圆锥曲线解题技巧和方法综合全 下载本文

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型:

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x1,y1),(x2,y2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。

xy0x2y2如:(1)2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有0 ?k?0。22ababxy0x2y2?k?0 (2)2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有0aba2b2(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

y2 典型例题 给定双曲线x?过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P1 及P2,求线段P1P2?1。

22的中点P的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆2?2?1上任一点,F1(?c,0),F2(c,0)为焦点,?PF1F2??,

ab?PF2F1??。

(1)求证离心率e?sin(???);

sin??sin? (2)求|PF1|3?PF2|3的最值。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。

典型例题 抛物线方程y2?p(x?1)(p?0),直线x?y?t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。

(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

最值问题的处理思路:

1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;

2、数形结合,用化曲为直的转化思想;

3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值; 4、借助均值不等式求最值。 典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B, |AB|≤2p

(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题

已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。 2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数?(?>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

N M (6) 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

O Q x2y2典型例题 已知椭圆C的方程??1,试确定m的取值范围,使得对于直线y?4x?m,椭

43圆C上有不同两点关于直线对称

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k1·k2理。

典型例题 已知直线l的斜率为k,且过点P(?2,0),抛物线C:y有两个不同的交点(如图)。 (1)求k的取值范围;

(2)直线l的倾斜角?为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

2?y1·y2??1来处理或用向量的坐标运算来处

x1·x2?4(x?1),直线l与抛物线C

四、解题的技巧方面:

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。 典型例题 设直线3x?4y?m?若OP?OQ,求m的值。

0与圆x2?y2?x?2y?0相交于P、Q两点,O为坐标原点,

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题 已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线yQ两点,且OP?OQ,?x?1相交于P、

|PQ|?10,求此椭圆方程。 2(3) 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆C1:x心在直线l:2x?4y?1?2且圆?y2?4x?2y?0和C2:x2?y2?2y?4?0的交点,

0上的圆的方程。

(4)充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

x2y2典型例题 P为椭圆2?2?1上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB

ab面积的最大值及此时点P的坐标。

(5)线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程y得到型如ax2?kx?b代入圆锥曲线方程中,

?bx?c?0的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为△,则

△,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。 |AB|?1?k2·|xA?xB|?1?k2·|a|例 求直线x?y?1?0被椭圆x2?4y2?16所截得的线段AB的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

x2y2??1的两个焦点,AB是经过F1的弦,若|AB|?8,求值例 F1、F2是椭圆

259|F2A|?|F2B|

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A(3,2)为定点,点F是抛物线y2?4x的焦点,点P在抛物线y2?4x上移动,若

|PA|?|PF|取得最小值,求点P的坐标。

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备: 1. 直线方程的形式

(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率k?tan?,??[0,?)