图2 图3 11b1（3）由y?x2?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1．
4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． BAQA当，即QA2?BA?OA时，△BQA∽△QOA． ?QAOAb所以()2?b?1．解得b?8?43．所以符合题意的点Q为(1,2?3)．
4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． ?QAOABOQA所以C、Q、B三点共线．因此，即b?QA．解得QA?4．此时Q(1,4)． ?COOAb14
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例3 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1：y??1(x?2)(x?m) (m＞0)与x轴交于点B、C，与ym轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．
思路点拨
1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．
满分解答
11(x?2)(x?m)，得2???4(2?m)．解得m＝4． mm111（2）当m＝4时，y??(x?2)(x?4)??x2?x?2．所以C(4, 0)，E(0, 2)．
44211所以S△BCE＝BC?OE??6?2?6．
22（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
HPEO设对称轴与x轴的交点为P，那么． ?CPCOHP233因此?．解得HP?．所以点H的坐标为(1,)．
3422（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
CEBC由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即BC2?CE?BF时，△BCE∽△FBC． ?CBBF（1）将M(2, 2)代入y??1(x?2)(x?m)21FF'EOm设点F的坐标为(x,?(x?2)(x?m))，由，得??．
mBF'COx?2m解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．
(m?4)m2?4COBF'mm?4由，得．所以BF?． ??2mCEBFBFm?4(m?4)m2?4由BC?CE?BF，得(m?2)?m?4?．
m整理，得0＝16．此方程无解．
222
图2 图3 图4
②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，
BEBC由于∠EBC＝∠CBF，所以，即BC2?BE?BF时，△BCE∽△BFC． ?BCBF1在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得(x?2)(x?m)?x?2．
m解得x＝2m．所以F′(2m,0)．所以BF′＝2m＋2，BF?2(2m?2)． 由BC2?BE?BF，得(m?2)2?22?2(2m?2)．解得m?2?22． 综合①、②，符合题意的m为2?22．
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．
例4 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．
思路点拨
1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线x?1，解析式为y?（2） 梯形O1A1B1C1的面积S?1211． x?x，顶点为M（1，?）
8482(x1?1?x2?1)???3(x1?x2)?6，由此得到
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