《数学建模与数学实验》复习

（2013年6月）

1. 棋子颜色的变化

2．席位公平分配的判别数法

3. 简单微分方程模型（冷却模型） 4．传送带的效率模型（或同类问题） 5．指派问题

6．Steiner点及其应用（n<=4） 7．Fibonacci数列及其应用 8．放射性废物的处理模型 9．捕鱼业的产量模型

10．效益分配的Shapley值 11．自然顺序方阵的性质 12．生产配套模型 13．统筹方法

注：(1) 闭卷考试；(2) 带计算器；(3)考试记得带学生证

(4) 答疑: 7月3日下午3:00～5:30, 在四号楼4238. (5) 考试: 7月5日上午9:00～11:30. (课室未知) (6) 考试过程2.5小时，做七题

(7) 研究生院培养办电话：87110730

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复

习 题

1.在“棋子颜色的变化”问题中，若初态不出现全黑或全白的特殊状态，则当n=5时，从第一步开始，必是3步一个周期地变化.请证明之.

2. 某城市共有六个区, 各区有居民：一区221万, 二区120万, 三区111万, 四区57万, 五区86万, 六区38万. 现该市要选出503名人大代表,请你用判别数法设计一个代表名额的分配方案.

3. 牛顿发现在较小范围内，物体冷却速率正比于该物体与环境温度的差值. 司法部门常用此理论推算凶杀的作案时间.例如，某天晚上在一住宅内发现一尸体,法医于23:35赶到现场, 立即测量得死者体温是30.8℃, 一小时后再测量得死者体温是29.1℃,法医还注意到当时室温是28℃,试利用冷却模型推算受害者的死亡时间.(假设正常体温为37℃)

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4.有r 个人在一楼进入电梯,楼上有n层. 假设每个乘客在任何一层楼出电梯的概率相同, 各乘客在哪层出电梯是相互独立的. 试求直到电梯中的r个乘客出空为止时, 电梯需停次数的数学期望. (假定在楼上没有人进电梯).

5.公司有4项工作要做，现准备在5人中选出4人来做，每人做且只做一项工作，每人完成各项工作的获利如下表：（单位：百元）

工人1 工人2 工人3 工人4 工人5 工作A 25 19 27 23 22 工作B 24 18 22 25 30 工作C 20 21 28 19 29 工作D 23 29 20 27 21 为使总利润最大，应该选哪4人？又如何分配任务？最大利润是多少？

6. 现有一个小型发电厂位于点O(0,0)处，它发出来的电打算供给三个村庄使用，它们分别位于点A(1,0),B(1,2),C(2,2)处（单位：km）。 （1） 求该电网的最优布局，使耗用电缆总长最短，若需添加节点，请

指出其坐标；

（2）求电缆总长（提示：利用图形的对称性化简计算）.

7. 袋中有白球与黑球各半，每次从袋中随机摸出1球，取后放回袋中，直到连续两次均摸到白球为止. 设Bn表示摸n次就终止时其中首次是摸到黑球的各种可能方式数目, {Fn}表示Fibonacci数列，(1)分析Bn与Fn的关系; (2)写出Bn的通式.

8. 跳伞运动员在离地面2800m高的直升飞机上由静止状态向下跳，人与伞的总质量为85kg，空气阻力等于下降速度的一半，20s后打开降落伞，此时他离地面有多高？建模并求解.

9. 设某渔场的鱼量的自然增长服从规律:

dxN?rxln, (x?0) dtx假设独家捕捞, 单位时间捕鱼量为h(x)?Ex. (1)求该渔场的鱼量方程的

稳定平衡点. (2)如何控制捕捞率E，使单位时间的持续产量达到最大, 最大值是多少？

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10. 某作坊主甲不善经营，他经营该作坊估计每年只能获利10万元；若把该作坊让乙来经营估计每年能获利50万元；若把该作坊让丙来经营估计每年能获利60万元；若把该作坊让乙和丙一起来经营，估计每年能获利100万元.若采用获利最大的方案，试用Shapley公式来分配各人所得.

11. 设n阶方阵

12??n?1n?2?A??????(n?1)n?1(n?1)n?2?n???2n?，

?????n2?试证明：A的任意n个独立数之和为幻和Sn.

12. 某车间共有29台同类机器，这种机器每台每天可加工6个零件A或2个零件B或4个零件C. 两个零件A和3个零件B及5个零件C配成一套. 假设每台机器每天只安排加工1种零件，问如何安排这些机器每天的任务，使该车间每天加工的成套零件最多. 建立数学模型并求解. （求解不用软件）

13. 请根据如下资料绘制某工程的工序流线图,计算各事项的最早时间与最迟时间,并确定出其关键路.

工序代号 紧前工序 工时 A - 5 B C D E F G H - B B A,C A F,E D,E 6 6 4 5 4 8 3 3