成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析（一）

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．

1．当x→0时，x2

是x-1n(1+x)的（ ）． A．较高阶的无穷小量 B．等价无穷小量

C．同阶但不等价的无穷小量 D．较低阶的无穷小量

2．设函数?(sinx)=sin2

x，则?ˊ(x)等于（ ）． A．2cos x

B．-2sin xcosx C．％ D．2x

3．以下结论正确的是（ ）．

A．函数?(x)的导数不存在的点，一定不是?(x)的极值点 B．若x0为函数?(x)的驻点，则x0必为?(x)的极值点

C．若函数?(x)在点x0处有极值，且?ˊ(x0)存在，则必有?ˊ(x0)=0 D．若函数?(x)在点x0处连续，则?ˊ(x0)一定存在 4．

A． B．

C．exdx D．exIn xdx

5．函数y=ex-x在区间(-1，1)内（ ）． A．单调减少 B．单调增加 C．不增不减 D．有增有减 6．

A．F(x) B．-F(x) C．0 D．2F(x)

7．设y=?(x)二阶可导，且?ˊ(1)=0,?″(1)>0，则必有（ ）． A．?(1)=0

B．?(1)是极小值

C．?(1)是极大值 D．点(1,?(1))是拐点 8．

A．?(3)- ?(1) B．?(9)- ?(3) C．1[f(3)-f(1) D．1/3[?(9)- ?(3)] 9．

A．2x+1 B．2xy+1

2

C．x+1

2

D．x

10．设事件A，B的P(B)=0．5，P(AB)=0．4，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A | B)=（ ）． A．O．1 B．0．2 C．0．8 D．0．9

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上． 11．

12．当x→0时，1-cos戈与x是同阶无穷小量，则k= __________． 13．设y=in(x+cosx)，则yˊ __________． 14． 15．

k

16．设?(x)的导函数是sin 2x，则?(x)的全体原函数是 __________． 17．

18．曲线y=xlnx-x在x=e处的法线方程为 __________． 19．20．

三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．

21．

22．24．

23．

25．(本题满分8分)一枚5分硬币，连续抛掷3次，求“至少有1次国徽向上”的概率．

2

26．(本题满分10分)在抛物线y=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形，其一边在x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少?

22

27．(本题满分10分)设z=z(x，y)由方程ez-x+y+x+z=0确定，求出．

28．(本题满分10分)求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S，并求 此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy．

参考答案及解析

一、选择题 1．【答案】应选C．

【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较．

比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项．本题即为计算：

由于其比的极限为常数2，所以选项C正确．

请考生注意：由于分母为x-ln(1+x)，所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)-x，否则将导致错误的结论．

与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶”．例如：当x→0时，x-In(1+x)是x的 A．1/2阶的无穷小量 B．等价无穷小量 C．2阶的无穷小量 D．3阶的无穷小量

要使上式的极限存在，则必须有k-2=0，即k=2．

所以，当x→0时，x-in(1坝)为x的2阶无穷小量，选C． 2．【答案】应选D．

【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算． 本题的解法有两种：

解法1先用换元法求出?(x)的表达式，再求导．

2

设sinx=u，则?(x)=u，所以?ˊ(u)=2u，即?ˊ(x)=2x，选D．

解法2将?(sinx)作为?(x)，u=sinx的复合函数直接求导，再用换元法写成?ˊ(x)的形式． 等式两边对x求导得

?ˊ(sinx)·COSx=2sin xCOSx，?ˊ(sin x)=2sinx． 用x换sin x，得?ˊ(x)=2x，所以选D．

请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的．熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩．为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：

(2004年)设函数? (cosx)=1+cosx，求?ˊ(x)．(答案为3x) 3．【答案】应选C．

【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的．要否定一个命题的最佳方法是举一个反例， 例如：

y=|x|在x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导，排除A和D． 3

y=x，x=0是它的驻点，但x=0不是它的极值点，排除B，所以命题C是正确的． 4．【答案】应选A．

【解析】本题可用dy=yˊdx求得选项为A，也可以直接求微分得到dy．

3

2

5．【答案】应选D． 【解析】本题需先求出函数的驻点，再用y″来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两侧的yˊ必异号，从而进一步确定选项．

x

因为yˊ=e-1，令yˊ=0，得x=0．

x

又y″=e>0，x∈(-1，1)，且y″|x=0=1>0，所以x=0为极小值点，故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增，则当x∈(-1，1)时，函数有增有减，所以应选D． 6．【答案】应选B．

【解析】用换元法将F(-x)与F(x)联系起来，再确定选项．

7．【答案】应选B．

【提示】根据极值的第二充分条件确定选项． 8．【答案】应选D．

【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法．本题可以直接换元或用凑微分法．