∴B(3，－3)．
∵点A(23，0)关于原点O的对称点为A′， ∴A′( －23，0)． ∵C为A′B的中点，∴C(－3∴CD＝. 2
∵CD⊥x轴，PE⊥x轴，∴CD∥PE，
∴要使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形．只需PE＝CD， 323±62
即－m＋23m＝，解得m＝，
22
23＋6323－63
∴点P的坐标为(，)或(，)．
2222
2．(2018·南充)如图，抛物线顶点P(1,4)，与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于点A，B. (1)求抛物线的解析式．
(2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
(3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E.是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
第2题图
解：(1)设y＝a(x－1)＋4(a≠0)， 把C(0,3)代入抛物线解析式，得a＋4＝3， 解得a＝－1，
则抛物线的解析式为y＝－(x－1)＋4＝－x＋2x＋3. (2)由B(3,0)，C(0,3)， 得直线BC的解析式为y＝－x＋3. ∵S△PBC＝S△QBC，∴PQ∥BC.
①过P作PQ1∥BC，交抛物线于点Q1，如答图1所示．
2
2
2
33
，－)， 22
∵P(1,4)，
∴直线PQ1的解析式为y＝－x＋5，
??y＝－x＋5，联立得?2
?y＝－x＋2x＋3，?
??x＝1，
解得?
?y＝4，?
??x＝2，
或?
?y＝3，?
即Q1(2,3)．
②设G(1,2)，∴PG＝GH＝2，点G在直线BC上．
过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3的解析式为y＝－x＋1，
??y＝－x＋1，
联立得?2
?y＝－x＋2x＋3，?
3＋17?x＝，?2解得?
－1－17y＝，??2
3－17
?x＝，?2或?
－1＋17y＝，??2
3－17－1＋173＋17－1－17
∴Q2(，)，Q3(，)．
2222
3－17－1＋173＋17－1－17
综上，点Q的坐标为(2,3)或(，)或(，)．
2222(3)存在点M，N使四边形MNED为正方形．
如答图2所示，过M作MF∥y轴于点F，过N作NF∥x轴于点F，过N作NH∥y轴交BC于点H，则△MNF与△NEH都为等腰直角三角形．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的解析式为y＝－x＋b，联
??y＝－x＋b，
立得?2
?y＝－x＋2x＋3，?
2
消去y，得x－3x＋b－3＝0，
∴NF＝|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝21－4b. ∵△MNF为等腰直角三角形， ∴MN＝2NF＝42－8b.
12222∵NH＝(b－3)，∴NE＝(b－3).
2若四边形MNED为正方形，则有NE＝MN，
2
2
2
2
2
2
2
12
∴(b－6b＋9)＝42－8b， 2整理得b＋10b－75＝0， 解得b＝－15或b＝5.
∵正方形边长为MN＝42－8b， ∴MN＝92或2.
第2题答图
类型5 探究面积数量关系及最值问题
1．(2017·桂林)已知抛物线y1＝ax＋bx－4(a≠0)与x轴交于点A(－1,0)和点B(4,0)． (1)求抛物线y1的函数解析式；
(2)如图1，将抛物线y1沿x轴翻折得到抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴交抛物线y1于点E，求线段DE的长度的最大值；
(3)在(2)的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线y2上一动点，⊙P与直线BC相切，且S⊙P∶S△DFH＝2π，求满足条件的所有点P的坐标．
第1题图
解：(1)将点A(－1,0)和点B(4,0)分别代入y1＝ax＋bx－4，得a＝1，b＝－3， ∴抛物线y1的函数解析式为y1＝x－3x－4. (2)由对称性可知抛物线y2的函数解析式为
2
2
2
2
y2＝－x2＋3x＋4，则C(0,4)．
设直线BC的解析式为y＝kx＋q， 把B(4,0)，C(0,4)分别代入，
?4k＋q＝0，得?
?q＝4，
解得?
?k＝－1，???q＝4，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋4. 设D(m，－m＋4)，E(m，m－3m－4)， 其中0≤m≤4，
∴DE＝－m＋4－(m－3m－4)＝－(m－1)＋9. ∵0≤m≤4，∴当m＝1时，DEmax＝9， 此时，D(1,3)，E(1，－6)．
(3)由题意可知△BOC是等腰直角三角形， ∴线段BC的垂直平分线为y＝x. 由(2)知直线DE的解析式为x＝1， ∴F(1,1)． ∵H是BC的中点，
∴H(2,2)，∴DH＝2，FH＝2， ∴S△DFH＝1.设⊙P的半径为r， ∵S⊙P∶S△DFH＝2π， ∴r＝2.
∵⊙P与直线BC相切，
∴点P在与直线BC平行且距离为2的直线上， ∴点P在直线y＝－x＋2或直线y＝－x＋6上． ∵点P在抛物线y2＝－x＋3x＋4上， ∴－x＋2＝－x＋3x＋4， 解得x1＝2＋6，x2＝2－6， －x＋6＝－x＋3x＋4， 解得x3＝2＋2，x4＝2－2，
∴符合条件的点P坐标有4个，分别是(2＋6，－6)，(2－6，6)，(2＋2，4－2)，(2
2
2
2
2
2
2