???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小 Fca?IlBsin120??0.866 N (2)Pm?IS ???M?Pm?B 沿OO?方向，大小为 3l2M?ISB?IB?4.33?10?2 N?m 4(3)磁力功 A?I(?2??1) ∵ ?1?0 ?2?∴ A?I32lB 4 32lB?4.33?10?2J4 － 10-19 横截面积S＝2.0 mm2的铜线，密度ρ＝8.9×103 kg·m3，弯成正方形的三边，可以绕水平轴OO′转动，如图所示.均匀磁场方向向上，当导线中通有电流I＝10 A，导线AD段和BC段与竖直方向的夹角θ＝15°时处于平衡状态，求磁感应强度B的量值. 解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO＇轴而言)． 设正方形的边长为a, 则重力矩 1M1?2a?gS?asin??a?gSasin? 22 ?2Sa?gsin? 122s 磁力矩 M2?BIasin(???)?IaBco?2平衡时 M1?M2 习题10-19图 2所以 2Sa?gsin??IaBcos? 2 B?2S?gtg?/I?9.35?10 T 10-20 塑料圆环盘，内外半径分别为a和R，如图所示.均匀带电＋q，令此盘以ω绕过环心O处的垂直轴匀角速转动.求：(1)环心O处的磁感应强度B；(2)若施加一均匀外磁场，其磁感应强度B平行于环盘平面，计算圆环受到的磁力矩. 解：(1) 取一r→r?dr圆环， 环上电荷 dq??2?rdr 环电流 dI??r?dr 圆环电流的中心的 dB??3?0dI2r dB?B??R?0??2dr?dr 习题10-20图 2?0??2?0q?2?(R2?a)a(R?a)??0q? 2?(R?a)(2) 圆环r→r?dr磁矩大小为 22 dpm??rdI??r??rdr M???r3B??dr?aR?q?B(R2?a2) ? － 10-21 一电子具有速度 v＝(2.0×106i＋3.0×106j) m·s1，进入磁场B＝(0.03i－0.15j) T中，求作用在电子上的洛伦兹力. ???解：F?q(??B) ?????F?q(2.0i?3.0j)?(0.03i?0.15j)?106 ?????13-14F?1.6?(?0.30k?0.09kj)?10??6.08?10kN － 10-22 一质子以v＝(2.0×105i＋3.0×105j) m·s1的速度射入磁感应强度B＝0.08i T的均匀磁场中，求这质子作螺线运动的半径和螺距(质子质量mp＝ － 1.67×1027 kg). m??1.67?10?27?3.0?105-2解：半径:R? ?=3.91?10m ?191.6?10?0.08qB2?R2?mT?? v?qB螺 5距: h?v//T?v//?2?m qB2?3.14?1.67?10?27?2.0?10?=0.164m 1.6?10?19?0.08 － 10-23 一金属霍耳元件，厚度为0.15 mm，电荷数密度为1024 m3，将霍耳元件放入待测磁场中，霍耳电压为42 μV时，测得电流为10 mA，求此待测磁场的磁感应强度的大小. 解：由：UH?1IB 得 nqbnqb1024?1.6?10?19?0.15?10?3?6B?UH??42?10＝0.101T ?3I10?10 第十一章 11-1 磁场强度H和磁感应强度B有何区别和联系？为什么要引入H来描 述磁场？ 答：都用来描述磁场空间的分布，B是基本物理量，H是引入的辅助物理量， ????它们都满足叠加原理B??Bi；H??Hi;B线，H线都是闭合的。 ii??B?B和H的关系式： H??M ?0当磁场中有磁介质时，磁介质的磁化会激发磁化电流，而磁化电流也会产生磁场，磁化电流又依赖于介质中的总磁感应强度B，且无法直接测量。 ??B?因此，引入H??M，以简化磁介质中磁场的讨论，更方便地计算磁感 ?0应强度B。 如引进辅助矢量H后，磁介质中的安培环路定理中不再包含磁化电流. ???H?dl??I L 11-2 搬运烧得赤红的钢锭时，可否用电磁铁起重机起吊？为什么？ 答：不可用电磁铁起重机起吊。 电磁铁起重机是利用铁磁材料能产生很强的磁性,使钢锭磁化而产生强磁场力。但当温度比较高时，铁磁材料分子热运动加剧，磁畴内部分子磁矩的规则排列受到一定程度的破坏，铁磁性会消失而显顺磁性，这样产生的磁性很弱，不足以起吊重的钢锭。 11-3 有人说顺磁质的B与H同方向，而抗磁质的B与H两者方向相反，你认为正确吗？为什么？ 答：不正确。 ??B与H方向应由B??0?rH 来确定，其中 μr=(1＋χm). 在外磁场作用下，顺磁质分子，产生了与外磁场B0同方向的附加磁场B′， 即χm＞0，μr＞1，顺磁质的B与H同方向；对于抗磁质分子，虽然产生与外磁场B0方向相反的附加磁场B′，且χm＜0，μr＜1， 但并不是说B与H两者方向就相反. 顺磁质和抗磁质，都是弱磁质，它们产生的附加磁场一般都比外磁场小，在各向同性的均匀介质中，B与H都是同方向的。 11-4 图中给出三种不同磁介质的B—H曲线，试指出属于顺磁质、抗磁质和铁磁质关系曲线的是哪一条？ 习题11-4图 答: 曲线Ⅱ是顺磁质，曲线是Ⅰ抗磁质，曲线Ⅲ是铁磁质． － 11-5 在一匀强磁场中放一横截面积为1.2×103 m2的铁芯，设其中磁通量为 －3 4.5×10 Wb，铁的相对磁导率为μr＝5000，求磁场强度. 解：匀强磁场中，铁芯截面积较小 ??由?m?B?S得 ?m4.5?10?3B??＝3.75 T S1.2?10?3??由 B??0?rH得 B3.75 H??＝5.97×102A?m-1 ?7?0?r4??10?5000 11-6 螺绕环中心周长L=10cm，环上线圈匝数N=200匝，线圈中通有电流I=100 mA． ??(1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度H和磁感应强度B0； ??(2)若环内充满相对磁导率?r=4200的磁性物质，则管内的B和H各是多少? (3)磁性物质中心处由导线中传导电流产生的B0和由磁化电流产生的B′各是多少? ????解: (1) ?H?dl??I lHL?NI H?NI?200A?m?1 LB0??0H?2.5?10?4T (2)H?200 A?m?1B??H??r?oH?1.05 T ??4(3)由传导电流产生的B0即(1)中的B0?2.5?10∴由磁化电流产生的B??B?B0?1.05T T 11-7 为测试材料的相对磁导率μr，常将该种材料做成截面为矩形的环形样品，然后用漆包线绕成一环形螺线管.设圆环的平均周长为0.10 m，横截面积 － 为0.5×104 m2，线圈的匝数为200匝.当线圈中通以0.1 A的电流时，测得通 － 过圆环横截面的磁通量为6×105 Wb，计算该材料的相对磁导率μr. ??解：磁介质中的安培环路定理 ?H?dl??I lNINI= ? 2?rl??Bl?m由 B??0?rH得 ?r? ?0NIS??由?m?B?S得 H?2?r?N?I ,H?0.10?6?10?5l?m? ?r?＝4.77×103 ?7?4?0NIS4??10?200?0.1?0.5?10 11-8 有两个半径为r和R的无限长同轴导体圆柱面，通以相反方向的电流I，两圆柱面间充以相对磁导率为μr的均匀磁介质.求：(1)磁介质中的磁感应强度；(2)两圆柱面外的磁感应强度. 解： (1) r ??磁介质中的安培环路定理 ?H?dl??I l2?a????I由 B??0?rH得 B?0r 方向右螺旋 2?a(2) a>R H?2?a?I ,H?I ??安培环路定理 ?H?dl??I lH?2?a?0 B=0 － 11-9 一根细磁棒，其矫顽力Hc＝4×103 A·m1，把它放进长12 cm，绕有60匝线圈的长直螺线管中退磁，此螺线管应通以多大的电流才能使磁棒完全退磁. ??解：磁介质中的安培环路定理 ?H?dl??I lH?nI= NI lHl4?103?0.12==8A I?60N 第十二章 12-1 假定一矩形框以匀加速度a，自磁场外进入均匀磁场后又穿出该磁场， 如图所示，问哪个图最适合表示感应电流Ii随时间t的变化关系，Ii的正负规定：逆时针为正，顺时针为负. 习题12-1图 答：d图 12-2 让一块磁铁在一根很长的竖直铜管内落下，不计空气阻力，试说明磁铁最后将达到一恒定收尾速度. 答：铜管可以看成是由无数平行的铜圈叠合构成，当磁铁下落而穿过它时，产生感应电流．该电流产生的磁场对磁铁产生向上的阻力，阻碍磁铁下落．当磁铁速度增加时，阻力也增大，使磁铁的加速度越来越小，最后当磁铁下落速度足够大， 使磁力与重力相平衡时，磁铁匀速下降． 12-3 有一铜环和木环，二环尺寸全同，今用相同磁铁从同样的高度、相同的速度沿环中心轴线插入.问：(1)在同一时刻，通过这两环的磁通量是否相同？(2)两环中感生电动势是否相同？(3)两环中涡旋电场E涡的分布是否相同？为什么？ 答：(1) 当两环完全重叠地置于磁场空间，通过这两环的磁通量相同． (2) 感生电动势不相同。铜环中感生电动势由???d?确定，而木环内的磁dt通量的变化率与铜环相等,但木环中无自由电子，不会产生感应电流，因而没有感生电动势。 (3) 当两环完全重叠地置于磁场空间，两环中涡旋电场E涡的分布相同。从麦 ??B克斯韦关于涡旋电场E涡与电场强度的关系可知．由于两环的磁场的变 ?t化相同，因此，感生电场分布是相同的。 12-4 一局限在半径为R的圆柱形空间的均匀磁场B的方向 dB 垂直于纸面向里，如图所示.令>0，金属杆Oa，ab和ac dt 分别沿半径、弦和切线方向放置，设三者长度相同，电阻相等.今用一电流计，一端固接于a点，另一端依次与O，b，c相接，设电流计G分别测得电流I1，I2，I3，判断下述答案哪个正确，并说明理由. (1) I1＝0，I2≠0，I3＝0； (2) I1>I2>I3≠0； (3) I1 ???R2Φ1(t)?B?S?B 4πR2dB?1?? 4dt??πR23R2?2?B?S?B(?) 6413dB?2??(?)?R2 64?dtΦ3(t)?0 ?3?0 习题12－4图 12-5 (1)两个相似的扁平圆线圈，怎样放置，它们的互感系数最小？设二者中心距离不变；(2)交流收音机中一般有一个电源变压器和一个输出变压器，为了减小它们之间的相互干扰，这两个变压器的位置应如何放置？为什么？ 答：(1)将两个线圈互相垂直地放置时，其互感最小。 (2)为减小它们之间的相互干扰，这两个变压器线圈的方向相互垂直。 因为线圈互相垂直地放置，当一线圈通以一定电时，产生磁感应强度通过另一垂直放置的线圈平面的磁通量最小，由互感系数定义M21?知，此时的互感系数最小。 ?21I1可 12-6 一根长为l的导线，通以电流I，问在下述的哪一种情况中，磁场能量较大？ (1)把导线拉成直线后通以电流； (2)把导线卷成螺线管后通以电流. 答：第二种情况磁场能量较大。 12-7 什么是位移电流？什么是全电流？位移电流和传导电流有什么不同？ 答：位移电流为通过某截面的的电位移通量对时间的变化率；全电流是通过某截面的的传导电流、运流电流和位移电流的代数和. 传导电流由q 定向运动形成，存在于实物中；位移电流由E的变化形成，可存在于实物中，也可存在于真空中。传导电流有焦耳热，位移电流不产生焦耳热。 12-8 (1)真空中静电场和真空中一般电磁场的高斯定理形式皆为∮SD·dS＝∑q，但在理解上有何不同？(2)真空中稳恒电流的磁场和真空中一般电磁场的磁高斯定理皆为∮SB·dS＝0，但在理解上有何不同？ ??答：静电场的高斯定理中的D??0E是由静止电荷激发的合场强，是保守场。 ?真空中一般电磁场的高斯定理D是由电荷激发的电场和由变化磁场激发的 电场的合场强，其中由变化磁场激发的电场是涡旋场，不是保守场。 真空中稳恒电流的磁场B，是由电荷作定向运动形成的恒定电流所激发的磁感应强度;而对于真空中一般电磁场，则是由全电流激发。无论何种情况．磁感应线都是闭合的涡旋线，对任意闭合曲面S，B线的净通量为0. 12-9 一导线ac弯成如图所示形状，且ab＝bc＝10cm，若使导线在磁感应 －－ 强度B＝2.5×102T的均匀磁场中，以速度v＝1.5 cm·s1向右运动.问ac间电势差多大？哪一端电势高？ ???d??(??B)?dl解： ??bc???????(??B)?dl??(??B)?dl ab＝0+ ?cb?Bsin300dl ＝?Bbcsin300 －－－ ＝1.5?102?2.5×102????????＝1.875×105V C端高 习题12－9图 题12-10图 12-10 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，aO=强度B平行于转轴，如图12-10所示．试求： （1）ab两端的电势差； （2）a,b两端哪一点电势高? 解: (1)在Ob上取r?r?dr一小段 则 ?Ob?l磁感应3?2l30?rBdr?2B?2l 91B?l2 18同理 ?Oa??l30?rBdr?∴ ?ab??aO??Ob?(?121?)B?l2?B?l2 1896(2)∵ ?ab?0 即Ua?Ub?0 ∴b点电势高． － 12-11 平均半径为12 cm的4000匝线圈，在强度为0.5×104T的地球磁场中每秒钟旋转30周，线圈中最大感应电动势是多少？ 解：?m?NBScos?t 最大感应电动势 ?m?NBS? ?m=4000×0.5×104×3.14×0.122×3.14×60=1.7V － 12-12 如图所示，长直导线通以电流I＝5 A，在其右方放一长方形线圈，两者共面，线圈长l1＝0.20 m，宽l2＝0.10 m，共1000匝，令线圈以速度v＝3.0 －m·s1垂直于直导线运动，求a＝0.10 m时，线圈中的感应电动势的大小和方向. 解： Φ(t)????0IB?dS?l1dr ??2?rSl2dr?0Il1?ln(1?) ?a2?r2π?t?IldΦl2?01 ??? dtt?02π(l2??t)t?(t)?a?l2?0Il1r dr 习题12-12图 a＝0.10 m时, t=0.10/3.0s l22?10?7?5?0.1?0.2－ =3.0×106V ???2π(l2??t)t(0.1?0.1)/30?0Il1方向顺时钟 题12-13图 12-13 如题12-13图所示，长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面 ?的正中间，并以速度v平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流I，两导线相距2a．试求：金属杆两端的电势差及其方向． 解：在金属杆上取dr距左边直导线为r，则 ?ABa?b?Iv1??0Iva?b1?????(v?B)?dl???0(?)dr?ln Aa?b2?r2a?r?a?bB∵ ?AB?0 ∴实际上感应电动势方向从B?A，即从图中从右向左， ∴ UAB??0Iva?b ln?a?b题12-14图 12-14 如题12-14所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以(1) (2) 解: 以向外磁通为正则 (1) dI的变化率增大，求： dtb?ad?a?ln] bd2πr2πr2πbdd??0ld?ab?adI(2) ????[ln?ln] dt2πdbdt?m??b?a?0Ildr??d?a?0Ildr??0Il[ln 12-15 在半径为R的圆筒内，均匀磁场的磁感应强度B的方向与轴线平行，dB－－ ＝－1.0×102 T·s1，a点离轴线的距离为r＝5.0 cm，如图所示.求：(1)adt 点涡旋电场的大小和方向；(2)在a点放一电子可获得多大加速度？方向如何？ ????B??dS 解：(1) ?E涡?dl???lS?t?B00Edlcos0???l涡?S?tdScos180 dB2rdBE涡2?r??r，E涡? dt2dt0.05E涡??1.0?10?2=2.5×10－4V.m-1 2方向：顺时针方向. 习题12-15图 eE涡1.6?10?19?2.5?10?4?(2) a?=4.4×107m.s-2 ?31m9.1?10方向：逆时针方向. 题12-16图 ?12-16 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放 在题12-16图中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向． dBdt解： ∵ ?ac??ab??bc ?ab??d?1d32??[?RB]?dtdt43RdB 4dt?abd?2dπR2πR2dBB]? ????[?dt1212dtdt3R2πR2dB?[?] 412dt∴ ?ac∵ dB?0 dt∴ ?ac?0即?从a?c dB＞0的磁场，一任意闭合导线abca，一dt部分在螺线管内绷直成ab弦，a,b两点与螺线管绝缘，如题12-17图所示．设ab =R，试求：闭合导线中的感应电动势． 解：如图，闭合导线abca内磁通量 12-17 半径为R的直螺线管中，有 ??πR23R2?m?B?S?B(?) 64πR232dB?R)∴ ?i??( 64dt∵ dB?0 dt∴?i?0，即感应电动势沿acba，逆时针方向． 题12-17图 题12-18图 12-18 一矩形截面的螺绕环，高为h，如题12-18图所示，共有N(1) (2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少? 解：如题12-18图示 (1)通过横截面的磁通为 ??磁链 ??N?? ?b?0NI2rπahdr??0NIh2πlnb a?0N2Ih2πlnb a∴ L??I??0N2h2πlnb a(2)∵ Wm?∴ Wm?12LI 2lnb a?0N2I2h4π 12-19 一个由中心开始密绕的平面螺线形线圈，共有N匝，其外半径为a，放在与平面垂直的均匀磁场中，磁感应强度B＝B0sinωt，B0，ω均为常数，求线圈中的感应电动势. ??aBN?a22Ndr?解：Φ(t)??B?dS??B?r 0a3S?Na2B0?dΦ?????cos?t dt3 12-20 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心相距为d，两导线属于同一回路．设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为 lL??0l?ln d?a ． a 解： 如图12-20图所示，取dS?ldr 则 ???d?aa(?0I2rπ??0I2π(d?r))ldr??0Il2π?d?aa?Il11d?ad(?)dr?0(ln?ln)rr?d2πad?a ??0Ilπlnd?a a∴ L??I??0lπlnd?a a 题12-20图 题12-21图 12-21 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题12-21图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．求：线圈与导线间的互感系数． 解： 设长直电流为I，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为 ?12??2a3a3?0Ia2πrdr??0Ia2πln2 ∴ M??12I??0a2πln2 12-22 如图所示，螺线管内充有两种均匀磁介质，其截面分别为S1和S2，磁导率分别为μ1和μ2，两种介质的分界面为与螺线管同轴的圆柱面.螺线管长为l，匝数为N，管的直径远小于管长，设螺线管通有电流I，求螺线管的自感系数和单位长度储存的磁能. ??解：?H?dl??I LN?NI?nI,B?I llN2I?m?NB1S1?NB2S2?(?1S1??2S2) l?N2?(?1S1??2S2) L?lI12N2I2(?1S1??2S2) Wm?LI?2l2H?习题12-22图 WmN2I2wm??(?1S1??2S2) 2l2l 12-23 一无限长直粗导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I.求：(1)导线内部单位长度所储存的磁能；(2)导线内部单位长度的自感系数. 解：长直导线内部?r=1,B,H方向相同。 (1)H?dl?L????I ?0III2 ,, ?rH?rB?r ?R22?R22?R22R?lI?0lI21??1R?0I2330Wm??B?HdV??r2?ldr??rdr? 244V20024?R4?R16?Wm?0I2wm?? l16??12?0I2(2) wm?LI?， L?0 216?8?H2?r? 12-24 半径为R＝0.10 m的两块圆板，构成平行板电容器，放在真空中，今 dE－－ 对电容器充电，使两板间电场的变化率为＝1.0×1013 V·m1·s1.求：(1)板 dt － 间的位移电流；(2)电容器内距中心轴线为r＝9×103m处的磁感应强度. 解：(1) I?2.8A d?DdE2?1213 ?3.14?0.1?8.85?10?1.0?10＝??R2?0dtdt?0I?0I2?10?7?2.89?10?3=5.0×10-7T (2) B?r?r?2220.12?R2?R 12-25 圆柱形电容器内、外半径分别为R1和R2，中间充满介电常量为ε的 dU 介质，当内、外两极板间的电压随时间的变化率为＝k时，求介质内距轴 dt 线为r处的位移电流密度. 解：圆柱形电容器电容 C?2??l R2lnR1q?CU?2??lU R2lnR1D?q2??lU?U?? RRS2?rln2rln2R1R1∴ j??D??t?kRrln2R1 12-26 真空中，一平面电磁波的电场由下式给出： Ex＝0， x－－18?t－??V·Ey＝60×102cos?2π×10m， ??c?? Ez＝0 求：(1)波长和频率；(2)传播方向；(3)磁场的大小和方向. 解：(1)波长 ????????=108Hz? (2)沿x轴方向 (3) ?E??H 8???2π×10?0?0Ey=2×10－9cos???t－c??T Bx＝0，By＝0 Bz??0Hz?x 12-27 真空中，一平面电磁波沿x轴正向传播，已知电场强度为Ex＝0，Ey x ＝E0cosω(t－)，Ez＝0，求磁场强度. c 解：Hx＝0，Hy＝0 Hz??0xEy=??c E0cosω(t－c)T ?0 12-28 一广播电台的平均辐射功率为10 kW，假定辐射的能流均匀分布在以电台为中心的半球面上. (1) 求距电台为r＝10 km处，坡印廷矢量的平均值； (2) 设在上述距离处的电磁波可视为平面波，求该处电场强度和磁场强度的振幅. 104P-6-2 解：(1) S?== 7.95×10W.m 4224??(10)4πrS?E0H0?2?012E0 2?0E0?(= 2S?0?0)1/2?(2?0?0P1/24??10?72?10?1031/2)?()232?124πr8.85?104??(10?10)7.74×10-2W.m-2 B0??0H0??0?0E0??0?0E0= 2.58×10-11T ?0 12-29 图示为一个正在充电的平行板电容器，电容器极板为圆形，半径为R，板间距离为b，充电电流方向如图所示，忽略边缘效应.求：(1)当两极板间电压为U时，在极板边缘处的坡印廷矢量S的大小和指向；(2)证明单位时间内进入电容器内部的总能量正好等于电容器静电能量的增加率. ???解：(1) S?E?H边缘 UdD?0dE?0dU E? , jD???bdtdtbdt??2H?dl??RjD ?jH?DR 2UR?0dU S?EH?22bdt方向由边缘指向中心 (2) 单位时间内流入电容器的总能量 B E 习题12-29图 P?2?RbS?U?0dU2?R bdt电容器静电能量 W?11?SCU2?(0)U2 22b单位时间内静电能量的增加率. dW?0U?R2dU? P? dtbdt 12-30 射到地球上的太阳光的平均能流密度是S＝1.4×10 W·m，这一能流对地球的辐射压力是多大(设太阳光完全被地球所吸收)？将这一压力和 太阳对地球的引力比较一下. 3 －2 S??Re21.4?103???(6.37?106)28 ?解：辐射压力F?=5.95×10N c3?108太阳对地球的引力 24me?ms?1.99?103022?115.98?10F引?G?6.67?10=3.53×10N 2112R(1.5?10) F5.95?108-14 =1.69×10 ?22F引3.53?10 习题十三 13-1 某单色光从空气射入水中，其频率、波速、波长是否变化?怎样变化? 解: ?不变，为波源的振动频率；?n??空n变小；u??n?变小． 13-2 在杨氏双缝实验中，作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化?试说明理由． (1)使两缝之间的距离变小； (2)保持双缝间距不变，使双缝与屏幕间的距离变小； (3)整个装置的结构不变，全部浸入水中； (4)光源作平行于S1，S2联线方向上下微小移动； (5)用一块透明的薄云母片盖住下面的一条缝． 解: 由?x?D?知，(1)条纹变疏；(2)条纹变密；(3)条纹变密；(4)零级d明纹在屏幕上作相反方向的上下移动；(5)零级明纹向下移动． 13-3 什么是光程? 在不同的均匀媒质中，若单色光通过的光程相等时，其几何路程是否相同?其所需时间是否相同?在光程差与位相差的关系式 ?解:??nr．不同媒质若光程相等，则其几何路程定不相同；其所需时间相 同，为?t????2?? 中,光波的波长要用真空中波长,为什么? ?． C因为?中已经将光在介质中的路程折算为光在真空中所走的路程。 13-4 如题13-4图所示，A，B两块平板玻璃构成空气劈尖，分析在下列情况中劈尖干涉条纹将如何变化? (1) A沿垂直于B的方向向上平移［见图(a)］； (2) A绕棱边逆时针转动［见图(b)］． 题13-4图 解: (1)由???2l，ek?k?2知，各级条纹向棱边方向移动，条纹间距不变； (2)各级条纹向棱边方向移动，且条纹变密． 13-5 用劈尖干涉来检测工件表面的平整度，当波长为?的单色光垂直入射时,观察到的干涉条纹如题13-5图所示，每一条纹的弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分的连线相切．试说明工件缺陷是凸还是凹?并估算该缺陷的程度． 解: 工件缺陷是凹的．故各级等厚线(在缺陷附近的)向棱边方向弯曲．按题意，每一条纹弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分连线相切，说明弯曲部分相当于条纹向棱边移动了一条，故相应的空气隙厚度差为?e?工件缺陷的程度． ?2，这也是 题13-5图 题13-6图 13-6 如题13-6图，牛顿环的平凸透镜可以上下移动，若以单色光垂直照射，看见条纹向中 心收缩，问透镜是向上还是向下移动? 解: 条纹向中心收缩，透镜应向上移动．因相应条纹的膜厚ek位置向中心移动． 13-7 在杨氏双缝实验中，双缝间距d=0.20mm，缝屏间距D＝1.0m，试求： (1)若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm，计算此单色光的波长； (2)相邻两明条纹间的距离．