第二部分 专题七
类型1 探究线段数量关系及最值的存在性
12
1．(2018·湘潭改编)如图，点P为抛物线y＝x上一动点．
4
1212
(1)若抛物线y＝x是由抛物线y＝(x＋2)－1通过平移得到的，请写出平移的过程；
44(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于M. ①如图1，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②如图2，若点Q的坐标为(1,5)，求QP＋PF的最小值．
第1题图
12
解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)－1的顶点坐标为(－2，－1)，
4
1122
∴抛物线y＝(x＋2)－1向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y＝x.
44
第1题答图
(2)①存在一定点F，使得PM＝PF恒成立．如答图，过点P作PB⊥y轴于点B. 12
设点P的坐标为(a，a)，
412
∴PM＝PF＝a＋1.
4
∵PB＝a，∴在Rt△PBF中，BF＝PF－PB＝
2
2
12
a＋14
2
122
－a＝a－1，∴OF＝1，
4
∴点F坐标为(0,1)．
②由①知PM＝PF, QP＋PF的最小值为QP＋PM的最小值，当Q，P，M三点共线时，QP＋PM有最小值为6.∴QP＋PF的最小值为6.
2．(2018·宜宾)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)，如1
图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1.
4
(1)求抛物线的解析式；
(2)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图
(3)已知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2). ∵该抛物线经过点(4,1)， 1
∴1＝4a，解得a＝，
4
1122
∴抛物线的解析式为y＝(x－2)＝x－x＋1.
44
1
y＝x，??4
与抛物线解析式成方程组，得?1
y＝??4x－x＋1，
2
2
(2)联立直线AB
x1＝1，??
解得?1
y1＝，?4?
??x2＝4，
???y2＝1，
1
∴点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4,1)．
4如答图，
第2题答图
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值． ∵点B(4,1)，直线l为y＝－1， ∴点B′的坐标为(4，－3)．
设直线AB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
1??k＋b＝，14将A(1，)，B′(4，－3)分别代入y＝kx＋b，得?
4
??4k＋b＝－3，
13
k＝－，??12解得?4
b＝??3，
134
∴直线AB′的解析式为y＝－x＋. 123134
当y＝－1时，有－x＋＝－1，
1232828
解得x＝，∴点P的坐标为(，－1)．
1313
(3)∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴(m－x0)＋(n－y0)＝(n＋1)， ∴m－2x0m＋x0－2y0n＋y0＝2n＋1. ∵M(m，n)为抛物线上一动点， 12
∴n＝m－m＋1，
4
12222
∴m－2x0m＋x0－2y0(m－m＋1)＋y0＝
4
1211222
2(m－m＋1)＋1，整理得(1－－y0)m＋(2－2x0＋2y0)m＋x0＋y0－2y0－3＝0. 42211
1－－y＝0，??22
∵m为任意值，∴?2－2x＋2y＝0，
??x＋y－2y－3＝0，
00
0
2
0
20
0
2
2
2
2
2
2
??x0＝2，解得?
??y0＝1，
∴定点F的坐标为(2,1)．
3．(2018·烟台)如图1，抛物线y＝ax＋2x＋c与x轴交于A(－4,0)，B(1,0)两点，过点B的直2
线y＝kx＋分别与y轴及抛物线交于点C，D.
3
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM＋MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
第3题图
2a＝，??3解得?8
c＝－??3，2
??16a－8＋c＝0，
解：(1)把A(－4,0)，B(1,0)分别代入y＝ax＋2x＋c，得?
?a＋2＋c＝0，?
2
228
∴抛物线的解析式为y＝x＋2x－. 332
∵直线y＝kx＋过点B，
32
∴将B(1,0)代入，得k＝－，
322
∴直线的表达式为y＝－x＋. 33
??(2)由?22
y＝－x＋??33，
y＝x2＋2x－，2383
得交点D的坐标为(－5,4)．如答图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F. 当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，