得AB⊥BD.

1

∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.

2∵M是AD的中点， 11

∴S△ABM＝S△ABD＝. 24

由(1)知，CD⊥平面ABD，

∴三棱锥C - ABM的高h＝CD＝1，

因此三棱锥A - MBC的体积 11

VA -. MBC＝VC - ABM＝S△ABM·h＝312

方法二：(1)同方法一．

(2)由AB⊥平面BCD，得平面ABD⊥平面BCD. 且平面ABD∩平面BCD＝BD.

如图所示，过点M作MN⊥BD交BD于点N， 11

则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝.

221

又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝.

2∴三棱锥A - MBC的体积

VA - MBC＝VA - BCD－VM - BCD 11

＝AB·S△BCD－MN·S△BCD 331＝. 12

25．证明：(1)连接AD1，由ABCD - A1B1C1D1是正方体，

知AD1∥BC1.

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1. 从而BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1. 而AC1?平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.

因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

26．解：(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB?α，所以DO⊥AB. 连接BD，由题设知，△ABD 是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.

(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．

由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的

平面角，从而∠DEO＝60°.

不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝3. 3

在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝.

2

DO

连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝

AD

323＝. 24

3

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为. 4

27．证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，

1

AB＝BC＝AD，AD∥BC，

2

所以AE∥BC，AE＝AB＝BC， 所以O为AC的中点．

又在△PAC中，F为PC的中点，所以AP∥OF. 又OF?平面BEF，AP?平面BEF， 所以AP∥平面BEF.

(2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC， 所以四边形BCDE为平行四边形， 所以BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，

所以AP⊥CD，所以AP⊥BE. 因为四边形ABCE为菱形， 所以BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC?平面PAC， 所以BE⊥平面PAC.

28．解：(1)证明：由AA1⊥BC知BB1⊥BC.又BB1⊥A1B，故BB1⊥平面BCA1，所以BB1

⊥A1C.

又BB1∥CC1，所以A1C⊥CC1. (2)方法一：设AA1＝x.

22在Rt△A1BB1中，A1B＝A1B1－BB21＝4－x.

22同理，A1C＝A1C21－CC1＝3－x. 在△A1BC中，

A1B2＋A1C2－BC2

cos∠BA1C＝＝

2A1B·A1Cx2

－，

（4－x2）（3－x2）

sin∠BA1C＝

12－7x2，

（4－x2）（3－x2）

12－7x21

所以S△A1BC＝A1B·A1C·sin∠BA1C＝. 22

x12－7x2从而三棱柱ABC - A1B1C1的体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝. 2因为x12－7x2＝12x2－7x4＝

6?2362?－7?x－7?＋，

76424237

所以当x＝＝，即AA1＝时，体积V取到最大值.

7777

29．解：(1)证明：由已知得△ABC≌△DBC， 因此AC＝DC.

又G为AD的中点，所以CG⊥AD，

同理BG⊥AD.又BG∩CG＝G，所以AD⊥平面BGC. 又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.

(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于点O. 由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.

又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半． 在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以

11131

V三棱锥D -＝. BCG＝V三棱锥G -BCD＝·S△DBC·h＝×·BD·BC·sin 120°·33222

30．解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.

因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线， 所以AA1⊥平面ABC.

因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.

又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线， 所以BC⊥平面ACC1A1.

(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．

图1-4 由已知，O为AC1的中点．

连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，

11

所以MD綊AC，OE綊AC，

22

因此MD綊OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，所以DE∥MO. 因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC. 所以直线DE∥平面A1MC.

即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.

31．解：(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以

1

MF∥BC，且MF＝BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD，又由于E为AD中点，因而MF∥AE

2

且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM?平面PAB，而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.

(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，所以PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P - AD -B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60?，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90?，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE?平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.

(ii)连接BF，由(i)知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由

131111

PB＝3及已知，得∠ABP为直角，而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝.又BE

2222BE211

＝1，故在直角三角形EBF中，sin∠EFB＝＝.所以直线EF与平面PBC所成角的正

EF11

211弦值为. 11

32．解：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2，由AC＝2，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.